第6章 分子对称性与群论基础

H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角形、正方 形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号）
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2019/12/4
6.2 对称操作与对称元素
2）镜面与反映操作
分子中若存在一个 平面，将分子两半部互 相反映而能使分子复原， 则该平面就是镜面σ，这 种操作就是反映.
A-1 A= A A-1 =E
(8) 相似矩阵 若矩阵A,B和C之间存在关系 B= CA C-1
则称矩阵B与矩阵A相似.通过这样的关系把矩阵A变 为矩阵B的变换称为相似变换.
(9)矩阵的迹 一个矩阵所有对角元素之和称为这个矩阵 的迹,用tr表示.
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C AB 2 4 1 (1) 0 2
2
1
11

0

0


7
3
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Βιβλιοθήκη Baidu
6.1 矩 阵
矩阵的乘法一般不满足交换律，但满足结合律。即：
AB≠BA， ABC=(AB)C=A(BC) (5) 转置矩阵 若A=[Aij], AT= [Aji]
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Sn 旋转2π/n，继之对垂直于旋转轴的平面进行反映
对称中心 i 相对于对称中心的反演
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2019/12/4
6.2 对称操作与对称元素
（1）旋转轴与旋转操作 分子中若存在一条轴线，绕此轴旋
转一定角度能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转 可以实际进行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴.
an2

n×m
a1m b11
a2m

b2
1

anm bm1
b12 b1k c11
b2 2

b2k


c21
am2

amk
cn1
m×k
c12 c1k
c2 2

c2k


cn2

cnk
n×k
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共轭转置矩阵 若A=[Aij], AH= [A*ji]
1 2i
A i
2

AH
1 2i
i
2

(6) 零矩阵:全部的矩阵元为0的矩阵
单位矩阵:对角元素均为1,其余元素均为0的矩阵
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2019/12/4
6.1 矩 阵
(7)逆矩阵 若一个矩阵左乘矩阵A及右乘矩阵A均得到单 位矩阵E,则称这个矩阵为A的逆矩阵,用A-1表示.即
；恒等操作 在进行对称操作时，分子中至少有1点是不动的，同
时这种对称操作不改变分子中任意两点之间的距离
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2019/12/4
6.2 对称操作与对称元素
NH3分子的对称操作
2 对称操作的分类 统一分类并用标准符号表示之，其中的映面、象转及
反演操作能把右手变为左手，称为“非真的”或虚操作。
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2019/12/4
6.1 矩 阵
(3) 数与矩阵相乘
若 kA=C， 则：Cij=kAij
例如：
2 3 0 6 9 0 31 5 3 3 15 9
（4）矩阵和矩阵的乘法
a11 a12
C

AB

a21
a22

an1
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2019/12/4
6.2 对称操作与对称元素
对称 元素
符号
对称操作
意
义
I 恒等操作
n重轴 映面 象转轴
Cn
旋转角度2π/n，n最高的称为主轴。若有垂直主轴的二 重轴，对应的操作表示为C’2。
σv 代表包含主轴的平面反映
σd 代表垂直主轴的平面反映
σh 代表包含主轴且平分一对垂直于主轴的二重轴之 间 夹角（或两个σv之间的夹角）的平面反映
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对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
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2019/12/4
6.2 对称操作与对称元素
[实例] 氨分子的几何构型与对称性 分子呈正三角锥形，N原子位于锥顶。对称特点： 1个三重对称轴通过锥顶且垂直于底面 3个对称面(映面)分别通过三重轴及1个N-H键
共有6个对称操作： 绕三重轴旋转120°及240°；通过3个映面的反映
第6章 分子对称性与群论基础
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6.1 矩 阵
1 矩阵的定义 矩阵：由m×n个数按一定次序排列成m行n列的表：
a11 a12 a1n
A


a2
1

a2 2

a2n


am1
am2

amn
aij 称为第i行第j列的矩阵元 当m=n时,称为n阶方阵
6.2 对称操作与对称元素
1.几何意义 分子的几何构型可用对称图
形来表示。能使一个图形复原的 操作称为对称操作，全部对称操 作的集合构成一个“群”。不改 变图形中任何两点的距离而能使 图形复原.
对称元素 对称操作的实现 必须借助于一定的几何实体，如 三重轴、映面等，称为对称元素 。对称元素与对称操作总是互相 依存，但并非一一对应。
行矩阵:仅由一行元素构成的矩阵
列矩阵:仅由一行元素构成的矩阵
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6.1 矩 阵
2 矩阵的运算规则
(1) 两个矩阵相等: 若矩阵A=B,则要求它们的所有矩阵元 相等,即: Aij=Bij i=1,2,3,…;j=1,2,3,…
(2) 矩阵的加(减): 若两矩阵A、B 的行数与列数分别相 等，则它们可相加（减）而乘另一个矩阵C，规则： Cij=Aij±Bij i=1,2,3,…;j=1,2,3,… 矩阵的加(减)满足交换律、结合律： A±B= B ± A； A±B ±C = (A ± B) ±C
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2019/12/4
6.1 矩 阵
其中:
m
cij
aipb p j
p1
(i 1,2,, n; j 1,2,, k)
[注意]只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才 能相乘。
1 0 3 A 2 1 0
4 1 B 1 1
2 0
1 4 0 (1) 3 2 11 0 1 3 0 10 1