含参数不等式恒成立问题的解法

浅谈含参数不等式恒成立问题的解法
摘要：在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成立问题，题目一般综合性强，是高考热点题型之一。

下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法：
关键词：不等式；参数；恒成立；解题方法
【中图分类号】g642
1 绪论
不等式问题是数学中的重要内容之一，在数学的各个分支中都有广泛的应用，而含参数不等式恒成立问题又是重点中的难点。

含参数不等式恒成立问题往往以函数、数列、三角、解析几何和导数等为载体，具有一定的综合性和复杂性。

在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识。

其解法多变，技巧性较强，体现了函数、方程、数形结、化归与转化等一系列数学思想方法。

基于此，下文试对此类问题的解题方法作一简单的提炼总结。

2 常用解题方法
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数，有
1）对恒成立；
2）对恒成立
例1.已知函数的定义域为r，求实数的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。

所以实数的取值范围为。

若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2.设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

解：设，则当时，恒成立
当时，显然成立；
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。

综上可得实数的取值范围为。

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）恒成立
2）恒成立
例3.已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。

解：设，
则由题可知对任意恒成立
令，得
而
∴
∴即实数的取值范围为。

例4.函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

解：若对任意，恒成立，
即对，恒成立，
考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得
而抛物线在的最小值得
注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。

3 分离参数法
所谓分离参数法，就是将参数与未知量分离于不等式的两边，然后根据未知量的取值情况，通过求函数最值的方法来确定参数的取值范围。

例5：若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围。

分析：此含参数不等式含有两个变量和，可以将两个变量分离到不等式的两边，然后通过求含的函数的最值来确定的取值范围。

解：由得：。

令
由于，所以，
则，即的最小值为。

因此，要使不等式对任意恒成立，只要就行。

所以，的取值范围为。

利用分离参数法来确定含两个变量和不等式恒成立问题中参数取值范围的基本步骤如下：
（1）将参数与变量分离，即化为或的形式；
（2）求在给定条件下的最大（或最小）值；
（3）求解不等式或得的取值范围。

思想方法：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。

适用题型：参数与变量能分离；函数的最值易求出。

4 构造函数法
所谓构造函数法，就是通过数式类比构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质进行解题。

例2：对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。

分析：题中已知的范围，故可视为的一次函数。

解：令，因是一次函数，相应的直线斜率为
当时，为递增函数，要使，必须满足
即，解得；
当时，为递减函数，要使，必须满足
即，解得；
当时，，不符合要求，舍去。

则，的取值范围为。

思想方法：把不等式恒成立问题转化为函数问题，利用函数特有性质求解。

适用题型：参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数。

2.3 数形结合法
所谓数形结合法，就是先把不等式或经过变形的不等式两端分别
看成两个函数，再画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，最后列出含参数不等式恒成立问题中的参数范围。

5 数形结合策略
例5 设函数，，若恒有成立，试求实数a的取值范围.
解析由题意得，令①，②.
①可化为，它表示以（2，0）为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点（-2，0），以a为斜率的直线，要使恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了（如图所示）.当直线与半圆相切时就有，即，由图可知，要使恒成立，实数a
的取值范围是 .
思想方法：用函数图象的直观性解决不等式恒成立的问题。

适用题型：不等式两边的函数模型较明显，函数图象较容易作出。

3 结论
恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题
的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.
参考文献：
[1] 田宝运.不等式问题中的数学思想[j].中学数学研究，2004（10）：85-86.
[2] 郭希连.不等式的解法[j].数学通讯，2000（33）：65-68.
[3] 楼伯寿.含参数不等式的解法之数形结合[j].中学教研，2001（9）：78-81.。