2020-2021学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
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2020-2021学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期中考试
数学试题
一、单选题
1.已知点M 的极坐标是2,6π⎛⎫-- ⎪⎝
⎭,它关于直线2πθ=的对称点坐标是( )
A .112,
6
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
B .72,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
C .2,6π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D .112,6
π⎛⎫--
⎪⎝
⎭
【答案】B
【分析】利用极坐标的意义作出极坐标点M ,再做出点M 关于2
πθ=的对称点N ,则
可得出其极坐标.
【详解】解:作出极坐标是2,6π⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
的点M ,如图, 它关于直线2
πθ=的对称点是N ,其极坐标为2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
或72,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
. 故选:B .
【点睛】考查极坐标的概念,以及对称点的求法.题目较易.
2.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x 轴上,且椭圆C 7
,面积为12π,则椭圆C 的方程为( ).
A .22
134
x y +=
B .22
1916x y +=
C .22
143x y +=
D .22
1169
x y +=
【答案】D
【分析】利用已知条件列出方程组,求出,a b ,即可得到椭圆方程.
【详解】由题意可得:222124ab c
a a
b
c ππ=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
,解得4,3a b ==,
因为椭圆的焦点在x 轴上,所以椭圆方程为:221169
x y
+=,
故选D.
【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题,涉及到的知识点有椭圆的几何性质,椭圆的面积,属于简单题目. 3.下列结论错误的是( )
A .命题“若x 2-3x -4=0,则x =4”的逆否命题为“若x ≠4,则x 2-3x -4≠0”
B .“x =4”是“x 2-3x -4=0”的充分条件
C .命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆命题为真命题
D .命题“若m 2+n 2=0,则m =0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0,则m ≠0或n ≠0” 【答案】C
【分析】写出原命题的逆否命题,可判断A ,根据充要条件的定义,可判断B ;根据方程20x x m +-=有实根⇒1
144
m m ∆=+⇒-,即可判断C .写出原命题的否命题,可判断D .
【详解】解:命题“若2340x x --=,则4x =”的逆否命题为“若4x ≠,则
2340x x --≠”,故A 正确;
“2340x x --=” ⇔ “4x =或1x =”,故“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件,故B 正确;
对于C ,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为命题“若方程
20x x m +-=有实根,则0m >,方程20x x m +-=有实根时,
1
144
m m ∆=+⇒-
,故C 错误. 命题“若220m n +=,则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠.则0
m ≠
或0n ≠”,故正确; 故选:C .
【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了四种命题,命题的否定,充要条件等知识点,属于中档题.
4.在极坐标系中,曲线2sin C ρθ=:上的两点A B ,对应的极角分别为233
ππ
,,则弦长AB 等于( )
A .1
B
C
D .2
【答案】C
【分析】直接求出极坐标,转化为直角坐标,然后利用距离公式求解即可. 【详解】A 、B 两点的极坐标分别为233ππ⎫⎫
⎪⎪⎭⎭
,,,
化为直角坐标为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,、32⎫
⎪⎪⎝⎭
,,
故AB ==故选:C .
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的求法,距离公式的应用,考查计算能力,属于基础题.
5.已知椭圆2
2
1
4
y x +=和点11(,)22A 、1(,1)2B ,若椭圆的某弦的中点在线段AB 上,且此弦所在直线的斜率为k ,则k 的取值范围为( ) A .[]2,1-- B .[]4,2--
C .[]4,1--
D .11,2⎡
⎤--⎢
⎥⎣⎦
【答案】B
【分析】由题意设出椭圆2
2
14
y x +=的某弦的两个端点分别为
P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),中点为M (x 0,y 0),把P 、Q 的坐标代入椭圆方程,作差得到PQ 的斜率与AB 中点坐标的关系得答案.
【详解】设椭圆22
14
y x +=的某弦的两个端点分别为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)
,中点为M (x 0,y 0),
则22
1114
y x +=,22
2214y x +=,
两式作差可得:22
2
2
121
244
y y x x -=-+
, 即()
120121212
000
1
44422x x x y y x x y y y y y ⨯
+-=-=-=-=--+, 由题意可知,1
2
≤y 0≤1, ∴k 02y =-
(1
2
≤y 0≤1),则k ∈[﹣4,﹣2]. 故选B .
【点睛】本题考查椭圆的简单性质,训练了“中点弦”问题的求解方法,属于中档题.
6.已知点A 是曲线2
213
x y +=上任意一点,则点A
到直线sin()6πρθ+=的最大值是( ) A
.
B
C
D
.【答案】C
【分析】先将直线sin()6
π
ρθ+
=设出点A 的坐标,利用点到直线的距离求解.
【详解】由直线sin()6π
ρθ+=
,有1
cos 22ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
0x +-=.
又点A 是曲线2213
x y +=
上任意一点,设)
,sin A
αα
则点A
0x +-=
的距离为:d =
2
=
≤ 当sin 14πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
时取得等号. 故选:C
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距
离,属于中档题.
7.已知M 是抛物线24x y =上一点,F 为其焦点,C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心,则||||MF MC +的最小值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5
【答案】B
【分析】设出抛物线的准线方程,问题求||||MF MC +的最小值,结合抛物线的定义,就转化为,在抛物线上找一点M ,使M 到C 点、到抛物线准线距离之和最小,利用平面几何的知识可以求解出来.
【详解】解:设抛物线2
4x y =的准线方程为:1l y =-,C 为圆22(1)(2)1
x y ++-=的圆心,所以C 的坐标为(1,2)-,过M 作l 的垂线,垂足为E ,根据抛物线的定义可知||||MF ME =,所以问题求||||MF MC +的最小值,就转化为求||||MF MC +的最小值,由平面几何的知识可知,当C ,M ,E 在一条直线上时,
此时CE l ⊥,||||ME MC +有最小值,最小值为2(1)3CE =--=, 故选:B .
【点睛】本题考查了抛物线的定义,以及动点到两点定点距离之和最小问题.解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化,属于中档题.
8.已知直线l 的参数方程为2
2
22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2
2
22cos
3sin 12ρθρθ+=,且曲
线C 的左焦点F 在直线l 上,若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,则FA FB ⋅的值等于( ) A .1
B 2
C 3
D .2
【答案】D
【分析】根据题意,将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程,由直线过的点的坐标可得
m 的值,将直线的参数方程与曲线C 的方程联立,可得2220t t --=,由一元二次方
程根与系数的关系计算可得答案;
【详解】解:根据题意,曲线C 的极坐标方程为2
2
22cos
3sin 12ρθρθ+=,
则其标准方程为22
1124
x y +=
,其左焦点为(-,
直线l
过点(-
,其参数方程为2(2x m t t
y t ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数),
则m =-
将直线l
的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
与曲线C 的方程221124x y +=联立,
得2220t t --=, 则12||||||2FA FB t t ==. 故选:D
【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程,涉及椭圆与直线的位置关系,关键是求出椭圆、直线的普通方程,属于中档题.
9.已知点F 是双曲线22
22=1x y a b
-的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 作垂直
于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点,若GHE △是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A .()1,+∞ B .()1,2
C
.(21
, D
.(1,1
【答案】B
【分析】确定45GEF ∠<︒,在直角GEF △中得到2022a c +ac >-,即22<0e e --,计算得到答案.
【详解】若GHE ∆是锐角三角形,则45GEF ∠<︒
在直角GEF ∆中,2
b GF a
=,EF a c =+,GF EF <
即2022a c +ac >-,所以22<0e e --得1<<2e -,又>1e ,所以1<<2e 故选:B
【点睛】本题考查了双曲线的离心率的取值范围,意在考查学生的计算能力和转化能力,确定45GEF ∠<︒是解题的关键.
10.若动点(,)x y 在曲线22
21(0)4x y
b b
+=>上变化,则22x y +的最大值为( )
A .2
404424b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩
B .2
402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩
C .2
4
4
b +
D .2b
【答案】A
【分析】设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ,将2cos ,sin x y b θθ==代入2
2x y +中
整理化简求最值.
【详解】解:设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ,则
2
22
2
24cos 2sin 2sin 424b b x y b θθθ⎛
⎫+=+=--++ ⎪⎝
⎭.
当04b <时,(
)
2
2
max
244
b x y
+=+; 当4b >时,(
)
2
22
max
224224b b x y b ⎛
⎫+=--++= ⎪⎝
⎭.
故选:A .
【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的最值问题,可通过参数方程转化为三角函数求最值,是中档题.
11.已知点,A B 在抛物线2y x =上且位于x 轴的两侧,2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则直线AB 一定过点( ) A .(2,0) B .
1
,02
C .(0,2)
D .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A
【分析】设直线AB 方程为x ky m =+,与抛物线方程联立,消去x 后得y 的方程,由
韦达定理可求得m ,得到直线方程,根据方程特点可得答案.
【详解】当直线AB 的斜率为0时,直线AB 与抛物线只有1个交点,不符合题意, 所以直线AB 的斜率不为0,设其方程为x ky m =+,因为点,A B 在抛物线2y x =上,
所以设(
)(
)
2
2
,,,A A B B A y y B y y ,所以22
2A B A B OA OB y y y y ⋅=+=,
解得1A B y y =或2A B y y =-.又因为,A B 两点位于x 轴的两侧,所以2A B y y =-.
联立2,,
y x x ky m ⎧=⎨=+⎩得220,40y ky m k m --==+>,所以2A B y y m =-=-,
即2m =,所以直线AB 的方程为2x ky =+,所以直线AB 一定过点(2,0). 故选:A .
【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题,考查抛物线中的定值,方法是设而不求法,在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法,注意体会.
12.设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,
且123F PF π∠=,若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r ,当4R r =时,椭圆的离心率为( )
A .
4
5
B .
23
C .
12
D .
15
【答案】B
【分析】利用正弦定理得到3
R =
,再利用椭圆的定义,设1PF m =,2PF n =,得到2m n a +=,结合余弦定理2
2
2
42cos 3
c m n mn π
=+-,得到22230a c ac --=,
即得解.
【详解】椭圆的焦点为()1,0F c -,()2,0F c ,122F F c =
根据正弦定理可得
1212
22sin sin
3
F F c R F PF π
=
=
=
∠
∴R =
,14r R ==
设1PF m =,2PF n =,则2m n a +=, 由余弦定理得2
2
2
42cos
3
c m n mn π
=+- ()2
2343m n mn a mn =+-=-,
∴()2243
a c mn -=
,
∴)12
221sin 233
F PF a c S
mn π∆-==
, 又12F PF S ∆=(
)()1
22
6
a c m n c r +++⋅=
,
∴
))223
6
a c a c -+=
即22230a c ac --=, 故2320e e +-=,解得:2
3
e =或1e =-(舍). 故选:B .
【点睛】本题考查了椭圆的性质综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,属于中档题.
二、填空题
13.已知点P
的直角坐标按伸缩变换'2'x x
y =⎧⎪⎨=⎪⎩变换为点'(6,3)P -,限定
0,02ρθπ>≤<时,点P 的极坐标为_____________.
【答案】116
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
【解析】
设点P 的直角坐标为(),x y ,
由题意得623x =⎧⎪⎨-=⎪⎩,
解得3
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为点P 的直角
坐标为(3,,所以
ρ=
=tan θ=,因为02θπ≤<,点P 在第四象限,所以116πθ=
,所以点
P 的极坐标为116π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
. 14.设p :|x ﹣1|≤1,q :x 2﹣(2m +1)x +(m ﹣1)(m +2)≤0.若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是_____. 【答案】[0,1]
【分析】分别求出,p q 的范围,再根据p 是q 的充分不必要条件,列出不等式组,解不等式组
【详解】由11x -≤得111x -≤-≤,得02x ≤≤.
由2
(21)(1)(2)0x m x m m -++-+≤,得[(1)][(2)]0x m x m ---+≤,
得12m x m -≤≤+, 若p 是q 的充分不必要条件, 则10
22m m -≤⎧⎨
+≥⎩
,得10m m ≤⎧⎨≥⎩,得01m ≤≤,
即实数m 的取值范围是[0,1]. 故答案为:[0,1]
【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法,同时考查了充分不必要条件,属于中档题. 15.有如下命题: ①“0a b >>”是“11
a b
<”成立的充分不必要条件; ②
,则a a t b b t
+<+;
③552332a b a b a b +≥+对一切正实数,a b 均成立; ④“
1a
b
>”是“0a b ->”成立的必要非充分条件. 其中正确的命题为___________.(填写正确命题的序号) 【答案】①③
【详解】试题分析:由题意得,对于①中,“0a b >>”是“11a b <”成立的,当“11
a b
<”时,“0a b >>”不一定成立,例如1,2a b =-=; 对于②时,则
a a t
b b t
+>+,所以是不成立的; 对于③中,
5523323223223322222()()()()()()()0
a b a b a b a a b b b a a b a b a b a b a ab b +--=-+-=--=-+++≥,所以552332a b a b a b +≥+对一切正实数,a b 均成立是成立的;对于④“1a
b
>”是“0a b ->”成立的既不充分也不必要,所以不成立,故选①③. 【考点】不等式的性质及命题的真假判定.
16.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ,
N 两点
(M 在第一象限),直线MO 交双曲线左支于点Q (O 为坐标原点),连接QN .若120MPO ∠=︒,150MNQ ∠=︒,则该双曲线的渐近线方程为____ . 【答案】y x =±
【分析】由题意可知:M ,Q 关于原点对称,得到2
2MN QN b k k a
⋅=,分别求出相应的斜率,再根据离心率公式,即可求解.
【详解】由题意可知:M ,Q 关于原点对称,∴2
2MN QN
b k k a
⋅=,
又由120MPO ∠=︒,150MNQ ∠=︒,则MN k =QN k =
,∴221b a =, 渐近线方程为y x =±.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中根据双曲线的对称性,得到,M Q 关于原点对称,得到2
2MN QN
b k k a
⋅=,分别求出相应的斜率,求得2
2b a
的值是解答的关键,重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试
题.
三、解答题
17.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1:4sin C ρθ=,曲线2:4cos C ρθ=. (1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()3
R π
θρ=∈,设3
C 与1C 和2C 的交点分别为M ,N ,
求MN .
【答案】(1)2
2
40x y y +-=,2
2
40x y x +-=;(2)2-.
【分析】(1)由利用极坐标和直角坐标互换公式,即可求出曲线1C 与2C 的直角坐标方程;
(2)联将直线3C 的极坐标方程分别于曲线1C 与2C 的极坐标方程联立,即可求出
,M N ρρ,再根据M N MN ρρ=-,即可求出结果.
【详解】解:(1)由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,
∴曲线1C 的直角坐标方程为22
40x y y +-=. 由4cos ρθ=,得24cos ρρθ=,
∴曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.
(2)联立4sin 3ρθπ
θ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
,得M ρ= 联立4cos 3ρθπ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩
,得2N ρ=,.
故2M N MN ρρ=
-=.
【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化,以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题.属于基础题.
18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
C
的右顶点到直线
0x y -的距离为3.
(1)求椭圆C 的方程; (2)过点(2,0)P ,且斜率为1
2
的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求OAB 的面积(O 为坐标原点).
【答案】(1)22
182
x y +=;
(2
【分析】(1)通过椭圆C
的右顶点到直线0x y -+=的距离为3,求出a ,结合离心率求出c ,然后求解b ,得到椭圆方程;
(2)由题意可知直线l 的方程为22x y =+,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,联立
22
22
18
2x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2
2210y y +-=,通过韦达定理以及弦长公式,转化求解三角形的面积即可.
【详解】(1)因为椭圆C
的右顶点到直线0x y -+=的距离为3,
3=
,解得a = 因为椭圆C
c a =
所以c
b ==
故椭圆C 的方程为22
182
x y +=.
(2)由题意可知直线l 的方程为22x y =+, 设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,
联立2222
18
2x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2
2210y y +-=,
则121y y +=-,121
2
y y =-,
从而12y y -=
==故OAB
的面积12121111
|||22222
|||S OP y OP y OP y y =
+=⨯⨯-=⨯=【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查分析问题解决问题的能力.
19.已知双曲线2
2:14
x C y -=,P 是C 上的任意点.
(1)求证:点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点A 的坐标为()5,0,求PA 的最小值. 【答案】(1)见解析;(2)min 2PA =.
【解析】试题分析:(1)设()00,P x y ,写出点P 到渐近线的距离的乘积,利用
点在双曲线上化简,得到常数;(2)()2
2
2
005PA x y =-+ ,根据2
20014
x y -= 化简2
PA ,转化为二次函数求最小值.
试题解析:
(1)设()00,P x y ,P 到两准线的距离记为1d 、2d , ∵两准线为20x y -=,20x y +=,
∴2
21200145
d d x y ⋅=
=
-, 又∵点P 在曲线上,∴2
2
2
2
0000444x y x y -=-=,得124
5
d d ⋅=(常数) 即点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 .
(2)设()00,P x y ,由平面内两点距离公式得,
()2
22
00
5PA x y =-+, ∵220014x y -=,可得220014x y =-,∴()2
22200005102514444
x PA x x x =-++-=-+,
又∵点P 在双曲线上,满足02x ≥,∴当04x =时,PA 有最小值,min 2PA =. 20.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为213x t
y t
=+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数),曲线2C 的参
数方程为21
2x m y m
⎧=-⎨
=⎩ (m 为参数). (1)求曲线1C ,2C 的普通方程;
(2)已知点(2,1)M ,若曲线1C ,2C 交于A ,B 两点,求
||MA MB -‖‖的值. 【答案】(1)1C :35y x =-,2C :2
44y x =+;(2
. 【分析】(1)消去参数t 可得曲线1C 普通方程;将y 平方消去2m 可得曲线2C 的普通方程;
(2)将直线1C 改写成过(2,1)M 的标准直线参数方程,再联立曲线2C 的普通方程化简
可得关于t 的一元二次方程,根据t 的几何意义,结合韦达定理,即可求出
||MA MB -‖‖的值.
【详解】(1)由曲线1C 的参数方程为213x t
y t =+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数),消去t 得35y x =-. 由曲线2C 的参数方程为21
2x m y m
⎧=-⎨
=⎩ (m 为参数),消去m 得244y x =+. (2)曲线1C
的标准参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数). 代入2
44y x =+
,整理得
29110105
t +-=,
所以129
t t +=-
,121109t t =-,
因为120t t +<,120t t <
,所以12||||9
MA MB t t -=+=
‖. 【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义,易错点在于要先将直线参数方程化为标准形式,再代入求解,属中档题. 21.设抛物线()2
:20C y px p =>,F 为C 的焦点,点(),0A A x 为x 轴正半轴上的动
点,直线l 过点A 且与C 交于P ,Q 两点,点(),0B B x 为异于点A 的动点.当点A 与点F 重合且直线l 垂直于x 轴时,4PQ =. (1)求C 的方程;
(2)若直线l 不垂直于坐标轴,且PBA QBA ∠=∠,求证:A B x x +为定值. 【答案】(1)2
4y x =;(2)证明见解析 【分析】(1)将2
p
x =代入抛物线方程可求得PQ ,由此可构造方程求得p ,进而得到结果;
(2)设:A x m l y x =+,与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式;由PBA QBA ∠=∠知0PB QB k k +=,代入韦达定理的结论整理可得定值. 【详解】(1)由题意得:,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 当点A 与F 重合且直线l 垂直于x 轴时,l 方程为:2
p x =
, 代入2
2y px =得:y p =±,24PQ p ∴==,解得:2p =,
C ∴的方程为:24y x =.
(2)证明:可设直线l 的方程为A x my x =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,
将A x my x =+代入2
4y x =中得:2
440A y my x --=,
则2
16160A m x ∆=+>,1212
44A y y m
y y x +=⎧⎨=-⎩,
由PBA QBA ∠=∠得:0PB QB k k +=,即12
120B B
y y x x x x +=--,
即()()12210B B y x x y x x -+-=,
()()()()
12211221B B A B A B y x x y x x y my x x y my x x ∴-+-=+-++-
()()()()()()1212224440A B A A B A B my y x x y y m x x x m m x x =+-+=-+-=-+=,
又直线l 不垂直于坐标轴,0m ∴≠,0A B x x ∴+=,
A B x x ∴+为定值0.
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题,涉及到抛物线标准方程的求解、抛物线中的定值问题;证明定值问题的关键是能够将角相等的关系转化为斜率之间的关系,进而利用韦达定理整理化简得到定值.
22.已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)经过1,0A ,()0,B b 两点.O 为坐标原点,
且AOB
的面积为
4
.过点()0,1P 且斜率为k (0k >)的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ,N ,且直线AM ,AN 分别与y 轴交于点S ,T . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)求直线l 的斜率k 的取值范围;
(Ⅲ)设PS PO λ=,PT PO μ=,求λμ+的取值范围.
【答案】(Ⅰ)2
2
21x y +=
(Ⅱ),2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
(Ⅲ)
)
2
【分析】(Ⅰ)把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB
124
ab =
,解得b ,进而得椭圆C 的方程. (Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+,()11,M x y ,()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.0∆>,进而解得k 的取值范围.
(Ⅲ)因为1,0A ,()0,1P ,()11,M x y ,()22,N x y ,写出直线AM 的方程,令0x =,解得111y y x -=
-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得:点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
.用坐标表示PS ,PT ,PQ ,代入PS PO λ=,PT PO μ=,得11111
1111
y kx x x λ+=
+=+--.同理22111kx x μ+=
+-.由(Ⅱ)得122421k
x x k +=-+,122
121
x x k =+,代入λμ+,化简再求取值范围.
【详解】(Ⅰ)因为椭圆C :22
221x y a b
+=经过点1,0A ,
所以21a =解得1a =.
由AOB 的面积为
4可知,124
ab =,
解得2
b =
, 所以椭圆C 的方程为2
2
21x y +=.
(Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+,()11,M x y ,()22,N x y .
联立22211
x y y kx ⎧+=⎨=+⎩,消y 整理可得:()
22
21410k x kx +++=.
因为直线与椭圆有两个不同的交点,
所以(
)
2
2
164210k k ∆=-+>,解得2
12
k >
.
因为0k >,所以k 的取值范围是2⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝⎭
. (Ⅲ)因为1,0A ,()0,1P ,()11,M x y ,()22,N x y . 所以直线AM 的方程是:()1
111
y y x x =
--. 令0x =,解得1
11
y y x -=
-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
.
同理可得:点T 的坐标为220,
1y x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
. 所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
,220,11y PT x ⎛⎫
-=- ⎪-⎝⎭,()0,1PO =-. 由PS PO λ=,PT PO μ=,
可得:1
111
y x λ--=--,
2211y x μ--=--,
所以11111
1111y kx x x λ+=
+=+--. 同理221
11
kx x μ+=
+-. 由(Ⅱ)得122421k
x x k +=-
+,12
2121
x x k =+, 所以()()()1212121212122121122111
kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=
++=+---++ ()22
22
1
4212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=
+⎛⎫
++ ⎪++⎝⎭
()222
24422121421
k k k k k k -+-+=
++++
()
()
2
121k k -+=
++
)
12221
k k ⎛⎫=-
+∈
> ⎪ ⎪+⎝⎭
所以λμ+的范围是
)
2.
【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.。