浅谈数学方法论在数学教学中的应用

贵州师范大学

研究生作业（论文）专用封面

作业（论文）题目：浅谈数学思想方法在数学教学中的应用课程名称：数学方法论

任课教师姓名：张洪林

研究生姓名：张超

学号：4201220000316

年级：2012级

专业：学科教学（数学）

学院（部、所）：数学与计算机学院

任课教师评分：

年月日

浅谈数学思想方法在数学教学中的应用

张超

摘要：数学思想方法是数学学习的灵魂，在数学教学中具有重要的意义。数学思想方法给教师在实际的数学教学中提供了思想理论的指导，通过介绍几种数学思想方法，来指出这些方法在高中数学教学中学生掌握这些方法对提高数学解题能力和学好数学的的重要性。

关键字：数学思想方法数学教学高中数学

数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就要求对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。我国著名数学家、数学方法论的倡导者和带头人徐利治教授对这门新学科下了一个比较确切的定义：数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。所谓数学的思想不仅是对数学知识本质的认识，而且是在理性层次上对数学规律的总结和认识。

数学思想方法是数学的精髓，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，不仅是对数学事实与数学概念、定理、公式、法则等一些理论的本质认识，而且是形成学生的良好的认知结构的纽带，正确地运用数学思想方法能很好地培养学生分析问题和解决问题的能力，能很好地体现数学学科的特点，有利于学生形成良好的数学素养。在现阶段我国中学数学教育中，数学方法论给教师在数学教学中提供了实际的理论指导，通过对它的学习有利于教师更好地以数学思维方法去带动学生的数学思维和学习，促进学生数学学习，提高教学效率。

在数学学习中，由于跟以前初中数学学习相比，高中数学的难度显得相对较大，学生对题目的理解不深，一些学生基础知识相对薄弱，即使做了大量的题目成绩还是始终不理想，甚至到了“谈数色变”的地步。对于高中学生来说学好数学并不是一朝一夕的事情，因此掌握好数学方法论思想对学生学好数学有着积极的指导意义。

一、化归思想

化归方法是数学解决问题的一般方法，是被广泛使用着的一种用来研究数学问题，解决数学问题的重要方法，是中学数学基本思想方法之一。化归要遵循和谐化原则、简单化原则、直观化原则、特殊化原则等。化归方法在数学教学中的应用主要有化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。利用化归方法学习新知识，利用化归方法原则理清知识结构,利用化归方法指导解题。

化归的本质就是采用迂回曲折的途径而达到从未知到已知、从难到易、从复杂到简单的转化。中学数学教材中几乎处处贯穿着化归与转化思想,如未知向已知转化；特殊向一般转

化；复杂向简单转化；高次向低次转化；多元向一元转化等等,都是化归与转化思想的体现。

例1：解方程：432625122560x x x x ++++=

解：将原方程变形为2

11625240x x x x ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭令1x y x -=，将其转化为一元二次方程2625240y y -+=去求解。

分析：有些方程未知数在根号里面,这类根号下含有未知数的方程,叫做无理方程。解无

理方程,就是将方程两边同时平方或利用换元法,把无理方程化为有理方程来求解的。

例2：求证()32326f n n n n =+++,n z ∈能被6整除 解：原式可变形为()()()126f n n n n =+++，表明()f n 是三个连续整数之积与6

的和。因而本题可转化为问题(1):三个连续整数之积能被6整除。如果我们对问题(1)的证

明方法已经掌握那么原问题便可由此获证:如果我们对问题(1)的证法仍未知那么由于

623=⨯而2与3又互质，因而问题(1)又可转化为问题(2):三个连续整数之积既能被2整

除又能被3整除从而原问题得解。

分析：以上两个例题及求解过程并不相同，但其思考方法都是通过转化或再转化，将待

解决的问题归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个较易解决的问题，甚至为人们所熟

知的常识问题.最终使原问题得解这种将未知转化为已知的方法称之为化归方法。化归的数

学思想方法在学生的学习中有着重要的作用，教师在教学中应注重培养学生化归的能力，这

样不仅能帮助他们理解和掌握新知识，提高他们的解题能力，还有利于提高学生数学思维能

力。

二、 函数与方程思想

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，是中学数学解题常用的一种思想方法。高考

中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数思想简单，即将所研究的问题借

助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决

有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中

的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

例1.（1）已知关于x 的方程0cos 222=+-a x x 有唯一解，求a 的值；

（2）解不等式0)2)1(1)(1()21(22>+++++++x x x x 。

分析：（1）构造函数22cos 2)(a x x x f +-=，则问题转化为求)(x f 的零点唯一时的

a 。

（2）由观察可构造函数)21()(2++

=x x x f 再利用函数的性质，解决问题。 解：（1）令22cos 2)(a x x x f +-=，R x ∈是偶函数。)(),()(x f x f x f ∴=-

)(x f ∴的图像关于y 轴对称，而题设方程0)(=x f 由唯一解，从而此解必为0=x （否则

必有另一解），2,020)0(2±==+-=∴a a f 解得。

（2）设R x x x x f ∈++=),21()(2，易证)(x f 在区间[)+∞,0内为增函数。

）上为增函数，

，在区间（是奇函数，从而∞+∞-∴-=++-=-)()().()21()(2x f x f x f x x x f 2

1,1),()()1(,0)1()(f ->∴->+-=->+>++∴x x x x f x f x f x f x 即即原不等式可化为 分析：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与

性质，常可使问题简单得解。

例2.已知不定式12

7)1(log 1212121112+->+++++a n n n 对一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围。 分析：n

n n 21211++++ 无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。 解：令时，有当且2),2(21211)(≥≥∈++++=n n N n n

n n n f 0)12)(1(2111221121)()1(f >++=+-+++=

=-+n n n n n n f n ， 所以)(),()1(n f n f n f ∴>+为增函数，且,127)2()(min =

=f n f 由题意得21,0)1(log ,12

7)1(log 12112722<<<-∴+->a a a 解得。 分析：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出)(n f 的最小值。用函数方法解决问

题，正是函数思想的核心。

例3.关于x 的方程043)4(9=+++x

x a 恒有解，求a 的取值范围。

分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。

解：（法一）设.0,3>=t t x 则原方程有解即方程04)4(2=+++t a t 有正根， ⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅>+-=+≥∆∴,040)4(02

121x x a x x 即⎩⎨⎧-<≥-+,4,016)4(2a a ⎩⎨⎧-<-≤≥∴4,80a a a 或，

解得.8-≤a