谐波失谐叶盘结构的振动模态特性分析

谐波失谐时系统的第１５阶振型为例，如图６、图７所示，失谐度由小至大按由左至右顺序 排列。可以看出，当最大失谐幅值Ｄ由小增大时，一次谐波失谐的局部化进程相对平缓， 三次谐波失诣的振型的峰值消失得相对迅速。通过对二次、四次和五次谐波失谐系统的模态 振型进行计算，发现上述规律同样存在，也即在一定的耦合度下，随着最大失谐幅值的增加，
相对差值
－０ ８９８６％ ．ｏ，１５１％ －０ ５２０ｉ％ －０４０５３％ －０ ２３３０％ 曲ｔ９２Ｓ％ ．０ ０３１８％ －００３９４％ －０．０９０５％ －００３２７％ ０１４１４％ ０ ０４２６％ ０１２４ ｑ６％ ＿０ ００１１％ １０ ０４３２％ ＿０ ０８９３％ －０ ０２７１％ —０１３９６％ ＿ｏ ０４４２％ ＿０１２１９％ －０ ００４９％
１０ｊ‘３ｉ６。９６６９８３好９
１０１＾２５３６３９２００９８９ １０ｌ＿５４４２３３４１１０６６４ １０１ ６７３０２９００７６６２９ １０１ ８１ １５９３０３７７０６８ １０１．９５９９８０４２６２１８７ １０２ Ｉｌ ８２８４５２３９７７０ １０２、２８６６４３５２９６３０ｌ １０２ ４６５２２６４８１４４９５ １０２ ６５４２２６４８２４４４３ １０２ ８８３８５５６６７６８５８
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图５
３．３不同次谐波失谐时的模态振型与固有频率
首先考虑不同谐波的局部化速度。保持耦合度Ｒ＝１％不变，分别在ｎ一１，２，３…的条件
下，使最大失谐度ｄ，。取值１％、２％、４％、５％进行系统固有特性的计算。现取一次和三次
１００ ５３０１８仰２９４０Ｓ
１００ ５３０１８６０７２９４０５ １００ ７２９８０８５５８８０８２ １００ ７２９８０８５５８８０８２ １００ ９４１４２９６４２５５５２ ｌ。０ ９４】４２９６４２５５５２ １０ｌ １５５１１０５９４１２９４ １０１ １５５１１０５９４１２９４ １０１ ３６０８７８２０７８５６８ １０１ ３６０８７８２０７８５６８ ｌＯｌ ５４９１８７１６１０６２４ １０１ ５４９１８７１６１０６２４ １０１．７１１３５１８６５８７８９ １０１ ７１１３５１８６５８７８９ １０ｌ ８３９９３０４５５７５７４ ｌＯｌ ８３９９３０４５５７５７５ １０１．９２９０４７０５８４１４９ １０Ｉ．９２９０４７０５８４１４９ １０ｌ ９７４６４１９０３９１１０ １０１ ９７４６４１９０３９１１０
ｄ。＝
式中，ｋ∞和ｋ。ｆ分别是失谐前后叶片自身的刚度。作为耦合程度的度量，耦合度被定义为
Ｒ＝ｋ。／ｋｏ
（２）
●～ ．孓龟
， 垮），，，
。、、
图ｌ
利用上述的力学模型，由Ｌａｇｒａｎｇｅ方程可以推得系统的振动方程为【７】
【Ｍ】｛章）＋［世］｛ｇ）＝｛ＦＯ））
（３）
式中，系统质量矩阵可表示为一个２９阶对角阵，即
ＣＳＡＡ—ＰＳ．０１７
谐波失谐叶盘结构的振动模态特性分析
于长波 王建军 李其汉
北京航空航天大学能源与动力工程学院北京 １０００８３
摘要叶盘结构系统的周期对称性常由于制造、材料及使用等原因而被破坏，系统出现失谐现象；文章以无阻尼集中参数模 型为分析对象，以几种典型的谐波失谐为例。对其振动模态参数进行了计算，分析了不同失谐形式、失谐量和耦台程度对系统 振动模态局部化的影响。 关键词 失谐叶盘结构，振动模态．振动局都化
本文以叶片的单自由度子结构为例，分析了叶片刚度具有不同谐波失谐对叶盘结构系统 的频率和模态振型局部化的影响。
２叶盘结构的集中参数动力学模型
建立的单自由度集中质量弹簧振子谐调结构力学模型，如图１所示。每个振子的质量ｍ、 粘性阻尼率‘（本文仅考虑无阻尼情况，即ｆ＝０）和刚度七。分别用以模拟叶片的质量、 阻尼和刚度。振子之间由２９个相同的刚性均为Ｊ｝．的弹簧相连接，用以模拟叶片间的相互耦 合。
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研究中考虑各叶片自身刚度呈谐波规律变化，第ｉ个叶片的刚度可以表示为
“巧ｓ曲陪吵。
ｎ＝１，２，３－－·
式中，Ｄ为最大失谐幅值，ｎ为谐波次数，．ｉ｝∞为无失谐时的叶片刚度。
将（７）式代入（５）式得出刚度矩阵［｜ｊ｝。］，再将质量、刚度矩阵代入方程（３），解之可得方程的 特征值与特征向量，即系统谐波失谐时的各阶固有频率和模态振型。
．０．００３％
０ ０９８６％ ０．１１７９％ ０ ２７３３％ ０ ３５０８％ ０ ５２６０％ ０ ６６６４％ ０ ８６２２％
９５－－枥，图５给出了系统最大失谐度为ｄ一一】％，２％，５％时的特征值曲线（分别由
实线、…０’线和“＋”线表示）。由图可以看出，对于同一条曲线，中间阶部分曲线相对平缓，
叶盘结构中单位区域频带相对较窄。而随着最大失谐量的增大，同一区域的频宽增大。相应 地，系统的总频宽也增大。
研究表明，影响失谐周期结构系统振动局部化的关键因素是振子质量和刚度失谐改变 的大小、结构中各扇区子结构间的耦合程度以及它们两者间的相对大小。在失谐叶盘结构系 统的分析中，一般可用失谐度来度量失谐量的改变程度，用耦合度来度量子结构间的耦合程 度。若由于制造、磨损等原因，各叶盘扇区子结构的刚度微小变化导致它们各自的刚度与其 理论值有微小差别，则可定义ｆ扇区子结构的失谐度为：
此外，失谐系统的最大失谐度为ｄ一＝２％时，系统失谐前后的各阶固有频率列于表１。
由表中可以看出，系统失谐后重频现象消失。 同样地，对二次至五次谐波失谐系统亦作了相应的计算和分析，发现上述结论依然成立，
受篇幅所限这里不再详细叙述。
越 ｌ ２ ３
５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９
１９８８年，Ｗｅｉ和Ｐｉｅｒｒｅｌ３１利用一般失谐周期结构模态局部化的修正摄动方法研究了叶 盘结构系统的振动模态局部化问题。１９９２年，Ｐｉｅｒｒｅ和Ｍｕｒｔｈｙ【４１利用连续参数模型和摄动 解法，研究了失谐叶盘结构系统叶片问为气弹耦合时的振动摸态局部化问题。１９９３年，李 延辉”１采用二维有限元模型和特征值小参数法研究了同样的问题。近年来，人们ｐ’已经开 始研究具有不同分布失谐形式对叶盘结构系统振动局部化的影响。
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图７
再考虑失谐对频宽的影响。表２列出了在耦合度保持Ｒ＝１％不变时，不同谐波失谐在 不同最大失谐幅值下的频宽可以发现：（１）同一谐波失谐时，频宽随着最大失谐幅值的增大 而增大。但其增大的速率随谐波次数的增大而略有下降。（２）在相同的最大失谐幅值下，频 宽随谐波次数的增大而减小。但其减小的速率随着最大失谐幅值的增大而下降。
３谐波失谐时振动模态的局部化特征
３．１谐调系统的模态振型和固有频率
为了便于对比谐波失谐对系统影响，首先计算无失谐的叶盘系统的固有频率和振型。这 时，式（７）的Ｄ＝Ｏ，从而有
ｋ。。＝ｋ。ｏ
（８）
这样，由系统振动方程可解得谐调系统的各阶固有频率和振型。
幽。：幽。！幽。！螋 ｒ————’——］０５ｒ———————］。５厂———］０５ｒ———————］
１引言
理论上的叶盘结构系统是一种诣调周期结构系统（ａ ｔｕｎｅｄ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒａＩ ｓｙｓｔｅｍ），但在实际上，由于机械制造误差及材料常数的分散性等原因，分布在轮盘上的各 叶片的固有频率会有所差异，这种叶盘系统称为失谐叶盘系统。
研究表明”。１，～些循环对称结构对无序或缺陷是十分敏感的。失谐周期系统的动态特 性与相应谐调系统的一个主要差别是振动局部化（ｖｉｂｒａｔｉｏｎ １０ｃａｌｉｚａｔｉｏｎ），其现象可以描述 为：对于自由振动，结构的某几阶模态振型，某个局部区域的位移比结构的其它区域大几个 数量级，而其他部分区域则位移较小；而当结构受到强迫激励时，振动响应会被限制在激励 源附近传不出去。
３．２不同失谐幅值时系统的模态振型与频率
首先，令各子结构刚度ｋ。ｆ按同次谐波分布，耦合度取Ｒ＝１％，谐波数ｉ＂１取定值，失谐
度ｄ取不同值（如１％、２％等），可以得到系统在某一耦合度下同一次谐波失谐而最大失谐幅 值不同时的各阶固有频率和振型。
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一次谐波失谐
９９ １０１３８４３２０７５９３８ ９９ ３０８１５５６８３６６５３５ ９９ ５０３ｔ５２５２３４３８４３
９９ ６８印２２０６２１５６９５
９９ ８５９１ ８０６７４７３３６２
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习～圈～巫～飚～图匦～既～围～舀～
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“璺醚理趔，既一照剧目一
题逊泌～照刮厨目
～
图４
图３和图４分别为一次谐波失谐系统的前１６阶振型，其中最大失谐度ｄ。，分别为１％
和５％，可以看出：（１）随最大失谐幅值（最大失谐度）的增大，同一阶相应振型的形状不 变，峰值位置不变。（２）随最大失谐幅值的增大，同一阶相应振型中“峰”的宽度变窄。也 就是说，叶片作大振幅振动的区域在减小，振动的能量被限制在一个更小的区域中，局部化 现象加剧。当最大失谐幅值增加到一定程度时，某些振型的峰值会消失（其中高阶振型的峰 值消失得较快），振动仅分布在少数几个叶片所在的区域上。
６ ６０５５２０４５４５４０８５ ０ ９５７１３７４３０４０８８５
一一
１％
２ ６８４６０５７５２６６６９１
次
２％
３ ５５４９５７８８２９４７５５ ０ ８７０３５２１３０２８０６４
ＬＭ］＝ｄｉａｇ［ｍ，ｍ，…，肺】２９ｘ２９
（４）
刚度矩阵可以看成是子结构自身刚度构成的系统刚度矩阵［吒］与由耦合弹簧刚度构成的系
统刚度矩阵【ｔ］的合成，即【Ｋ］＝【Ｋ。］＋【Ｋ。】。其中［Ｋ。】为对角阵，有
［足。］＿ｄｉａｇ［ｋ。，吒，…，ｋ。］：，。
（பைடு நூலகம்）
由耦合弹簧刚度构成的系统刚度矩阵瞵’。】为三对角阵，有
｜，０
２０
３０。０
＇０
２０
３０
图２
图２是求解得到的谐调系统前１６阶振型，阶数由低至高按由左至右由上至下顺序排列。 从中不难发现结构系统的模态振型均匀地沿圆周方向传递至整个结构，是一种“广延”模态 振型（ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ，ｇｌｏｂａｌ ｏｒ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｍｏｄｅ）。系统的固有频率列于表１中，由之可以看出 谐调系统的相邻两阶固有频率相等，有重频现象发生。
表ｌ
侪调
１００．Ｏ００００００００００００ １００ ０２３３７６７１１９３６６ １００ ０２３３７６７１１９３６６ １００ ０９２３８１９０８２４４２ １００ ０９２３８１９０８２４４２ １００２０３６９９４６６９３０２ １００ ２０３６９９４６６９３０２ １００ ３５Ｄ９４２１５５７９１ 】００．３５１９９４２】５５７９２
；蹰匪孽露－ｖ 高次谐波的局部化速度较快。 躞攀墼｛ｆ鞋－－－．７瓣驯垒：囊篓蚓撼－－－，熹－－－，－－誊，－－－，≤－－－，－翔， ｔＬ—Ｌ——‘—＿十—；—４上—０—｝—ｒ－＝——ｏ一上—ｏ一—毒—÷—；一上—０—０＿＿—‘—一
图６
再＃嗣习：Ｆ ＝墨ｊ二＝ｉ翮Ｌ
．再甬蕊：Ｆ翮：『＝＝；嗣ｊ＿＝＝ｊｉ习 。［。持以‘魁ｊ＆盎‘盘划 ｛：苒＃器ｊ：：Ｊ蔫：：：￡荆
表２
谐波次数 最大失谐幅值
频宽
频宽的增量
一
１％
２ ８２３３６２９０８０６５２１
次
２％
３ ７５２４７１３４６９２６４３ ０ ９２９１０８４３８８６１２２
谐
３％
４ ６９６４７７３６０１２４５５ ０ ９４４００６０１３１９８１２
波
４％
５ ６４８３８３０２．，４１３２００ ０ ９５１９０５６６柏０７４５
５％