混合分数布朗运动下亚式期权定价
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孙 玉 东 ， 义 民 师
（ 北 工 业 大 学 应 用数 学 系 ， 西 陕西 西 安 摘 要 ７０７） １ ０ ２ 运 用 混 合 分 数 布 朗运 动 的 Ｉ ｔ 式 ． 几何 平均亚式 期权 定价化成 一 个偏微 分方程 求解 问 ６公 将
题 ， 过偏 微 分 方 程 求 解 获得 了几何 平 均型 亚式 看 涨 期 权 的 定 价 公 式． 通
下 的结 论 ， 近些 年来 ， 实际金 融市 场 中 由于 股票 价 在 格对过 去价 格具有 依 赖 性 ； 些 学 者考 虑 用 分 数 布 一 朗运 动刻 画股票 价 格 的变 化［ ， 至 有部 分 学 者 开 ５ 甚 ３ 始 用 混合 布 朗运 动研 究 欧 式期 权 ． 文 假 定 股票 ］本 价 格遵循 分数 驱动 的随 机微 分 方 程 ， 用 分 数 布 朗 利 运 动随 机分析 理论 ， 到 了混 合分 数 布 朗运 动 环 境 得
关 键 词 混 合 分 数 布 朗 运 动 ；几 何 平 均 型 亚 式 期 权 ；Ｂ ａ ｋＳ ｈ ｌｓ 微 分 方 程 ｌｃ — ｃ ｏｅ 偏
中图 分 类 号
Ｏ １ ． ； ８０ ９ ２ １６ Ｆ ３ ．
文 献 标 识 码 Ａ
Ａｓ ａ ｉ ｎ Ｏｐｔｏ ｉ ｉ ｏ ｅ ｎ Ｍ ｉ ｅ ｉ ｎ Ｐｒ ｃ ｎｇ Ｍ ｄ ｌｉ ｘ ｄ
第２ ８卷
第 １ 期
经
济
数
学
Ｖ ｏ１２８， ． ＮＯ．１
Ｍ ａ ．２０ １ ｒ １
２ ０ １ １ 年 ３ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＩ ＴＡＴＩ ＣＯＮＯＭ Ｉ ＶＥ Ｅ ＣＳ
混 合 分 数 布 朗运 动 下 亚 式 期 权 定 价
下 几何 平均型 亚式 期 权 价格 所 满 足 的 Ｂ ａｋＳ ｈ ｌ ｌｃ —ｃ ｏ— ｅ 偏微 分方 程 ，并通过 求解 该偏 微分 方程 给 出了 亚 ｓ 式 看涨期 权 的定 价公 式．
２ 金 融 市 场 数 学 模 型
考 虑存 在两 种 可 自由 、 续 进 行交 易 的资 产 的 连 无套利 和无 摩擦 市场 ， Ｂ 表示 ￡ 时刻无 风 险 资 产 的 价格 ， 示风 险 资产 的价 格 ， 股票 ． 文 假设 它 ｓ表 如 本 们在 物理测 度下仍 满足 随机 微分 方程
ｏ ｅ ｒｅ ａ ｅ ａ ｓａ ａ ｌａ ｄ ｐｕｔｏｐｔｏ ｒ ａｉｅ ｙ ｐ ｒ ｉｌｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ｔｏｎ ｔ ｏ ｙ ｍ ｔ ｉ ｖ ｒ ｇｅ Ａ ｉ ｎ ｃ ｌ ｎ ｉｎ ｗｅ ｅ ｏｂｔ ｎ ｄ ｂ ａ ｔａ ｆｅ ｅ ｔａｌｅ ｕａ ｉ ｈｅ ｒ ．
ｉｔ ｈ ｕ ｓｉｎｏ ｏｖｎ ａｔａ ｉｆｒｎｉｌ ｑ ａ ｉｎｂ ｘ ｄＩＳｆｒ ｌ．Ｔｈ ｒｃｎ ｏ ｍ ｕａｏ ｈ ｅ ｎ ｏｔ ｅｑ ｅｔ ｆ ｌｉｇｐ ｒｉｌ ｆ ｅ ｔａ ｕ ｔ ｙｍｉｅ ｔ ｏ ｍｕａ ｏ ｓ ｄ ｅ ｅ ｏ ｅｐｉｉｇ ｆｒ ｌ ｆ ｅｇ ‘ ｔ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ Ｉ ｒ ｅ Ｏ ｏ ｅ ｃ ｍｅ ｔ ｅｓ ｏ ｔｏ ｎ ｓ ｈ ｅ ｍｅ ｒｃ ａ ｅ ａ ｅ Ａｓａ ｐ ｉ ｎ ｗａ ｈ ｎ ｅ ｎ ｏ ｄ ｒ ｔ ｖ ｒ ｏ ｈ ｈ ｒ ｃ ｍｉ ｇ ．ｔ ｅ ｇ ｏ ｔ ｉ ｖ ｒ ｇ ｉｎ ｏ ｔ ｓ ｃ ａ ｇ ｄ ｏ
Ｆｒ ｃ ｉ ｎａ ｏ ｒ Ｃ ｏ ｌＢｒ ｗｎｉ ｎ Ｍ ｏ ｉ ｎ Ｅｎ ｌ ｏ ａ ｔＯ ｎ ａ ｒ ｔｏ ｖ ｒ ｎｍ ｅ ｎｔ
ＳＵ Ｎ — ｏ Ｙｕ ｄ ｎｇ，ＳＨ ＩＹ ｉｍ ｉ — ｎ
（ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ Ａｐ ｉｄ Ｍａ ｈ ｍａ ｉｓ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｐｌｅ ｔｅ ｔｃ 。Ｎｏｔ ｗｅｔｒ ｌ ｔｃ ｎｃ ｌＵｎ ｖ ｒｉｙ，Ｘｉｎ， ｈ ｎ ｘ ７ ０ ７ Ｃｈ ｎ ｏ ｒｈ ｓｅ ｎＰｏｙｅｈ ｉａ ｉｅ ｓｔ ａ ＇ Ｓ ａ ｎ ｉ １ ０ ２， ｉａ）
Ｋ ｅ ｒ ｓ ｍｉ ｅ ｒ ｃｉ ｎ ｌ ｏ ｉｎ ｍｏ ｉｎ ｇ ｏ ｔｉ ｖ ｒ ｇ ｉｎ ｏ ｔ ｎ；Ｂｌｃ — ｃ ｏ ｅ ａ — ｙ ｗｏ ｄ ｘ ｄ ｆ ａ ｔｏ ａ ｗｎ ａ ｔ ｅ ｍｅ ｒｃａ ｅ ａ ｅ Ａｓａ ｐ ｉ Ｂｒ ｏ ｏ ａ ｋ Ｓ ｈ ｌｓ ｐ ｒ ｔ ｌｄ ｆｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ｉ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔｏ ａ ａｅ
１ 引 言 Hale Waihona Puke Baidu
亚 式期 权 作 为 一种 路 径依 赖 期权 ， 一 种新 型 是
期 权 ， 执行 与否 取 决 于合 同期 内 股票 平 均 价格 的 其 高 低． 由于采 用平 均 值 可 以减 少 价 格波 动 的所 带来 的影 响 ， 而亚式期 权 比类 似的 常规 期权 更便 宜 ， 从 因 此 在货 币和商 品市 场 中 比较 流行 ． 亚式 期 权 是一 种 依赖 标 的资产 价格 路径 的期权 ，它 在到期 日的 收益 依 赖于期 权整 个有 效 期 内标 的资 产 的平 均 价 格 ， 根 据取 平均 的方 法亚 式期 权可 以分 为算 术平 均型 和几 何平 均型 两种类 型 ． 者 主 要 考 虑几 何 平 均 亚式 期 笔
ｄ ｒ ｔ Ｂ ＝ ｔ ｄ， Ｂ （） １
权． 文献 ［ ～２ １ ］用 偏 微 分 方 程 的方 法 ， 究 了几 何 研
平均 型亚 式期权 定价 模 型 ， 在求 解方 程时 ， 了使 得 为
方程 能够求 解 ， 假定所 涉及 的参 数均 为常数 ； 文献 ［ ３ ４ ］在 风险 中性测 度下 采用 鞅方 法 ， 讨论 了 几何平 均亚 式期 权定价 问题． 是 上诉 文 献 都 是 布 朗运 动 但
（ 北 工 业 大 学 应 用数 学 系 ， 西 陕西 西 安 摘 要 ７０７） １ ０ ２ 运 用 混 合 分 数 布 朗运 动 的 Ｉ ｔ 式 ． 几何 平均亚式 期权 定价化成 一 个偏微 分方程 求解 问 ６公 将
题 ， 过偏 微 分 方 程 求 解 获得 了几何 平 均型 亚式 看 涨 期 权 的 定 价 公 式． 通
下 的结 论 ， 近些 年来 ， 实际金 融市 场 中 由于 股票 价 在 格对过 去价 格具有 依 赖 性 ； 些 学 者考 虑 用 分 数 布 一 朗运 动刻 画股票 价 格 的变 化［ ， 至 有部 分 学 者 开 ５ 甚 ３ 始 用 混合 布 朗运 动研 究 欧 式期 权 ． 文 假 定 股票 ］本 价 格遵循 分数 驱动 的随 机微 分 方 程 ， 用 分 数 布 朗 利 运 动随 机分析 理论 ， 到 了混 合分 数 布 朗运 动 环 境 得
关 键 词 混 合 分 数 布 朗 运 动 ；几 何 平 均 型 亚 式 期 权 ；Ｂ ａ ｋＳ ｈ ｌｓ 微 分 方 程 ｌｃ — ｃ ｏｅ 偏
中图 分 类 号
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文 献 标 识 码 Ａ
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第 １ 期
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Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＩ ＴＡＴＩ ＣＯＮＯＭ Ｉ ＶＥ Ｅ ＣＳ
混 合 分 数 布 朗运 动 下 亚 式 期 权 定 价
下 几何 平均型 亚式 期 权 价格 所 满 足 的 Ｂ ａｋＳ ｈ ｌ ｌｃ —ｃ ｏ— ｅ 偏微 分方 程 ，并通过 求解 该偏 微分 方程 给 出了 亚 ｓ 式 看涨期 权 的定 价公 式．
２ 金 融 市 场 数 学 模 型
考 虑存 在两 种 可 自由 、 续 进 行交 易 的资 产 的 连 无套利 和无 摩擦 市场 ， Ｂ 表示 ￡ 时刻无 风 险 资 产 的 价格 ， 示风 险 资产 的价 格 ， 股票 ． 文 假设 它 ｓ表 如 本 们在 物理测 度下仍 满足 随机 微分 方程
ｏ ｅ ｒｅ ａ ｅ ａ ｓａ ａ ｌａ ｄ ｐｕｔｏｐｔｏ ｒ ａｉｅ ｙ ｐ ｒ ｉｌｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ｔｏｎ ｔ ｏ ｙ ｍ ｔ ｉ ｖ ｒ ｇｅ Ａ ｉ ｎ ｃ ｌ ｎ ｉｎ ｗｅ ｅ ｏｂｔ ｎ ｄ ｂ ａ ｔａ ｆｅ ｅ ｔａｌｅ ｕａ ｉ ｈｅ ｒ ．
ｉｔ ｈ ｕ ｓｉｎｏ ｏｖｎ ａｔａ ｉｆｒｎｉｌ ｑ ａ ｉｎｂ ｘ ｄＩＳｆｒ ｌ．Ｔｈ ｒｃｎ ｏ ｍ ｕａｏ ｈ ｅ ｎ ｏｔ ｅｑ ｅｔ ｆ ｌｉｇｐ ｒｉｌ ｆ ｅ ｔａ ｕ ｔ ｙｍｉｅ ｔ ｏ ｍｕａ ｏ ｓ ｄ ｅ ｅ ｏ ｅｐｉｉｇ ｆｒ ｌ ｆ ｅｇ ‘ ｔ
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１ 引 言 Hale Waihona Puke Baidu
亚 式期 权 作 为 一种 路 径依 赖 期权 ， 一 种新 型 是
期 权 ， 执行 与否 取 决 于合 同期 内 股票 平 均 价格 的 其 高 低． 由于采 用平 均 值 可 以减 少 价 格波 动 的所 带来 的影 响 ， 而亚式期 权 比类 似的 常规 期权 更便 宜 ， 从 因 此 在货 币和商 品市 场 中 比较 流行 ． 亚式 期 权 是一 种 依赖 标 的资产 价格 路径 的期权 ，它 在到期 日的 收益 依 赖于期 权整 个有 效 期 内标 的资 产 的平 均 价 格 ， 根 据取 平均 的方 法亚 式期 权可 以分 为算 术平 均型 和几 何平 均型 两种类 型 ． 者 主 要 考 虑几 何 平 均 亚式 期 笔
ｄ ｒ ｔ Ｂ ＝ ｔ ｄ， Ｂ （） １
权． 文献 ［ ～２ １ ］用 偏 微 分 方 程 的方 法 ， 究 了几 何 研
平均 型亚 式期权 定价 模 型 ， 在求 解方 程时 ， 了使 得 为
方程 能够求 解 ， 假定所 涉及 的参 数均 为常数 ； 文献 ［ ３ ４ ］在 风险 中性测 度下 采用 鞅方 法 ， 讨论 了 几何平 均亚 式期 权定价 问题． 是 上诉 文 献 都 是 布 朗运 动 但