数学2课件：第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质

[解析] (1)证明：令 an＋1＋k＝2(an＋k)， 即 an＋1＝2an＋k， 与 an＋1＝2an＋1 比较得 k＝1. 又 a1＋1＝2，bn＝an＋1， 故数列{bn}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列． (2)法一：由(1)知，an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1. 法二：∵an＋1＝2an＋1，∴an＝2an－1＋1(n≥2)． ∴an＋1－an＝2(an－an－1)．
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2Biblioteka Baidu
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立 数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等 比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；(2)通过归 纳得到结论，再用数列知识求解．
3．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后 ________分钟，该病毒占据内存 64 MB(1 MB＝210 KB)． 解析：由题意可得每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令 病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次，即 2×2n＝64×210＝216，解得 n ＝15，从而复制的时间为 15×3＝45 分钟． 答案：45
数形结合思想在等比数列中的应用 [典例] 如图(1)是一个边长为 1 的正三角形，将每边三等分，以中间 一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下 去，得图(3)…试求第 n 个图形的边长和周长．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.
(3)在数列{an}中每隔 k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则 新数列仍为等比数列且公比为 qk＋1.
[双基自测]
1．在等比数列{an}中，若 a2＋a3＝4，a4＋a5＝16，则 a8＋a9＝( )
A．128
B．－128
C．256
D．－256
解析：a2＋a3，a4＋a5，a6＋a7，a8＋a9 仍成等比数列且 q＝aa24＋＋aa35＝4， ∴a8＋a9＝(a2＋a3)·43＝44＝256. 答案：C
[解析] 设从 2017 年 1 月开始，第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元， 则 an＋1＝an＋anm%，∴aan＋n 1＝1＋m%. ∴数列{an}是首项 a1＝a，公比 q＝1＋m%的等比数列． ∴an＝a(1＋m%)n－1. ∴2018 年 8 月底该厂的生产总值为 a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋ m%)19(万元)．
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
)
2
3
A.3
B.2
C.23或32
73 D. 2
解析：由题意及等比数列的性质知 aa33＋ a10a＝10＝a5a58，＝6 ⇒aa310＝＝32， 或aa31＝ 0＝23.. ∴aa2103＝q7＝aa130＝23或32. 答案：C
3．已知等比数列{an}中，有 a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且 b7 ＝a7，则 b5＋b9＝________. 解析：由等比数列的性质得 a3a11＝a72， ∴a72＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4. ∴b7＝a7＝4. 再由等差数列的性质知 b5＋b9＝2b7＝8. 答案：8
课时作业
[自主梳理]
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为 q. (1)两项关系：an＝ am·qn－m (m，n∈N*)． (2)多项关系：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 aman＝ apaq . (3)若 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap 成等比数列．
⑥吞噬：吞吃；吞咽；吞食。 ⑦回光返照：比喻人将死时神志 忽然清醒或短暂的兴奋。 ⑧沸沸扬扬：像沸腾的水一样喧 闹。形容人声喧扰，议论纷纷。 ⑨惊心动魄：原指文辞优美，意
三、文学常识 走近作者
威廉·莎士比亚(1564—1616)，文 艺复兴时期英国大戏剧家、诗人。 他幼年时就对戏剧产生了兴趣， 他曾进过文法学校，接触到古代 罗马的诗歌和戏剧。21岁时到伦 敦剧院工作，曾在剧院里打杂， 为看戏的绅士们看管马匹，后来
2．在等比数列{an}中，若 a1，a10 是方程 3x2－2x－6＝0 的两根，则
a4a7＝( )
A．－6
B．－2
C．2
2 D.3
解析：a4a7＝a1·a10＝－36＝－2.
答案：B
3．等比数列{an}中，若 a9＝－2，则此数列前 17 项之积为____________． 解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9 ＝a197＝(－2)17＝－217. 答案：－217
法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a32＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36. 又∵an>0，∴a3＋a5＝6. (2)∵a22＝a1a3，代入已知，得 a32＝8，∴a2＝2.
法一：设前三项为2q，2,2q，
则有2q＋2＋2q＝7. 整理得，2q2－5q＋2＝0，
中期(1601—1607)，是他创作的鼎 盛时期，一般称为悲剧时期。这 时正值英国社会从表面繁荣进入 社会动乱的转折时期，理想和现 实的矛盾使作者悲观失望，因此 作品的基调悲愤、阴郁。主要作 品有“四大悲剧”。即《哈姆雷特》 《奥赛罗》《李尔王》《麦克
[感悟提高] (1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改 变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
(2)通过观察图形特征，帮助学生发现图形所表示数的规律和特点， 一方面，培养学生发现图形特征和规律的能力；另一方面，在单纯发 现数列的规律比较困难的情况下，可以借助图形帮助解决；反之，在 观察图形特征比较困难的情况下，也可以考虑从观察数列特点入手进 行解决．
探究一 等比数列性质的应用 [典例 1] 已知数列{an}为等比数列． (1)若 an>0，且 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求 a3＋a5 的值； (2)若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)法一：∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即 a12q4＋2a21q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36， 即 a12q4(1＋q2)2＝36. 又∵an>0，∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． 解析：由 an＋1＝3an＋2，得 an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3， ∴数列{an＋1}是首项为 2，公比为 3 的等比数列， ∴an＋1＝2×3n－1， ∴an＝2×3n－1－1.
探究三 等比数列在实际中的应用 [典例 3] 某工厂 2017 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从 2017 年 2 月起，每月生产总值比上一个月增长 m%，那么到 2018 年 8 月底 该厂的生产总值为多少万元？
∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________. 解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列． ∴a62＝a2·a10， ∴a10＝1622×12＝13 122.
2．4 等比数列
第 2 课时 等比数列的性质
考纲定位
重难突破
1.结合等差数列的性质，了解等比数 重点：理解等比数列的性质
列的性质的由来． 并能应用．
2．理解等比数列的性质并能应用． 难点：掌握等比数列的性质
3．掌握等比数列的性质并能综合应 并能综合应用.
用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
第
10
课
基础自主学案
罗
密
课堂互动探究
欧
与
知能优化演练
朱
丽
美文佳作欣赏
叶
(
节
基础自主学案
一、字音辨识
梦寐．(mèi) 坟茔．(yínɡ) 面颊．(jiá) 踉．
跄．(liànɡ qiàɡ)
巉．岩(chán) 吞噬．(shì) 伺．(kuī sì)
藏匿．(nì) 窥．
二、词语释义 ①坟茔：坟墓；坟地。 ②寒酸：形容贫窘，不体面。 ③预兆：事情发生前所显示出来 的迹象。
法三：由公式 ap·aq＝ap＋k·aq－k 得 a2·a10＝a2＋4·a10－4＝a62. ∴a10＝1622×12＝13 122. 答案：13 122
探究二 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系 [典例 2] 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．
课时作业
第10课 罗密欧与朱丽叶(节选)
诗海探珠 生查子·独游雨
岩 辛弃疾 溪边照影行， 天在清溪底。 天上有行云， 人在行云里。 高歌谁和余？ 空谷清音起。
佳诗品韵清幽书香
【赏析】 这首词是作者在游雨岩的时候 写的。上片以溪为中心，用天、人、云来烘 托出一幅色调清雅的图画。下片写自己的清 傲孤独。“高歌谁和余？”这高歌不是一般的 歌，是正义的，抗金的歌。和者是“空谷清音 起。”从这里也看出作者寄情山水是迫不得已 的，但是倔强不渝的爱国决心，却从高歌中 唱了出来。词调轻快清新，景色如画。此词 上阕以写形为主，笔法自然平实，下阕以写
[随堂训练]
1．已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝x2－2x＋3 的顶点是(b，
c)，则 ad 等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
解析：∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d 成等比数列，
∴ad＝bc＝2.
答案：B
2．在等比数列中，a5a8＝6，a3＋a10＝5，则aa2103等于(