测量平差(误差理论基础知识)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
限
要求较高时，也常采用2倍中误差作为极限误差
限 2m
第二章 测量误差理论及其应用
例题：分别丈量了1000m和200m两段的距离，中误差 均为 0.2m，试问哪个测量的精度高？
3.相对误差：观测值中误差的绝对值 与观测值之比。 K m 1 1
D D m M
K1
0.2 1 1000 5000
a11 b11 A B a21 b21 a31 b31
a13 b13 a23 b23 a33 b33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
余子式 元素aij 的余子式M ij 就是在行列式中划掉 aij 所在的行和列，余下的元素按原来 元素 的相对位置而构成的行列式。
代数余子式
Aij (1)
i j
M ij
补充知识——线性代数
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
K2
0 .2 1 200 1000
第二章 测量误差理论及其应用
3.误差传播定律
1.观测值的和或差的函数中误差
z x y
2 2 m z mx my
z x1 x2 xn
2 2 2 m z mx m m x2 xn 1
第二章 测量误差理论及其应用
a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 B b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33
解： 普通水准测量每站测得高差
hi ai bi (i 1,2, n)
则每站观测高差的 m m读2 m读2 m读 2 2.8mm
观测n站所得高差 h h1 h2 hn ，高差闭合差 f h h h0 ， h0 为已知值（无误差）。则闭合差 f h 的中误差为：
第二章 测量误差理论及其应用
3.观测值线性函数的中误差 设函数： z k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 mz k12 m12 k 2 m2 k n mn
4.一般函数的中误差 设有函数 z f x1 , x2 , xn
f 2 f 2 f 2 mz x mx1 x mx 2 x mxn 1 2 n
第二章 测量误差理论及其应用
例题：有两个测量组对某个已知值的角度同时都进行了5次 观测，各次观测的真误差如下： A组：-4″，-3″，0″，+2″，+4″； B组：-6″，-1″，0″，+1″，+5″。 解：
2 2 2 (4 ) 2 （- 3） 0 （2） （4） mA 3.0 5
mz kmx
例题：在1:1000比例尺地图上，量的A，B两点间距离 Sab 26.5mm ，其中误差 m 0.2mm ，求A、B间的实地 ab 距离 S AB 及其中误差 m AB 。
解： S AB 1000Sab 26.5m
mAB 1000 mab 1000 0.2mm 200mm 0.2m
补充知识——线性代数
n阶行列式的定义
a11 a21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
补充知识——线性代数
余子式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a33 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a13
精确度：是精度和准确度的合成，指观测结果
与其真值的接近程度是全面衡量观测质量的标准。
第二章 测量误差理论及其应用
1.中误差：在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测 值真误差平方和的平均值开方，用m表示。
m
2
2
n
1 2 n n
2
2
2
方差
[] n
5
1
4
11 12 13 a ( 1 ) M a ( 1 ) M a ( 1 ) M13 1 11 11 12 12 13
3 2 2 0
2
补充知识——线性代数
习题
1 2 3
0 0 0
3 0 1 0 0 1
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★行列式的转置 把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩 阵称为A的转置矩阵，记作AT 。
T
零矩阵 所有元素为0的矩阵，记为O
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式
1 0 0 0 0 对角阵 0 0 2 diag( , , ) 1 2 n 0 0 0 0 0 0 n
1 0 E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 2
f 2 f 2 mA y m y x mx 402 0.0102 302 0.0122 0.2896 0.54m 2
A 1200m2 0.54m2
例题：水准测量中，视距为75m时在标尺上读数的中误差 m读 2mm (包括照准误差、气泡居中误差及水准标尺刻划误差）。 若以3倍中误差为允许误差，试求普通水准测量观测n站所 得高差闭合差的允许误差。
cos sin sin cos
cos2 ( sin 2 )
补充知识——线性代数
★三阶行列式
a11 a21 a31 aຫໍສະໝຸດ Baidu2 a22 a32 a13
a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a33
2 2 2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：已知矩形的宽x=30m，其中误差mx 0.010m ， 矩形的长y=40m，其中误差 my 0.012m ，计算矩形 面积A及其中误差 m A 。
2 A xy 1200 m 解：已知计算矩形面积公式
对各观测值取偏导数 根据误差传播定律
f f x, y y x
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 AT a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
补充知识——线性代数
1
5 1 4 3 2 1 2 0 2
0 0 0
3 0 1 0 0 1
2 3
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★矩阵的定义 称m行、n列的数表为矩阵，表示为：
a11b11 a12b21 a13b31 AB a21b11 a22b21 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
补充知识——线性代数
1 0 3 1 A 2 1 0 2
4 1 B 2 1
第二章 测量误差理论及其应用
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
有限性
一定观测条件下有限次 观测值中，其绝对值不 超过一定界限
显小性
绝对值小的误差比绝对 值大的误差出现的机会 多
对称性
偶然 误差
抵消性
观测次数无限增多时，偶然 误差的算术平均值趋近于零
绝对值相等的正、负误差出 现的机会大致相等
单位阵
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 b12 B b21 b22 b31 b32 a12 b12 a22 b22 a32 a32 b13 b23 b33
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11 的余子式 M11 a11 的代数余子式
a22 a32
a23 a33
11
A11 (1) M 11
a22 a32
a23 a33
补充知识——线性代数
-1 11
1 0 1 3 0 1 3 4
AB
9 9
-2 9
补充知识——线性代数
★矩阵运算的几种结果
b1 b2 (a1 , a2 , a3 , a4 ) a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 b3 b 4
a1b1 a1 a b a2 2 1 a b1 , b2 , b3 a b 3 1 3 a 4 a4b1
a11 a 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式 n阶矩阵 行矩阵 列矩阵
A (a1 , a2 , a3 ,, an )
B (b1, b2 , b3 ,, bn )
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
制定测量限差的依据 判断系统误差（粗差）
第二章 测量误差理论及其应用
2.精度指标及应用
精度：是指误差值分布的密集或离散程度，它反
映了观测结果与中数（估计值）的接近程度。
误差分布密集
误差分布离散
观测质量情况？
第二章 测量误差理论及其应用
准确度：反映观测结果系统误差大小的程度。
a1b2
a2b2 a3b2 a4b2
a1b3 a2b3 a3b3 a4b3
补充知识——线性代数
★线性变换的矩阵表示
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 y a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 34 4 3
2 2 2 (6 ) 2 （-1） 0 （ 1） （5） mB 3.5 5
mA mB
说明A组的观测精度比B组高
第二章 测量误差理论及其应用
2.允许误差:在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也 称为极限误差或限差。 以3倍中误差作为偶然误差的极限值 3m
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
5
1
4
5 2 2 1 (1)(2) 4 3 0 4 2 (2) 1 3 2 5 (1) 0 32
3 2 1 2 0 2
例题：测定A、B间的高差 hAB，共连续测了9站。设测量每 站高差的中误差m 2mm ，求总高差hAB 的中误差 m 。 h
hAB h1 h2 h9
mh m n 2 9 6mm
第二章 测量误差理论及其应用
2.观测值倍数函数的中误差 设函数为： z kx
m f h m n 2.8 n ( mm)
以3倍中误差为允许误差，则高差闭合差的允许误差为：
允 3 2.8 n 8 n (mm)
补充知识——线性代数
★二阶行列式 定义
a b c d
ad bc
a b c d
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6 (3) 2 (5) 5 3
要求较高时，也常采用2倍中误差作为极限误差
限 2m
第二章 测量误差理论及其应用
例题：分别丈量了1000m和200m两段的距离，中误差 均为 0.2m，试问哪个测量的精度高？
3.相对误差：观测值中误差的绝对值 与观测值之比。 K m 1 1
D D m M
K1
0.2 1 1000 5000
a11 b11 A B a21 b21 a31 b31
a13 b13 a23 b23 a33 b33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
余子式 元素aij 的余子式M ij 就是在行列式中划掉 aij 所在的行和列，余下的元素按原来 元素 的相对位置而构成的行列式。
代数余子式
Aij (1)
i j
M ij
补充知识——线性代数
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
K2
0 .2 1 200 1000
第二章 测量误差理论及其应用
3.误差传播定律
1.观测值的和或差的函数中误差
z x y
2 2 m z mx my
z x1 x2 xn
2 2 2 m z mx m m x2 xn 1
第二章 测量误差理论及其应用
a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 B b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33
解： 普通水准测量每站测得高差
hi ai bi (i 1,2, n)
则每站观测高差的 m m读2 m读2 m读 2 2.8mm
观测n站所得高差 h h1 h2 hn ，高差闭合差 f h h h0 ， h0 为已知值（无误差）。则闭合差 f h 的中误差为：
第二章 测量误差理论及其应用
3.观测值线性函数的中误差 设函数： z k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 mz k12 m12 k 2 m2 k n mn
4.一般函数的中误差 设有函数 z f x1 , x2 , xn
f 2 f 2 f 2 mz x mx1 x mx 2 x mxn 1 2 n
第二章 测量误差理论及其应用
例题：有两个测量组对某个已知值的角度同时都进行了5次 观测，各次观测的真误差如下： A组：-4″，-3″，0″，+2″，+4″； B组：-6″，-1″，0″，+1″，+5″。 解：
2 2 2 (4 ) 2 （- 3） 0 （2） （4） mA 3.0 5
mz kmx
例题：在1:1000比例尺地图上，量的A，B两点间距离 Sab 26.5mm ，其中误差 m 0.2mm ，求A、B间的实地 ab 距离 S AB 及其中误差 m AB 。
解： S AB 1000Sab 26.5m
mAB 1000 mab 1000 0.2mm 200mm 0.2m
补充知识——线性代数
n阶行列式的定义
a11 a21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
补充知识——线性代数
余子式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a33 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a13
精确度：是精度和准确度的合成，指观测结果
与其真值的接近程度是全面衡量观测质量的标准。
第二章 测量误差理论及其应用
1.中误差：在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测 值真误差平方和的平均值开方，用m表示。
m
2
2
n
1 2 n n
2
2
2
方差
[] n
5
1
4
11 12 13 a ( 1 ) M a ( 1 ) M a ( 1 ) M13 1 11 11 12 12 13
3 2 2 0
2
补充知识——线性代数
习题
1 2 3
0 0 0
3 0 1 0 0 1
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★行列式的转置 把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩 阵称为A的转置矩阵，记作AT 。
T
零矩阵 所有元素为0的矩阵，记为O
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式
1 0 0 0 0 对角阵 0 0 2 diag( , , ) 1 2 n 0 0 0 0 0 0 n
1 0 E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 2
f 2 f 2 mA y m y x mx 402 0.0102 302 0.0122 0.2896 0.54m 2
A 1200m2 0.54m2
例题：水准测量中，视距为75m时在标尺上读数的中误差 m读 2mm (包括照准误差、气泡居中误差及水准标尺刻划误差）。 若以3倍中误差为允许误差，试求普通水准测量观测n站所 得高差闭合差的允许误差。
cos sin sin cos
cos2 ( sin 2 )
补充知识——线性代数
★三阶行列式
a11 a21 a31 aຫໍສະໝຸດ Baidu2 a22 a32 a13
a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a33
2 2 2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：已知矩形的宽x=30m，其中误差mx 0.010m ， 矩形的长y=40m，其中误差 my 0.012m ，计算矩形 面积A及其中误差 m A 。
2 A xy 1200 m 解：已知计算矩形面积公式
对各观测值取偏导数 根据误差传播定律
f f x, y y x
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 AT a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
补充知识——线性代数
1
5 1 4 3 2 1 2 0 2
0 0 0
3 0 1 0 0 1
2 3
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★矩阵的定义 称m行、n列的数表为矩阵，表示为：
a11b11 a12b21 a13b31 AB a21b11 a22b21 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
补充知识——线性代数
1 0 3 1 A 2 1 0 2
4 1 B 2 1
第二章 测量误差理论及其应用
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
有限性
一定观测条件下有限次 观测值中，其绝对值不 超过一定界限
显小性
绝对值小的误差比绝对 值大的误差出现的机会 多
对称性
偶然 误差
抵消性
观测次数无限增多时，偶然 误差的算术平均值趋近于零
绝对值相等的正、负误差出 现的机会大致相等
单位阵
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 b12 B b21 b22 b31 b32 a12 b12 a22 b22 a32 a32 b13 b23 b33
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11 的余子式 M11 a11 的代数余子式
a22 a32
a23 a33
11
A11 (1) M 11
a22 a32
a23 a33
补充知识——线性代数
-1 11
1 0 1 3 0 1 3 4
AB
9 9
-2 9
补充知识——线性代数
★矩阵运算的几种结果
b1 b2 (a1 , a2 , a3 , a4 ) a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 b3 b 4
a1b1 a1 a b a2 2 1 a b1 , b2 , b3 a b 3 1 3 a 4 a4b1
a11 a 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式 n阶矩阵 行矩阵 列矩阵
A (a1 , a2 , a3 ,, an )
B (b1, b2 , b3 ,, bn )
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
制定测量限差的依据 判断系统误差（粗差）
第二章 测量误差理论及其应用
2.精度指标及应用
精度：是指误差值分布的密集或离散程度，它反
映了观测结果与中数（估计值）的接近程度。
误差分布密集
误差分布离散
观测质量情况？
第二章 测量误差理论及其应用
准确度：反映观测结果系统误差大小的程度。
a1b2
a2b2 a3b2 a4b2
a1b3 a2b3 a3b3 a4b3
补充知识——线性代数
★线性变换的矩阵表示
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 y a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 34 4 3
2 2 2 (6 ) 2 （-1） 0 （ 1） （5） mB 3.5 5
mA mB
说明A组的观测精度比B组高
第二章 测量误差理论及其应用
2.允许误差:在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也 称为极限误差或限差。 以3倍中误差作为偶然误差的极限值 3m
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
5
1
4
5 2 2 1 (1)(2) 4 3 0 4 2 (2) 1 3 2 5 (1) 0 32
3 2 1 2 0 2
例题：测定A、B间的高差 hAB，共连续测了9站。设测量每 站高差的中误差m 2mm ，求总高差hAB 的中误差 m 。 h
hAB h1 h2 h9
mh m n 2 9 6mm
第二章 测量误差理论及其应用
2.观测值倍数函数的中误差 设函数为： z kx
m f h m n 2.8 n ( mm)
以3倍中误差为允许误差，则高差闭合差的允许误差为：
允 3 2.8 n 8 n (mm)
补充知识——线性代数
★二阶行列式 定义
a b c d
ad bc
a b c d
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6 (3) 2 (5) 5 3