高中数学思想方法解析转化与化归思想

为(12，＋∞)．
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第二部分 思想方法精析
2．已知 a＝13ln94，b＝45ln54，c＝14ln4，则
( B)
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．b<c<a
数
二 轮 复 习
[解析]
3
5
a＝13ln94＝13ln(32)2＝23ln32＝ln32，b＝45ln54＝ln54，c＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.
二
则 g(y)在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且 g(－1)＝1e<g(1)＝e.因为对任意
数 学
轮
复 习
的 x∈[1e，1]，存在唯一的 y∈[－1,1]，使得 f(x)＝g(y)成立，所以[a－1e，a]⊆[1e，
e]，∴2e<a≤e，故选 B．
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第二部分 思想方法精析
(2)(文)(2019·沈阳模拟)已知函数 f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若对∀x1∈[12，3]，
二 轮
c 成等差数列，则1c＋oscAo＋sAccoossCC＝____45____.
数 学
复
习
[思路探究] 看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．
[解析] 显然△ABC 为等边三角形时符合题设条件，所以1c＋oscAo＋sAccoossCC＝
1c＋osc6o0s°6＋0°ccooss6600°°＝1＋1 14＝45.
助．
数
学
二 轮
2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不
复
习 等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值
域)问题，从而求出参变量的范围．
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第二部分 思想方法精析
跟踪训练
1．已知函数 f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切 x∈[12，2]，f(x)>0 都成立，则实数
C．(2e，＋∞)
D．(2e，e＋1e)
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第二部分 思想方法精析
[解析] 设 f(x)＝lnx－x＋1＋a，当 x∈[1e，1]时，f ′(x)＝1－x x≥0，f(x)是增
函数，所以 x∈[1e，1]时，f(x)∈[a－1e，a]．设 g(y)＝y2ey，则 g′(y)＝eyy(y＋2)，
学
2
4
故构造函数 f(x)＝lnxx，则 a＝f(32)，b＝f(54)，c＝f(2)．
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第二部分 思想方法精析
因为 f′(x)＝1－x12·lnx＝1－x2lnx，由 f′(x)＝0，解得 x＝e.
故当 x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，e]上单调递增；当 x∈(e，＋∞)
数
学
二 轮 复 习
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第二部分 思想方法精析
函数、方程、不等式之间的转化
典题例析
例 2 (1)已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x∈[1e，1]，总存在唯 数
二 轮
一的 y∈[－1,1]，使得 lnx－x＋1＋a＝y2ey 成立，则实数 a 的取值范围是
学
(B )
复
习
A．[1e，e]
B．(2e，e]
数 学
轮
复 习
(ⅰ)若函数 f(x)在区间(1,2)上单调递增，则 f′(x)≥0 在(1,2)上恒成立，所以
2ax－1＋1x≥0，得 a≥12(1x－x12)．①
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第二部分 思想方法精析
令 t＝1x，因为 x∈(1,2)，所以 t＝1x∈(12，1)．
设 h(t)＝12(t－t2)＝－12(t－12)2＋18，t∈(12，1)，显然函数 y＝h(t)在区间(12，1)
∃x2∈[2,3]使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围是
(C )
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，0]
D．[0，＋∞)
数
学
二
轮
复 习
Βιβλιοθήκη Baidu
[解析] 当 x∈[12，3]时，f(x)≥2 x·4x＝4，当且仅当 x＝2 时等号成立，此时
f(x)min＝4.当 x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a.依题意 f(x)min≥g(x)min，∴a≤0.选 C．
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第二部分 思想方法精析
(理)(2019·济南调研)已知 m，n∈(2，e)，且n12－m12<lnmn ，则
( A)
A．m>n
B．m<n
C．m>2＋1n
D．m，n 的大小关系不确定
数
二 轮
[解析] 由不等式可得n12－m12<lnm－lnn，即n12＋lnn<m12＋lnm.设 f(x)＝x12＋ 学
题的结论适合原问题．
6．构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个
重要途径．
数
二
8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．
学
轮
复 习
9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．
10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，
第二部分
思想方法精析
第四讲 转化与化归思想
1
核心知识整合
2
典题例析、命题探明
第二部分 思想方法精析
知识整合、易错警示
数 学
二
轮
复
习
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第二部分 思想方法精析
知识整合
一、转化与化归思想的含义
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段
将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复
复
习 lnx(x∈(2，e))，则 f′(x)＝－x23＋1x＝x2x－3 2.
因为 x∈(2，e)，所以 f′(x)>0，故函数 f(x)在(2，e)上单调递增．因为 f(n)<f(m)，
所以 n<m.故选 A．
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第二部分 思想方法精析
函数、方程与不等式相互转化的应用
1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮
＋(m＋4)x－2≥0，
数 学
二
轮 复 习
即 m＋4≥2x－3x 在 x∈(t,3)上恒成立，
所以 m＋4≥2t －3t 恒成立，
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第二部分 思想方法精析
又 t∈[1,2]，则 m＋4≥21－3×1＝－1，即 m≥－5；
由②得 m＋4≤2x－3x 在 x∈(t,3)上恒成立，
数
二 轮 复 习
数
上单调递减，
学
二
轮 复 习
所以
h(1)<h(t)<h(12)，即
1 0<h(t)<8.
由①可知，a≥18.
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第二部分 思想方法精析
(ⅱ)若函数 f(x)在区间(1,2)上单调递减，则 f′(x)≤0 在(1,2)上恒成立，所以
2ax－1＋1x≤0，得 a≤12(1x－x12)．②
结合(ⅰ)可知，a≤0.
a 的取值范围为
( B)
A．[12，＋∞)
B．(12，＋∞)
数
学
二 轮
C．[－4，＋∞)
D．(－4，＋∞)
复
习
[解析] 由题意得，对一切 x∈[12，2]，f(x)>0 都成立，即 a>2xx－2 2＝－x22＋2x＝
－2(1x－12)2＋12在 x∈[12，2]上恒成立，而－2(1x－12)2＋12≤12，则实数 a 的取值范围
数
时，f′(x)<0，
学
二
轮 复 习
函数 f(x)在[e，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e，所以 f(54)<f(32)<f(2)，即 b<a<c，
故选 B．
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第二部分 思想方法精析
正难则反的转化
典题例析
例 3 (1)若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋(m2 ＋2)x2－2x 在区间(t,3) 数
二 轮
且 BM＝34BC，点 N 是 DC 的一个三等分点，且 DN＝23DC，所以A→M＝A→B＋34A→D，
数 学
复
习 A→N＝A→D＋D→N＝A→D＋23A→B，所以N→M＝A→M－A→N＝A→B＋34A→D－(A→D＋23A→B)＝13A→B－14
A→D，所以A→M·N→M＝(A→B＋34A→D)·(13A→B－14A→D)＝13(A→B＋34A→D)·(A→B－34A→D)＝13(A→B2－196
学
二 轮 复
上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是
( B)
习
A．(－5，－130)
B．(－337，－5)
C．(－5，－2)
D．(－5，＋∞)
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第二部分 思想方法精析
[解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，
则①g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立．由①得 3x2
数
杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解 学
二
轮 复 习
的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
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第二部分 思想方法精析
二、转化与化归的常见方法
1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问
题．
2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂
数
二 轮 复
综上，若函数 f(x)在区间(1,2)上单调，则实数 a 的取值范围为(－∞，0]∪[18， 学
习
＋∞)．
所以若函数 f(x)在区间(1,2)上不单调，则实数 a 的取值范围为(0，18)．
A→D2)＝13(144－196×64)＝36，故选 C．
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第二部分 思想方法精析
方法二：不妨设∠DAB 为直角，以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y
轴建立如图所示的平面直角坐标系．则 M(12,6)，N(8,8)，所以A→M＝(12,6)，N→M＝
(4，－2)，所以A→M·N→M＝12×4＋6×(－2)＝36，故选 C．
而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA使 原问题获得解决，体现了正难则反的原则．
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第二部分 思想方法精析
典题例析、命题探明
数 学
二
轮
复
习
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第二部分 思想方法精析
特殊与一般的转化
典题例析
例 1 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，
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第二部分 思想方法精析
(2)已知
f(x)＝3x＋3
，则 3
f(－2
019)＋f(－2
018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2
020)
＝___2__0_2_0__.
[思路探究] 看到求f(－2 019)＋f(－2 018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 020)的
数
值，想到求f(x)＋f(1－x)的值．
数
的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
学
二
轮 复
3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，
习
通过互相变换获得转化途径．
4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的
目的．
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第二部分 思想方法精析
5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问
轮
复 习
方程为x－y－1＝0，则l1，l2的交点为(0，－1)．
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第二部分 思想方法精析
2．在平行四边形 ABCD 中，|A→B|＝12，|A→D|＝8.若点 M，N 满足B→M＝3M→C，
D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝
( C)
A．20
B．15
C．36
D．6
[解析] 方法一：由B→M＝3M→C，D→N＝2N→C知，点 M 是 BC 的一个四等分点，
学
二
轮 复 习
[解析]
f(x)＋f(1－x)＝3x＋3 3＋31－x＋3
3＝3x＋3
＋ 3
33＋x 3x＝33xx＋ ＋
33＝1，
所以 f(0)＋f(1)＝1，f(－2 019)＋f(2 020)＝1，
所以 f(－2 019)＋f(－2 018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 020)＝2 020.
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第二部分 思想方法精析
跟踪训练
1．AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于 A，B的切线，则l1，l2的交点的坐标为_(_0_，__－__1_)___ ．
[解析 ] 找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝1，则A(－2,1)， 数
二 B(2,1)，过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0.同理，过点B的切线 学
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第二部分 思想方法精析
化一般为特殊的应用
(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特
殊位置等．
数
学
二 轮
(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快
复
习 捷地得到答案．
(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一
个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
则 m＋4≤23－9，即 m≤－337.
学
所以函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－337<m<－5.
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第二部分 思想方法精析
(2)已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为 __(0_，__18_)__.
二
[解析] f′(x)＝2ax－1＋1x.