数学建模及典型案例分析

a
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数学模型的分类
按应用领域分类: 人口模型，环境模型、交通模型、 生态模型……
按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方 法模型、统计回归模型、数学规划模型……
按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型
按变量的连续性分类：连续模型和离散模型 按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模
vi1 (a
bxi1 ,
x2 i1
y2 i1
byi1 ),
x2 i1
y2 i1
Pi (xi, yi ) Pi1 vi1t, i 1,2,
a
(1.3)
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示例1 鸭子过河
当yi<0时, 说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算. 由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.
a
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例如取a=1, b=2, h=10, Δt=0.3, 则求得结果为
6
1.2957 7.0107 17 1.6721 1.2479
7
1.4867 6.4207 18 1.4913 0.8891
8
1.6513 5.8362 19 1.2759 0.5818
9
1.7880 5.2588 20 1.0300 0.3329
10 1.8949 4.6908 21 0.7591 0.1484
李志林，欧宜贵编著
化学工业出版社
数学建模及典型案例分析
广西民族大学数学与计算机a 科学学院
曹敦虔制1 作
目录
1. 数学建模导言 2. 插值与拟合 3. 微分方程建模方法 4. 差分法建模 5. 计算机模拟 6. 层次分析法 7. 数据的统计描述与分析 8. 回归分析方法 9. 优化模型 10. 确定型时间序列预测法 11. 随机型时间序列预测法
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示例1 鸭子过河
进一步讨论 1. 如果b<a, 结果会怎么样? 2. 如果不要求鸭子一定要达到正对岸O, 问鸭子以怎样的
游动方向才能以最少的时间到达对岸?
a
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建模过程总结
简化假设 设定符号变量 建立模型 求解模型 解的讨论及推广应用
a
26
数学建模的基本方法和步骤
基本方法 1.机理分析 2.测试分析
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示例1 鸭子过河
即
dx
d
t
a
bx ,
x2 y2
d
y
by
,
d t
x2 y2
又由初始条件有
百度文库
x(0)0, y(0)h.
(1.1)(1.2) 就是所求问题的一个微分方程模型。
a
(1.1)
(1.2)
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示例1 鸭子过河
模型求解 1.数值解 设时间步长为Δt, 则
P0 (x0, y0) (0,h), v0 (a,b),
a
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数学模型
什么是数学模型 ？
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、 定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去 近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个 数学表述。
例如在牛顿力学中的公式f=ma, s=vt. 爱因斯坦的质能 方程E=mc2. 这些都是数学模型.
数学建模就是建立数学模型的过程。
i
xi
yi
i
xi
yi
1
0
10
12 2.0120 3.5928
2
0.3000 9.4000 13 2.0188 3.0693
3
0.5809 8.8003 14 1.9891 2.5680
4
0.8413 8.2016 15 1.9217 2.0937
5
1.0801 7.6047 16 1.8160 1.6516
a
分典及数 析型 学
案建 例模
2
1 数学建模导言
1. 数学模型及其分类 2. 数学建模例子 3. 数学建模的基本方法和步骤
a
3
各种模型
a
4
各种模型
a
5
各种模型
a
6
各种模型
a
7
各种模型
a
8
各种模型
a
9
模型
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一 部分进行简化、抽象、提炼出来的原型替代物。
(1.4)可以看成是另一种形式的微分方程模型. 它是一个 的常微分方程初值问题. 求解它可以得到精确解
xh2hy1bahy1ba, 0yh.
(1.5)
求解方程(1.4)的Maple代码: assume(h>0); sol:=dsolve({D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)^2+y^2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0},x(y)): simplify(allvalues(sol));
型和黑箱模型
按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型
按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型
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示例1 鸭子过河
有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向 始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。
a
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示例1 鸭子过河
模型假设 1. 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 2. 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数; 3. 初始时鸭子的位置为A; 4. 鸭子游动的方向始终指向O.
a
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示例1 鸭子过河
所求得的鸭子经过的路 线如右图所示。
思考： 此方法所求得的结果为 近似值，为什么？
a
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示例1 鸭子过河
2. 精确解 由(1.1)(1.2)可以得到
ddyx
a
bx x2 y2 by x2 y2
a
x2 y2 x , by y
x(h) 0.
a
(1.4)
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示例1 鸭子过河
11 1.9701 4.1344 22 0.4702 0.0333
a
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计算(1.3)的Matlab代码
clc %清屏 % 鸭子过河问题 a=1; b=2; h=10; dt=0.3; %设置参数 i=1; P=[0,h]; %初始值 while P(i,2)>0
i=i+1; v=[a - b.*P(i-1,1)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2), -b.*P(i-1,2)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2)]; %计算第i步的速度 P(i,:)= P(i-1,:)+ v.*dt; %计算第i步位置 end P %显示结果 plot(P(:,1),P(:,2)) %作图
a
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示例1 鸭子过河
模型建立 取O为坐标原点，
河岸朝顺水方向 为x轴，y轴指向 对岸。
关键是如何求出P 点坐标(x,y)关于 时刻t的表达式.
a
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示例1 鸭子过河
t时刻鸭子本身的速度为
OP b
bb
(x,y),
|OP| x2y2
河水速度为 a(a,0),
所以合速度为
v a b (a bx , by), x2y2 x2y2