含绝对值函数性质的探究

数学问题：用数形结合探讨含绝对值号的函数性质

一、问题提出

2009年上海高考理科试卷第13题

某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点)22(，-，)13(，，)43(，，)32(，-，

)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个

零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.北大2011自主招生考题

求12011...13121)(-++-+-+-=x x x x x f 的最小值. 静安2012一模试题

已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 .

以上这类问题都可归为含绝对值号的函数性质的研究，考虑到一维空间可以将数轴为桥梁将实数和数轴上的点进行转化，那么a x -可转化为动点x P (对应的点）到a A (对应的点）的距离.

数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数形结合的思想方法是指根据数学问题的条件与结论之间内在联系，既分析它的代数意义（数量关系），又揭示它的几何意义，使数量与空间图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，恰当地改变问题或改变提问的角度，灵活地进行数与形关系的转化来解决问题.

二、问题解决 引例1 解方程311=-++x x 引例2 解不等式311>-++x x ； 变式1：把“3>”改为“a >”

变式2：求函数11-++=x x y 的最值；

变式3：符号“∑”表示求和，如

n

i i a a a ++=∑=211

性质探究：

1．通过图像研究函数为常数其中),,2,1()(1n i a a x x f i n

i i =-=∑=的性质．

数两端射线的斜率互为相反数；当数据点i a 关于中位数对称时，函数图像的对称轴是=x 中位数，仅当中位数为零时函数是偶函数． 相应习题：

（1）2009年上海高考理科试卷第13题其问题可抽象为求332-+-++x x x

642-+-+++x x x 653412-+-+-++-+-+y y y y y 的最小值．所以在3=x 且5=y 时取到，即答案为)(5,3． （2）已知函数()122011122011f x x x x x x x =++++

+++-+-++-()x ∈R ，

且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 6 解：

⎩⎨

⎧=-±=+-⎩⎨⎧±=-=+--=+--=+-<<==-+-=--=-+=-+≥-++-+-+-=++++++++=0

11

2311023,123,123...

)2()1()0()(2)()1(20112)2011()()1(,2011)()1(02011

...321)(,2011...321)(222

2

a a a a a a a a a a a a f f f x f x

x f x f x x x x h x h x p x p x x x x x x h x x x x x p 或者或者所以：性质：偶函数，所以所以时

所以解得：整数解只有 3,2,1=a

（3）（静安2012一模试题）已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 {}3,0,3- .

解：当数据点a ,1±关于中位数对称时，函数图像的对称轴是=x 中位数，故303或或-=a 2．研究函数),,2,1(,),,2,1()(*

1n i N p n i a a x p x f i i n

i i i =∈=-=∑=为常数其中的

图像和性质．

（北大2011自主招生题）求12011121)(-++-+-=x x x x f 的最小值． 解：由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值，所以将)(x f 整理为

2011

1

2011131313121211)(-++-++-+-+-+-+-

+-=x x x x x x x x x f 共有201110062011321⨯=+++ ，则)(x f 可以理解为x 到这20111006⨯个点的距离之和，从两端开始向中间靠拢，每两个绝对值和的最小值都是在相应的数据点之间取得，即在正中间的某个数据点或中间两个数据点之间取得，所以)(x f 的最小值在第2011503⨯个和12011503+⨯个数据点之间取到为711

592043

)14221()(min =

=f x f 三、问题推广：研究函数

),,3,2,1,),,2,1()(1

n i R p n i a a x p x f i i n

i i i =∈=-=∑=为常数其中的图像和性质

1．系数Z p i ∈

相应习题：研究以下函数的图像和性质： （1）211)(---++-=x x x x f （2）112)(-++-+-=x x x x f （3）112)(-++++-=x x x x f （4）12)(-++-=x x x f

（5）4212)(-+-++-+-=x x x x x f 的图像和性质．

2．系数Q p i ∈

采用方程两边同乘以一个整数，可转化为系数Z p i ∈的形式 3．系数R p i ∈，通过几个特殊的函数可以得到相同的结论

则当](1,a x ∞-∈时，),,3,2,1()

()(1

1

n i a p x p x f n

i i i n

i i =+-=∑∑==；