大连理工大学附属中学必修第一册第五单元《三角函数》检测(答案解析)

一、选择题
1．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312
ππ
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递减，则ω=（ ） A ．3
62
k -，k ∈N B ．3
62
k +，k ∈N C ．
32
D ．3
2．已知函数(
)2
2
sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称
C ．()f x 的最小正周期为
2
π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点
3．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A ．80,3⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦
4．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
满足03f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6
x π
=
B ．56
x π
=
C ．512
x π=
D ．712
x π=
5．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则ϕ=（ ） A ．
512
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 6．
2cos(
)
4
θ
θ=-，则sin 2θ=（ ）
A ．
13
B ．
23 C ．23
- D ．13
-
7．下面函数中最小正周期为π的是（ ）．
A ．cos y x =
B ．π2sin 3y x ⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
C ．tan
2
x
y = D ．22cos sin 2y x x =+
8．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π
个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，
则ω的值可能为（ ） A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
9．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A ．sin 6()22x x x f x -=
- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x x
x f x -=- D ．cos6()22x x x
f x -=-
10．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
)的图象如图所示.为了得到
()cos g x A x ω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（ ）
A ．向右平移12
π
个单位长度 B ．向右平移512
π
个单位长度 C ．向左平移
12
π
个单位长度
D ．向左平移
512
π
个单位长度 11．在ABC 中，2,6
AB C π
==，则3AC BC 的最大值为（ ）
A ．57
B ．7
C ．37
D ．2712．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移π
6
个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度 C ．向右平移π
2
个单位长度 D ．向左平移
π
2
个单位长度 二、填空题
13．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
成立，则a =_______.
14．设函数22
(1)sin(2)
()(2)1
x x f x x -+-=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_________.
15．设函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪
⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫
⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________________.
16．已知()sin()cos()1f x a x b x παπβ=++-+，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若()20202f =，则()2021f =________.
17．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin 2cos αα+的值等于______. 18．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 19．设α、β都是锐角，且()53
cos 5
ααβ=+=，则cos β=____________. 20．已知tan 34πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，则2
sin sin 2αα+=______. 三、解答题
21．已知函数()π322sin cos 6f x x x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，求()f x 的值域.
22．已知函数()2
sin cos 3cos
f x x x x ωωω=+的周期为π，其中0>ω；
（1）求ω的值，并写出函数()f x 的解析式；
（2）设ABC 的三边a ，b ，c 依次成等比数列，角B 的取值范围为集合P ，则当
x P ∈时求函数()f x 的值域.
23．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6
f x x x π
ωωω=-+->的最小正周期为π，
（1）求ω的值 （2）求()f x 在区间70,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 24．设函数22()cos 2cos 3
2x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
.
（1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的最小值及()f x 取最小值时x 的集合； （3）求()f x 的单调递增区间. 25．已知函数()(
)
2cos 3sin cos 1f x x
x x =-+
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值和最小值. 26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.
（1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求ADP △面积的最大值.
参考答案
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，可求得3
62
k ω=+
，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，所以
23
2
k π
π
ωπ⋅=+
，k Z ∈.得
362
k ω=+，k ∈N .
因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-
⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
上递减，所以312πππω≥+且5123
πππ
ω≥-， 解得1205
ω<≤.因此32ω=.
故选：C.
2．B
解析：B 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】
()
22
sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
故最大值为2，A 错
22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故关于3x π=对称，B 对
最小正周期为
22
π
π=，C 错 ()26
x k k Z π
π-
=∈解得()12
2k x k Z π
π=
+
∈，12
x π=和712x π
=都是零点，故D 错.
故选：B
【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T π
ω
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的
判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．
3．B
解析：B 【分析】
由正弦函数的性质可得1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】
由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦上单调递增，
∴
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，()f x 单调递增， 又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， ∴12(2)34
12(2)33k k πππωπππω
⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧
≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪
>⎪⎪∈⎩
，所以当0k =时，有102ω<≤，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：利用整体代入法得到
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.
4．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的性质，2()sin(
)03
3
f A π
π
ϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】
根据题意得，2()sin(
)03
3
f A π
πϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2π
ϕ<，进而
求得，3
π
ϕ=
，所以，()sin(2)3
f x A x π
=+
，令()f x A =，所以，sin(2)13x π
+=，
所以，2,3
2
x k k z π
π
π+
=
+∈，解得,k x k z 12
2
π
π
=
+
∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712
x π
= 故选D 【点睛】
关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，
sin(2)13
x π
+=，进而求解，属于中档题 5．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】
因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦， 若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min
3
x x π
-=
，
所以不妨取24
x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π
=取得最小值， 所以77121s 12
in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z π
ϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，
取24
x π=
，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π
=-取得最小值， 所以12
sin 21ϕπ⎡⎤
⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-
，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，
故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．
6．B
解析：B 【分析】
由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】
()
22
2cos sin
2cos2
cos()cos
cos sin sin
444
θθ
θ
πππ
θθθ
-
=
-+
()()
()
()
2cos sin cos sin
2cos sin
2
cos sin
θθθθ
θθ
θθ
+-
==-
+
，
()
2cos sin3sin2
θθθ
∴-=，
两边平方得()2
41sin23sin2
θθ
-=，
解得sin22
θ=-（舍去）或
2
sin2
3
θ=.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()
2cos sin3sin2
θθθ
-=，再平方求解.
7．D
解析：D
【分析】
根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案.
【详解】
()
cos cos
x x
-=，cos cos
y x x
∴==，周期为2π，故A不符合题意；
π
2sin
3
y x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
的周期为2π，故B不符合题意；
画出函数tan
2
x
y=的图象，易得函数tan
2
x
y=的周期为2π，故C不符合题意；
2
π
2cos sin2cos21sin22sin21
4
x x x x x
⎛⎫
+=++=++
⎪
⎝⎭
，周期为π，故D符合题意．
故选：D
8．A
解析：A
先求解出sin 3y x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
右移
6
π
个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】 因为sin 3y x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
右移
6π
个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭， 又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭的图象重合，
所以令2,6
3
2
k k Z ωπ
π
π
π-
+
=
+∈，所以121,k k Z ω=--∈，
所以ω可取1-，此时0k =， 故选：A. 【点睛】
思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路： （1）先根据诱导公式将函数名统一； （2）然后分析三角函数初相之间的关系；
（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.
9．D
解析：D 【分析】
由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】
由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，
对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x x x x
f x f x ----=
==--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B
错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x x
x x
f x f x ----=
==--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误； 对于D ，
()()cos 6cos 6()2222
x x x x
x x
f x f x ----=
==---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D.
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．B
解析：B 【分析】
先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】 由图知：1A =，
74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，
当712x π=
时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212
k k Z π
ϕππ⨯
+=+∈， 所以()26
k k Z π
ϕπ=-
+∈，又因为2
π
ϕ<
，所以0,6
k π
ϕ==-
，
所以()cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，
所以只需要把()cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512
π个单位长度得
()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤
⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和
()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平
移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
将AC +表示为角的形式，结合三角函数最值的求法，求得AC 的最大值. 【详解】
有正弦定理得2
4
sin sin sin sin 6
a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin a A b B ==，
所以AC
+4sin b B A =+=+
(
)4sin 4sin 6B B C B B π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭
4sin sin cos cos sin 66B B B ππ⎫=++⎪⎭
1
4sin cos 2B B B ⎫=++⎪⎪⎭
(
)()10sin B B B B ϕϕ=+=+=+.
其中tan 06
π
ϕϕ==<⇒<<， 由于
566
B π
π<<
，所以3B π
ϕπ<+<，
故当2
B π
ϕ+=
时，AC +
的最大值为
故选：B 【点睛】
要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值.
12．A
解析：A 【分析】
首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：
541246T πππ=-=，所以223T ππω
==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24
k ϕπ
=+π，k Z ∈. 又因为2
π
ϕ<
，所以4
π
ϕ=
，()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
.
因为
4436
π
π
π-
-
=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6
个单位长度.
故选：A 二、填空题
13．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数
解析：1 【分析】
利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+
的形式：
()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π
8
x =
是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】
解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，
其中sin tan a ϕϕϕ=
=
=.
∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立， ∴π8x =
是f(x)的图象的对称轴，即π2,82
k k Z π
ϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z π
ϕπ=+
∈，
tan 1a ϕ==，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前
提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.
14．2【分析】可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简根据左右平移值域不变求解【详解】令则定义域为R 且故是奇函数故其最大值与最小值的和为零所以函数的最大值与最小值的和为2故在函数中
解析：2 【分析】
可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解. 【详解】
22(1)sin(2)()(2)1
x x f x x -+-=-+
222
(1)sin 2sin (2)111
x x x x
f x x x +++∴+==+++， 令2
2sin ()1
x x
g x x +=
+，则定义域为R ，且()()g x g x -=-， 故()g x 是奇函数，故其最大值与最小值的和为零， 所以函数(2)y f x =+的最大值与最小值的和为2， 故在函数()f x 中，2M m +=.
15．【分析】由是最大值点结合正弦函数的最大值可得的表达式再求得的最小值即可【详解】由可知时函数取得最大值故有解得所以最小值为故答案为：
解析：4
3
【分析】 由4
x π
=
是最大值点，结合正弦函数的最大值可得ω的表达式，再求得ω的最小值即可．
【详解】
由()4f x f π⎛≤⎫
⎪⎝⎭
可知4x π=时函数取得最大值.
故有
2()4
6
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，解得48()3
k k Z ω=
+∈，所以最小值为4
3.
故答案为：
4
3
． 16．0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解【详解】由题意所以所以故答案为：0
解析：0 【分析】
由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解. 【详解】
由题意，()sin(2020)cos(2020)1sin cos()12020a b a b f παπβαβ++-++-=+=
sin cos 12a b αβ=++=，
所以sin cos 1αβ+=a b ，
所以()sin(2021)cos(202)201211f a b παπβ++-+=
sin()cos()1sin cos 1110a b a b παπβαβ==++-+-+=-+=-.
故答案为：0.
17．【分析】根据三角函数定义求出的值由此可求得的值【详解】由三角函数的定义可得因此故答案为：
解析：2
5
-
【分析】
根据三角函数定义求出sin α、cos α的值，由此可求得sin 2cos αα+的值. 【详解】
由三角函数的定义可得
3
cos 5α=
=-，
4
sin 5α==
，
因此，432sin 2cos 2555αα⎛⎫
+=+⨯-=- ⎪⎝⎭
. 故答案为：2
5
-
. 18．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2
解析：2. 【分析】
由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】 因为45C =︒， 所以135A B +=︒， 则tan tan tan()11tan tan A B
A B A B
++=
=--，
整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，
所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，
tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，
2=，
故答案为：2.
19．【分析】由α是锐角求出的值再由β是锐角得出的值将角转化成利用两角和差的余弦公式化简计算并验证即可【详解】因为α是锐角所以因为β
是锐角所以又所以所以当时此时即与矛盾舍去当时符合要求故答案为：【点睛】本 解析：
25
【分析】
由α是锐角，cos 5
α=
求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出
()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验
证即可. 【详解】
因为α
是锐角，cos 5α=
，所以sin 5α==， 因为β是锐角，所以0αβ<+<π，
又()3sin 5αβ+=，所以(
)4cos 5αβ+==±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++ 当()4cos 5αβ+=
时，
43cos +55555
β=⨯⨯=，此时cos sin βα=，即2
π
αβ+=
，与()3
sin 5
αβ+=
矛盾，舍去， 当()4cos 5αβ+=-时，
43cos 55β=-=.
故答案为：25
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.
20．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1
解析：1 【分析】
首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得
1tan 31tan αα+=-，解得1
tan 2
α=.
所以2
2
2
222
1
1
sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114
αααααααααα++++====+++. 故答案为：1 三、解答题
21．（1）π5ππ,π1212k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦.
【分析】
（1）由恒等变换得()πsin 23f x x ⎛
⎫=-
⎪
⎝
⎭，进而根据πππ
2π22π232
k x k -+≤-≤+解得()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z ；
（2）由ππ,44x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦得5πππ2636x -≤-≤，进而得π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的
值域为11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
.
【详解】 解：（1）
()11π
2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 222223f x x x x x x x ⎫⎛
⎫=--=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， ∵πππ
2π22π232k x k -+≤-≤+，()k ∈Z ， ∴π5πππ1212
k x k -
+≤≤+，()k ∈Z ， ∴()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z .
（2）∵ππ
44x -≤≤， ∴5πππ2636
x -≤-≤， ∴π11sin 232x ⎛
⎫-≤-
≤ ⎪⎝
⎭， ∴()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题解题的关键是根据三角恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题.
22．（1）1ω=，()sin 32++2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）⎣⎦
. 【分析】
（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式2T ω
π
=
求
ω的值，进而写出函数()f x 的解析式；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cos B 的范围，再根据B 为三角形的内角求出B 的范围，得出()f x 的定义域，从而求出()f x 的值域. 【详解】
解：（1）()2
sin cos f x x x x ωωω=
)
1cos 21
sin 2+
22
x x ωω+=
sin 2++
32x πω⎛
⎫= ⎪⎝
⎭ 由22T π
πω
=
=，解得1ω=，
所以函数()f x 的解析式为()sin 32++2
f x x π⎛⎫
= ⎪
⎝
⎭； （2）因为2b ac =,
所以222cos 2a c b B ac +-==221211
22222
a c ac ac ac +-≥-=，当且仅当a c =时取“=”；
又B 为三角形内角，所以03
B π
<≤，即03
x π
<≤
,所以
2+
3
3
x π
π
π<≤,
所以0sin 2+
13x π⎛⎫
⎪⎝
⎭sin 2+3x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝
⎭，
即函数()f x 的值域是⎣⎦
. 【点睛】
关键点点睛：运用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形式，利用余弦定理和基本不等式将三角形的边的关系转化为角的范围.
23．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】
（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可． （2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可． 【详解】
解：（1）因为2
π()sin(2)(2cos 1)6
f x x x ωω=-+-
ππ
(sin 2cos cos 2sin )cos 266
x x x ωωω=-+
1
2cos22
x x ωω=
+ πsin(2)6
x ω=+，
所以()f x 的最小正周期2π
π2T ω
==，0>ω， 解得1ω=.
（2）由（1）得π()sin(2)6
f x x =+. 因为7π12x ≤≤
0，所以ππ4π
2663
x +≤≤
. 所以，当ππ
262x +=，即π6
x =时，()f x 取得最大值为1；
当π4π263x +
=，即7π12
x =时，()f x 取得最小值为. 24．（1）
1
2；（2）min ()0f x =，22,3x x k k z ππ⎧⎫=
+∈⎨⎬⎩⎭
；（3）单调递增区间为252,2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）利用两角和的余弦公式，二倍角公式以及两角差的正弦公式化简函数解析式可得
()1sin()6f x x π=--，代入3
x π
=，即可计算得解.
（2）由（1）利用正弦函数的性质即可求解. （3）利用正弦函数的单调性即可求解. 【详解】
解：（1）
2211()cos()2cos cos cos 1cos 11sin()32226
x f x x x x x x x x ππ=+
+=-++=+=--，
所以1
()1sin(
)3
362
f ππ
π=--=. （2）由于()sin()16f x x π
=--
+，所以当sin()16
x π
-=时，()0min f x =，此时
2,6
2
x k k z π
π
π-
=
+∈，
所以()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧⎫=
+∈⎨⎬⎩
⎭
， 故()f x 的最小值为0，()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭
. （3）令3222
6
2k x k π
π
π
ππ+
≤-
≤+
，k Z ∈，解得252233
k x k ππππ+≤≤+，
k Z ∈，
所以()f x 的单调递增区间为25[2,2]33
k k ππ
ππ++，()k z ∈. 【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式、两角差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题.
25．（1）T π=，,,63k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()()max min 2,1f x f x ==-.
【分析】
（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，然后根据周期计算公式求解出T ，再采用整体替换法求解出单调递增区间； （2）采用整体替换的方法先分析出26
x π
-的取值范围，然后再结合正弦函数的单调性，
求解出()f x 的最值. 【详解】 （1）因为
())
22cos cos 1212cos 2cos 2f x x
x x x x x x =-+=+-=-， 所以()2sin 26f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，所以最小正周期22T π
π==， 令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，所以,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
所以单调递增区间为：,,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
； （2）因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以52,666x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为sin y x =在,62ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递减， 所以()max 2sin
22
f x π
==，此时3
x π
=
，
又()min 2sin 16f x π⎛⎫
=-
=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，
综上可知：()()max min 2,1f x f x ==-. 【点睛】
思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下： （1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围； （2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值.
26．（1
）(34
m
；（2
）(2
316m
⋅-. 【分析】
（1）设CAB CAP θ∠=∠=，求得222
PAD APD π
θθ∠=
-∠=，，得到且
tan 23tan θθ=，结合正切的二倍角公式，即可求解.
（2）设CAB CAP θ∠=∠=，则2APD θ∠=，且()tan 01θ∈，
，由()tan 2x x m θ+⨯=，求得x 得值，求得()tan 21tan m AD BC θθ==
+，1tan 4
PD m θ
-=
，设1tan t θ+=，得到()1
2t ∈，，利用三角形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】
（1）由题意，在ABC 中，可设CAB CAP θ∠=∠=， 则由角度关系可得222
PAD APD π
θθ∠=
-∠=，，
设BC y = ，且tan tan 23tan 3
y y
x x
θθθ
===，， 则有2
2tan tan 23tan 1tan θθθθ=
=-
，解得tan 3
θ=
，则有y x =，
所以2x x m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭
，解得(34
x m =. （2）设CAB CAP θ∠=∠=，则222
PAD APD π
θθ∠=-∠=，，且()tan 01θ∈，
， 则有()tan 2x x m θ+⨯=，解得()21tan m x θ=
+，即()
tan 21tan m AD BC θ
θ==+，
所以()2tan 1tan 1tan tan 221tan 2tan 4
AD PD m m θθθ
θθθ--=
=⋅=+， 则S △ADP =()2221tan 1tan tan tan 221tan 4161tan m m θθθθ
θθ
--⋅⋅=⋅++，
令()1tan 1
2t t θ+=∈，， 所以
S △ADP =()22222113223161616t t m m t t m t t t t ---⎡⎤-+-⎛⎫⋅=⋅=⋅-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2
316m ≤⋅-，当
且仅当2t t t
==，时取等号.
则ADP △面积的最大值为(2
316
m ⋅-. 【点睛】 对于三角函数模型的应用问题，解答的关键是建立符合条件的函数模型，结合示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学的三角恒等变换的公式及三角函数的性质求解.。