自然对数底e的由来

自然对数底e 的由来

圆周率π生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率π。可自然对数的底e 一直困扰着我们。高中数学中，有以10为底的对数，即常用对数。教材中曾指出，如果底数是以e 为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少，e 似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e 是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e 与曾一个商人借钱的利息有关。

过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，一年后还1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发财了？

财主算了算，结算3次，利率为3

1

，1元钱一年到期的本利和是：元 37037.23113

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，

结算4次，1元钱到一年时还元 44140.24114

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+。 财主还想，一年结算1000次，其利息是：

1000100011⎪⎭⎫ ⎝⎛+

这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有：

元 71692.21000111000=⎪⎭⎫ ⎝⎛+。

这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，n

n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的值是随n 的增大而增大，但

增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把n

n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11极限记作e ，e=2.71828…，即自然对数的底。