量子计算概述
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做变换：
| ei cos 0 ei sin 1 2 2
其中 θ、φ 和 γ 都是实数。实际上 e 不具有任何可观测的效应，所以有效的变换形式 为：
i
| cos
2
0 ei sin
2
1
由 θ 和 φ 定义了三维单位球面上的点，即对应 | 态。
了 U 变换； 受控多量子比特门相当于在所有控制比特都为 1 的 情况下，对所有目标量子比特作 U 变换；交换门可以交换两个 量子比特；测量运算即对量子比特作测量，投影到两个基上。
量子线路主要有以下几个部分组成： 单量子比特运算、 受控运算和测量。 可以证明， 单量子比特门和受控非门是通用的， 即单量子比特门核受控非门可以实现 n 量子比特上 的任意酉计算。但是一般需要指数级的门来产生 n 量子比特的运算，所以我们并不能有 效地（使用 n 的多项式数量个门）构造出任意的酉门。
1 00
1 0 2
00
11 1 10 01
第一个量子比特通过 Hadamard 门，得到
2 0 1 00 11 0 1 10 01 2
1 00 0 1 01 1 0 10 0 1 11 1 0 2
也是对所有量子比特门的要求） 。
三、
量子线路和量子算法
在了解了量子比特的基本信息之后，我们转而对量子线路和量子算法进行一番探讨。 1. 量子线路 量子线路中的常用符号如下：
Fra Baidu bibliotek
单量子比特门
受控多量子比特门
A
交换门
B
测量运算
A B
A
量子比特
经典比特
n 量子比特
图三
量子线路中的元件
单量子比特门相当于对量子比特作
亦即相当于经典异或门的推广，因为该门将 A, B A, A B 。
另一种表示方法为矩阵表示 U CN
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 ，各列分别代表对计算基态 1 0
† U CN I ，即 U CN 为一酉矩阵（这 00 、 01 、 10 和 11 的变换。容易验证， U CN
图二
受控非门 第一量子比特为控制量子比特， 第二量子 比特为目标量子比特，⨁为模 2 加法。
受控非门的作用如下。输入两个量子比特，分别是控制量子比特和目标量子比特， 当控制量子比特置为 0 的时候，目标量子比特保持不变，而当控制量子比特置为 1 的时 候，目标量子比特翻转：
00 00 ， 01 01 ， 10 11 ， 11 10
图六 Deutsch-Jozsa 算法
H n 为在 n 个量子比特上均作
用 Hadamard 门
Alice 拥有一个 n 量子比特的寄存器，Bob 有一个单量子比特寄存器。初始时 Alice 的寄存器的量子比特全部置 0 ，Bob 的寄存器处于 1 态。将所有的量子比特经过 Hadamard 门变换产生叠加后，Bob 使用并行计算 f x ，Alice 再次使用 Hadamard 门变 换干涉叠加态中的项，最终确定函数的种类。 计算过程如下
例子：EPR 态和量子隐形传态 EPR 态是这样几个双量子比特的总称
00 01 10 11
00 11 2 01 10 2 00 11 2 01 10 2
这些量子态是由四个基 00 、 01 、 10 、 11 经过如下量子线路得来的。
图四 产生 EPR 对的线路 其中 H Hadamard 门。
1 1 1 ，称为 2 1 1
这一组神奇的量子态是由 Einstein、Podolsky 和 Rosen 提出的[3]，也称为 Bell 态。 Alice 需要将一个态 传送给 Bob， 但是很不幸， Alice 并不知道 态的任何信息， 而且她只能给 Bob 传送经典信息（例如说寄信） 。不幸中的万幸是，Alice 和 Bob 曾经生 活在一起并且产生过一个 EPR 对
限制就是酉性（unitary） 。量子门的作用都是线性的。
多量子比特门 在经典线路中，有五种重要的多比特门：与（AND） 、或（OR） 、异或（XOR） 、与 非（NAND）和或非（NOR）门。在比特上的任意函数都可以用与非门的复合来计算， 所以与非门被称作一个通用门。与与非门在经典线路中的地位相似，受控非（CNOT） 门在量子线路中也有类似的结果， 即任意的多量子比特门都可以由受控非门和单量子比 特门复合而成。 受控非门是这样一个门，如图二所示。 4.
ii.
基于 Fourier 变换的量子算法
量子 Fourier 变换定义为，在一组标准正交基 0 ，…， N 1 上的一个线性算子， 对任意状态作用为
x j j yk k
j 0 k 0
N 1
N 1
其中 y k 是 x j 的离散 Fourier 变换值。这是一个酉变换。
图七
量子 Fourier 变换的有效线路， 省略了改变量子比特顺序
1
表达式分为四项，同样的，前两个量子比特依然属于 Alice 而第三个量子比特属于 Bob。 于是 Bob 手中的量子态有可能处于四个态中的一个（左边为 Alice 的两个量子比特）
00 3 00 0 1 01 3 01 1 0 10 3 10 0 1 11 3 11 1 0
n
中选择一个数 x ，寄信告诉 Bob。Bob 则要计算出某个函数的值 f x ，取值 0 或者 1， 并且将这个数寄回给 Alice。Bob 保证只使用两种函数：一种对于所有的 x ， f x 的值 都是一样的，即常函数；或者对于一半的 x 的取值， f x 0 ，其余的则为 1，即该 函数是平衡的。Alice 需要使用最少的通讯次数，确定 Bob 使用的是常函数还是平衡函 数，如何完成？
输入态 | | 0 |1 ，其中幅度 α 和 β 未知。输入线路的状态是
0 00
1 0 2
00
11 1 00 11
其中前两个量子比特属于 Alice，第三个量子比特属于 Bob。Alice 的两个量子比特经过 一个受控非门得到
量子计算概述
张棽 0519004 游建强 复旦大学物理学系 2008.1 一、 概述 量子计算与量子信息的研究对象是用量子力学系统能够完成的信息处理任务， 主要 涉及到量子力学、计算机科学、信息论和密码术等一些不同的领域。本文仅对量子信息 方面的一些基本概念如量子线路的组成以及量子算法的基础等方面作一些粗浅的分析。
其中 α 和 β 是复数，满足归一化条件 | | | | 1 。| 0 和 |1 称为计算基态，是
2 2
向量空间中的一组标准正交基。 （在下文有可能出现的计算中， | 0 代表 ， |1 代表
1 0
0 ）更为直观的表示是在三维球面（称为 Bloch 球）上的地一个点对应一个量子比特， 。 1
的交换门，其中 Rn
0 1 2 0 e i /2n
不加证明的引入上图，这个线路可以有效地进行量子 Fourier 变换。图中一共有
n(n 1) / 2 个门，加上交换门至多 n / 2 个，每个交换门是 3 个受控非门，这个线路是
一个计算量子 Fourier 变换的 (n ) 算法。对比经典离散 Fourier 变换，计算 2 个元需
二、
量子比特与量子比特门 对于经典的计算和信息论，比特（bit）是其基本概念。对于量子信息和量子计算的领 域，与比特相对应的概念是量子比特（qubit） 。 1. 单量子比特 一个量子比特是两个态——我们可以表示为 | 0 和 |1 ——对应经典比特的 0、1— —的线性叠加：
| | 0 |1
图一 量子比特的 Bloch 球面表示。
这种直观的表示对处理单量子比特门的作用时非常方便，但是对于多量子比特，还没 有一种简单的推广，所以 Bloch 球面的作用还是比较有限的。
2.
多量子比特 以两个量子比特为例，对比两个经典比特的四个可能的状态：00、01、10、11，相
应的两个量子比特——一个双量子比特——有四个基： 00 、 01 、 10 和 11 。于 是，一个双量子比特可以处于如下态：
根据 Alice 的测量结果 M 1 和 M 2 ，Bob 可以应用变换 Z 量子比特上，用以恢复 态。
M1
X M 2 作用在（左乘）他自己的
2.
量子算法举例 i. Deutsch-Jozsa 算法 又是一个关于 Alice 和 Bob 的故事。Alice 和 Bob 要做一个游戏，Alice 从 0 到 2 1
† 单量子比特门是一个（二阶）酉矩阵 U ，满足 U U I ，作用在量子比特
| | 0 |1 上，相当于将 | （写成列向量形式）左乘上 U ，变换
成 | U
。
实际上，每一个酉矩阵 U 都对应着一个有效的量子门，即对于量子门来说唯一的
00 00 01 01 10 10 11 11
归一化条件为
x{0,1}2
| x |2 1
对于更多的量子比特（n 量子比特） ，可以看出，其基态可以表示为 x1 x2 xn ， 其量子状态由 2 个幅度来确定。
n
3.
单量子比特门 经典计算线路由连线和门组成，量子线路也不外如是。
n 经典的情况下，Alice 每次只能发送一个值给 Bob，在最坏估计下需要 2 / 2 1 次。
注意，每封信中 Alice 发送给 Bob 的信息量是 n 个经典比特。 如果 Alice 和 Bob 可以交换量子比特，并且 Bob 使用酉变换 U f 来计算 f x ，那么 通过一次通讯即可确定函数的种类。
2
n
要 (n2 ) 个元，计算能力远不如量子 Fourier 变换。美中不足的是，我们无法直接测量
n
到每一个量子比特的幅度，所以我们只能用一些特殊的办法发掘量子 Fourier 变换算法 的优势。 其中最著名的算法当属 Shor 的量子求阶算法以及所衍生的因子算法。还有进一步 的推广到求解隐含子群问题的算法。 iii. 其他 其他算法如量子搜索算法、量子仿真等，在此不再叙述。
四、
量子计算机的物理实现
我们相信量子计算机物理上是可以实现的， 否则上述所有的讨论就没有了意义。 我们可 以找出一系列指导量子计算机实现的原则。 最基本的单元是量子比特——一个双能级的量子系统，例如自旋、电荷或者光子。我们 需要这个量子比特可以很好的保持叠加态 （一只猫就不能长久地处于|活>和|死>的叠加态） ， 并且它与外界的作用要强到使得我们可以访问到这个量子比特， 现实中的量子计算机必须平 衡好这二者之间的矛盾。 可以进行量子计算的时间长度由系统保持量子力学相干状态的时间 TQ 和完成基本酉变 换的时间 Top 的比值给出： Top / TQ 。更详细的对系统的要求提出以下四个条件： 1、 有效的表示量子信息 2、 酉变换的性能 3、 基准初态的制备：可以重复的以高保真度制备某一个特定的量子状态，对于其他所 需要的输入状态可以经酉变换完成。 4、 输出结果的测量
00 。Alice 如何才能完成这项任务呢？
图五
量子隐形传态 上方两根线代表 Alice 的系统，下方的线
是 Bob 的系统。X 门和 Z 门（以及相应的，未出现的 Y 门） ，是 Pauli-X（Y、Z）门，对应三个 Pauli 矩阵：
0 1 X ， 1 0
0 i 1 0 Y ，Z 。 i 0 0 1
0
n
1
2n 1 n
0 1 x 2 2 x 0 0 1 1 f x 1 x 2 2n x 1
z x
1
x z f x
2
n
z 0 1 2
z
其中 x z 是模 2 按位内积。如果所有的 z 均为零，则函数为常函数；否则是平衡函 数。 由这个算法可见，量子计算机对于 Deutsch 问题的解决能力远远高于经典计算机， 但是很可惜，Deutsch 问题的实用性并不明显，不过 Deutsch-Jozsa 算法包含了其他更加 影响深远的算法的种子，对于试图理解量子算法的运算归路很有启发性。
| ei cos 0 ei sin 1 2 2
其中 θ、φ 和 γ 都是实数。实际上 e 不具有任何可观测的效应，所以有效的变换形式 为：
i
| cos
2
0 ei sin
2
1
由 θ 和 φ 定义了三维单位球面上的点，即对应 | 态。
了 U 变换； 受控多量子比特门相当于在所有控制比特都为 1 的 情况下，对所有目标量子比特作 U 变换；交换门可以交换两个 量子比特；测量运算即对量子比特作测量，投影到两个基上。
量子线路主要有以下几个部分组成： 单量子比特运算、 受控运算和测量。 可以证明， 单量子比特门和受控非门是通用的， 即单量子比特门核受控非门可以实现 n 量子比特上 的任意酉计算。但是一般需要指数级的门来产生 n 量子比特的运算，所以我们并不能有 效地（使用 n 的多项式数量个门）构造出任意的酉门。
1 00
1 0 2
00
11 1 10 01
第一个量子比特通过 Hadamard 门，得到
2 0 1 00 11 0 1 10 01 2
1 00 0 1 01 1 0 10 0 1 11 1 0 2
也是对所有量子比特门的要求） 。
三、
量子线路和量子算法
在了解了量子比特的基本信息之后，我们转而对量子线路和量子算法进行一番探讨。 1. 量子线路 量子线路中的常用符号如下：
Fra Baidu bibliotek
单量子比特门
受控多量子比特门
A
交换门
B
测量运算
A B
A
量子比特
经典比特
n 量子比特
图三
量子线路中的元件
单量子比特门相当于对量子比特作
亦即相当于经典异或门的推广，因为该门将 A, B A, A B 。
另一种表示方法为矩阵表示 U CN
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 ，各列分别代表对计算基态 1 0
† U CN I ，即 U CN 为一酉矩阵（这 00 、 01 、 10 和 11 的变换。容易验证， U CN
图二
受控非门 第一量子比特为控制量子比特， 第二量子 比特为目标量子比特，⨁为模 2 加法。
受控非门的作用如下。输入两个量子比特，分别是控制量子比特和目标量子比特， 当控制量子比特置为 0 的时候，目标量子比特保持不变，而当控制量子比特置为 1 的时 候，目标量子比特翻转：
00 00 ， 01 01 ， 10 11 ， 11 10
图六 Deutsch-Jozsa 算法
H n 为在 n 个量子比特上均作
用 Hadamard 门
Alice 拥有一个 n 量子比特的寄存器，Bob 有一个单量子比特寄存器。初始时 Alice 的寄存器的量子比特全部置 0 ，Bob 的寄存器处于 1 态。将所有的量子比特经过 Hadamard 门变换产生叠加后，Bob 使用并行计算 f x ，Alice 再次使用 Hadamard 门变 换干涉叠加态中的项，最终确定函数的种类。 计算过程如下
例子：EPR 态和量子隐形传态 EPR 态是这样几个双量子比特的总称
00 01 10 11
00 11 2 01 10 2 00 11 2 01 10 2
这些量子态是由四个基 00 、 01 、 10 、 11 经过如下量子线路得来的。
图四 产生 EPR 对的线路 其中 H Hadamard 门。
1 1 1 ，称为 2 1 1
这一组神奇的量子态是由 Einstein、Podolsky 和 Rosen 提出的[3]，也称为 Bell 态。 Alice 需要将一个态 传送给 Bob， 但是很不幸， Alice 并不知道 态的任何信息， 而且她只能给 Bob 传送经典信息（例如说寄信） 。不幸中的万幸是，Alice 和 Bob 曾经生 活在一起并且产生过一个 EPR 对
限制就是酉性（unitary） 。量子门的作用都是线性的。
多量子比特门 在经典线路中，有五种重要的多比特门：与（AND） 、或（OR） 、异或（XOR） 、与 非（NAND）和或非（NOR）门。在比特上的任意函数都可以用与非门的复合来计算， 所以与非门被称作一个通用门。与与非门在经典线路中的地位相似，受控非（CNOT） 门在量子线路中也有类似的结果， 即任意的多量子比特门都可以由受控非门和单量子比 特门复合而成。 受控非门是这样一个门，如图二所示。 4.
ii.
基于 Fourier 变换的量子算法
量子 Fourier 变换定义为，在一组标准正交基 0 ，…， N 1 上的一个线性算子， 对任意状态作用为
x j j yk k
j 0 k 0
N 1
N 1
其中 y k 是 x j 的离散 Fourier 变换值。这是一个酉变换。
图七
量子 Fourier 变换的有效线路， 省略了改变量子比特顺序
1
表达式分为四项，同样的，前两个量子比特依然属于 Alice 而第三个量子比特属于 Bob。 于是 Bob 手中的量子态有可能处于四个态中的一个（左边为 Alice 的两个量子比特）
00 3 00 0 1 01 3 01 1 0 10 3 10 0 1 11 3 11 1 0
n
中选择一个数 x ，寄信告诉 Bob。Bob 则要计算出某个函数的值 f x ，取值 0 或者 1， 并且将这个数寄回给 Alice。Bob 保证只使用两种函数：一种对于所有的 x ， f x 的值 都是一样的，即常函数；或者对于一半的 x 的取值， f x 0 ，其余的则为 1，即该 函数是平衡的。Alice 需要使用最少的通讯次数，确定 Bob 使用的是常函数还是平衡函 数，如何完成？
输入态 | | 0 |1 ，其中幅度 α 和 β 未知。输入线路的状态是
0 00
1 0 2
00
11 1 00 11
其中前两个量子比特属于 Alice，第三个量子比特属于 Bob。Alice 的两个量子比特经过 一个受控非门得到
量子计算概述
张棽 0519004 游建强 复旦大学物理学系 2008.1 一、 概述 量子计算与量子信息的研究对象是用量子力学系统能够完成的信息处理任务， 主要 涉及到量子力学、计算机科学、信息论和密码术等一些不同的领域。本文仅对量子信息 方面的一些基本概念如量子线路的组成以及量子算法的基础等方面作一些粗浅的分析。
其中 α 和 β 是复数，满足归一化条件 | | | | 1 。| 0 和 |1 称为计算基态，是
2 2
向量空间中的一组标准正交基。 （在下文有可能出现的计算中， | 0 代表 ， |1 代表
1 0
0 ）更为直观的表示是在三维球面（称为 Bloch 球）上的地一个点对应一个量子比特， 。 1
的交换门，其中 Rn
0 1 2 0 e i /2n
不加证明的引入上图，这个线路可以有效地进行量子 Fourier 变换。图中一共有
n(n 1) / 2 个门，加上交换门至多 n / 2 个，每个交换门是 3 个受控非门，这个线路是
一个计算量子 Fourier 变换的 (n ) 算法。对比经典离散 Fourier 变换，计算 2 个元需
二、
量子比特与量子比特门 对于经典的计算和信息论，比特（bit）是其基本概念。对于量子信息和量子计算的领 域，与比特相对应的概念是量子比特（qubit） 。 1. 单量子比特 一个量子比特是两个态——我们可以表示为 | 0 和 |1 ——对应经典比特的 0、1— —的线性叠加：
| | 0 |1
图一 量子比特的 Bloch 球面表示。
这种直观的表示对处理单量子比特门的作用时非常方便，但是对于多量子比特，还没 有一种简单的推广，所以 Bloch 球面的作用还是比较有限的。
2.
多量子比特 以两个量子比特为例，对比两个经典比特的四个可能的状态：00、01、10、11，相
应的两个量子比特——一个双量子比特——有四个基： 00 、 01 、 10 和 11 。于 是，一个双量子比特可以处于如下态：
根据 Alice 的测量结果 M 1 和 M 2 ，Bob 可以应用变换 Z 量子比特上，用以恢复 态。
M1
X M 2 作用在（左乘）他自己的
2.
量子算法举例 i. Deutsch-Jozsa 算法 又是一个关于 Alice 和 Bob 的故事。Alice 和 Bob 要做一个游戏，Alice 从 0 到 2 1
† 单量子比特门是一个（二阶）酉矩阵 U ，满足 U U I ，作用在量子比特
| | 0 |1 上，相当于将 | （写成列向量形式）左乘上 U ，变换
成 | U
。
实际上，每一个酉矩阵 U 都对应着一个有效的量子门，即对于量子门来说唯一的
00 00 01 01 10 10 11 11
归一化条件为
x{0,1}2
| x |2 1
对于更多的量子比特（n 量子比特） ，可以看出，其基态可以表示为 x1 x2 xn ， 其量子状态由 2 个幅度来确定。
n
3.
单量子比特门 经典计算线路由连线和门组成，量子线路也不外如是。
n 经典的情况下，Alice 每次只能发送一个值给 Bob，在最坏估计下需要 2 / 2 1 次。
注意，每封信中 Alice 发送给 Bob 的信息量是 n 个经典比特。 如果 Alice 和 Bob 可以交换量子比特，并且 Bob 使用酉变换 U f 来计算 f x ，那么 通过一次通讯即可确定函数的种类。
2
n
要 (n2 ) 个元，计算能力远不如量子 Fourier 变换。美中不足的是，我们无法直接测量
n
到每一个量子比特的幅度，所以我们只能用一些特殊的办法发掘量子 Fourier 变换算法 的优势。 其中最著名的算法当属 Shor 的量子求阶算法以及所衍生的因子算法。还有进一步 的推广到求解隐含子群问题的算法。 iii. 其他 其他算法如量子搜索算法、量子仿真等，在此不再叙述。
四、
量子计算机的物理实现
我们相信量子计算机物理上是可以实现的， 否则上述所有的讨论就没有了意义。 我们可 以找出一系列指导量子计算机实现的原则。 最基本的单元是量子比特——一个双能级的量子系统，例如自旋、电荷或者光子。我们 需要这个量子比特可以很好的保持叠加态 （一只猫就不能长久地处于|活>和|死>的叠加态） ， 并且它与外界的作用要强到使得我们可以访问到这个量子比特， 现实中的量子计算机必须平 衡好这二者之间的矛盾。 可以进行量子计算的时间长度由系统保持量子力学相干状态的时间 TQ 和完成基本酉变 换的时间 Top 的比值给出： Top / TQ 。更详细的对系统的要求提出以下四个条件： 1、 有效的表示量子信息 2、 酉变换的性能 3、 基准初态的制备：可以重复的以高保真度制备某一个特定的量子状态，对于其他所 需要的输入状态可以经酉变换完成。 4、 输出结果的测量
00 。Alice 如何才能完成这项任务呢？
图五
量子隐形传态 上方两根线代表 Alice 的系统，下方的线
是 Bob 的系统。X 门和 Z 门（以及相应的，未出现的 Y 门） ，是 Pauli-X（Y、Z）门，对应三个 Pauli 矩阵：
0 1 X ， 1 0
0 i 1 0 Y ，Z 。 i 0 0 1
0
n
1
2n 1 n
0 1 x 2 2 x 0 0 1 1 f x 1 x 2 2n x 1
z x
1
x z f x
2
n
z 0 1 2
z
其中 x z 是模 2 按位内积。如果所有的 z 均为零，则函数为常函数；否则是平衡函 数。 由这个算法可见，量子计算机对于 Deutsch 问题的解决能力远远高于经典计算机， 但是很可惜，Deutsch 问题的实用性并不明显，不过 Deutsch-Jozsa 算法包含了其他更加 影响深远的算法的种子，对于试图理解量子算法的运算归路很有启发性。