工程制图 第二章 正投影的基础知识

e′ e′ e″ d′ f′ c′ O e c X e c c″ f″ d″
d′
f′ X
c′
o
YW
f
d
f d
YH
图2-24 判断两直线是否平行
结论：两直线不平行。
2.相交
V c′ a′ b′
k′
d′ C A K D O B
c′
a′
k′ d′
b′
X
a c
k
X
O
d b
H
a
d
k
c
(b)
b
(a)
图2-25 两直线相交
一般位置直线： 对三个投影面都是倾斜的直线。
V a′
b′
B b" W a" a
V
c′ C d′
c"
A
W
d"
a′ s′
D
b
H c(d)
a s"
a"
2.各种位置直线的投影及投影特性 水平线
⑴平行线
正平线
侧平线
V
c′ C c H
d′ c" D W d"
V a′ A
b′
B b"
V
e′
E f′ e F
e" W f"
W
a" b
d
a
H
H f
•投影面平行线的投影特性
b′
Z
V
a′ A
b″
b′ B b"
W
X
a′
a″
YW
a" b
a
H
a
b
YH
投影面平行线投影特性：
• 在于其平行的投影面上的投影反映实长，且投影与 投影轴的夹角分别反映直线对另两个投影面的夹角；
• 另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴， 且长度比空间直线短。
YW
b 结论：M点不在直线上。
m
a
YH
图2-22 判断点是否在直线上
四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。
1.平行
d′ V c′ a′ C X d′ A D O X a b c d (b)
图2-23 两直线的平行
b′
c′ B a′
b′
O
a
c H (a) d
b
[例2-3] 判断两直线是否平行？
b′
1′
b′
d′
Ⅳ
A C
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
4
D O X a 4 d H c 3
X a c
d 3
b
1(2)
b
图2-27 两直线交叉
一、平面的表示法
1.平面的几何表示法
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2.平面的视图表示法
(a)
(b)
(c)
二、平面的投影特性
1.平面对投影面的投影特性 投影面垂直面： 只垂直于某一个投影面而对另外 两个投影面倾斜的平面。 投影面平行面： 平行于某一个投影面的平面。 一般位置平面： 对三个投影面都倾斜的平面。
a′
b′
a″
b″
b′ c′ a′ a
b″
c′ b′ c″ a′ c
c″
b″
a″
c′ c
c″
a″
a
b
b
c a
b
⑶一般位置平面
c′
C A
c"
W
a"
B
a
b" c (a)
Y H V
b
b ′ 一般位置平面的投影特性： a ′
•平面与三个投影面都倾斜，三个投影为类似形。 o X •各投影不反映平面对投影面倾角的大小。 Z
YW
a
aY
H
YH
3.点的投影规律
⑴ aa′OX
⑵ a′a″OZ
⑶ aax= a″az
Z
V Z
a'
V
y
X
a'
A
az
a' a"
Z
az
a"
z
a
x
o
a"
W
y
X
A
ax
z
a
x
o
W
z
x
ax
ay
Y
y
a
x
o
aY
W
YW
Y
YH
aY
H
4. 根据点的两投影求第三投影
Z a′
X ax
O
方法一：直接量取法
YW
方法二：45º 斜线法
b
⑶一般位置直线
s′ a′
X Z
s″
a″
YW
投影特性： •三个投影为倾斜线， 均小于实长； •各投影与投影轴的 夹角不反映直线对 投影面的夹角。
V a′ s′ S
s
s" W
a
YH
A a
s
a"
H
三、直线上取点的投影
k′ a′
X
b′
Z
b″ k″
a″
YW
a
投影特性： • 直线上点的投影必在该直 线同面投影上； • 同直线上两线段长度比等 于其投影长度比。
D C A R V 投影面 正投影
投影线
B
P
1.三视图的形成及其投影规律 正面投影面——V 面 水平投影面——H 面 侧面投影面——W 面 视图：用正投影法所得物 体的图形称为视图。 （正面投影） （水平投影） 主视图 俯视图 左视图
（侧面投影）
图2-5 三视图的形成及其投影规律
高平齐
V
主视图
投射中心
S C B
投射线
投射方向
C
投射方向
A A B
A
C B
a b
c
投影面P
a
b
c
a
投影面P
c
b
投影面P
中心投影法
正投影法
斜投影法
3.平行投影法的投影特性
⑴实形性（真迹性）：线段或平面 图形平行于投影面，其投影反映 实形或实长。 ⑵积聚性：直线或平面图形平行于 投射线，其投影积聚成点或直线。 ⑶类似性（同形性）:当直线或平面 图形不平行、也不垂直于投影面时， 直线的投影仍为直线，平面图形的 投影是原图形的类似形。正投影时， 其投影小于实长或实形。 ⑷平行性：两相互平行直线，其投影平行。 ⑸定比性：两平行线段长度之比等于其投影长之比。 一条直线上两线段长度之比等于其投影长之比。 ⑹从属性：直线上的点或平面上的点和直线，其投影必在直线 或 平面的投影上。
a′
c′ b′ a a c c b c″ b″
b′ a′ c′
b″ a″ c″
a′
Hale Waihona Puke Baidu
b′
c′
a″ c″
a″
b″
b c
b a
c′
Z
c″
铅垂面
⑵投影面垂直面 正垂面 侧垂面
X
a′ b′
a b c
a″
b″
YW
YH
V
V V
r' R r"
W
q' Q q
H
f'
q"
W
W
F f
f"
r
H
H
投影面垂直面的投影特性：
•在其垂直的投影面上的投影积聚成与该投影面内 的两根投影轴倾斜的直线； •另外两个投影面上的投影为空间平面的类似形。
a
S
投射中心
投射线 投影面
A
这种投射线通过物体，向选定
图2-1 投影法
面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。
2.投影法分类
中心投影法 ：投射线汇交一点的投影法。 平行投影法 ：所有投射线相互平行的投影法。
斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。 正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。
投影 a 的坐标为(xA，yA) 。 投影 a′的坐标为(xA，zA) 。
投影a″ 的坐标为(yA，zA) 。
结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三面投 影也就唯一确定。
三、两点的相对位置与重影点
1.两点的相对位置
Z
a'
b' X
xA-xB
zA-zB
a"
b" o YW
a b
yA-yB
YH
a
YH
z
az
z a″
YW X
a′
X ax
a′
ax
az
a″
YW
a
YH
a
YH
5.点的投影与坐标之间的关系
Z
V
a'(XA,ZA)
Z
a'
A(XA,YA,ZA)
az a" o a ay
Y
图2-12
a"(YA,ZA)
X
ax
W
X
ax
o
aY
W
YW
a(XA,YA)
YH
aY
H
点的投影与坐标之间的关系
A点坐标(xA，yA，zA），A点投影 a，a′, a″。
[例2-4]
Z a′ k′
c′ X a c k b (a) d d′
判断两直线是否相交？
a′ d′ k′ c′ b′ O c k YH d k″ b″ c″ YW Z a″ d″
b
O YW X
b
YH (b)
图2-26 判断两直线是否相交
结论：两直线不相交。
3.交叉
V
1′ c′ a′ 3′(4′) 2′ d′ c′ B a′ 3′(4′) 2′
实长
b′
b″ a″
a′
b′
a″
b″
b′ a′
b″
实长
a′
a
a b b g a g
a″
a b
正平线
实长
b b
水平线
a
侧平线
铅垂线
⑵垂直线 正垂线
侧垂线
V
c′ C d′ c" W d"
V
V c′(b') B A b H a b" W a" e′ E e H
f′
e′(f')
F
f
W
D c(d)
•投影面垂直线的投影特性
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4
投影法和三视图的形成 点 直 平 的 线 面 投 的 的 影 投 投 影 影
§2-1 投影法和三视图的形成 一、投影法的基本知识
1.投影法 建立一个平面P和不在该平 面内的一点S，在平面P和点S 之间放一物体A。过点S发射一 光线SA，SA与平面P的交点a 称为物体A在平面P上的投影。
O
a
e
k d
c
b'
f'
a'
X
k'
c'
d'
O
f a
b
c k
d
b'
e’ d'
X O
a'
c'
b a e d c
b'
e′ d'
X O
a'
c'
b a e d
— 本章完 —
c
k
b
YH
AK : KB = ak : kb = a′k′ : k′b′ = a″k″ : k″b″
[例2-1]已知直线CD的正面投影和水平投影，K点的水平 投影，求K点的正面投影。
分析：CD为侧平线，K在直线上，必在直线AB的同面投影上。 作图：
c′ c′ l1
k1 k′ d1
l2
d′
X O X
d′
图2-13 两点的相对位置
2.重影点
Z
V
c'
c' c"
Z
c" d"
d' X D
C
o
W
d'
X
o
YW
d" c(d) YH
c(d) H
Y
图2-14 重影点
一、直线
b′
Z
b″
a′
X
a″
YW
b
a
YH
图2-15 直线的投影
二、直线的投影
1.三种位置直线 投影面平行线：平行于某一个投影面而对另外两个 投影面倾斜的直线。 投影面垂直线 ：垂直于某一个投影面的直线。
V r' R r" W V q' Q q q"
s' s" S a" b" A s B W
b'
H
r
2.各种位置平面的投影及投影特性
b′
Z
b″
水平面 ⑴投影面平行面 正平面
a′
X
a″
c′ c″
YW
侧平面
a
V
r' r" W
b c
YH V
V q' Q q q"
r' R r H r" W
r
H
投影面平行面的投影特性： • 在与其平行的投影面上的投影反映平面实形； • 另外两个投影面上的投影积聚为直线，且平行于相 应的投影轴。
左视图
W
后
前
长对正
宽相等 后
H
俯视图
前
(C)展开后的三视图
(D)三视图之间的投影规律
图2-5 三视图的形成及其投影规律(续)
2.三视图之间的对应关系
左
右
后
前 上
上
高
下 宽
下
•度量对应关系：
长
后 宽 前
主、俯视图—长对正 主、左视图—高平齐 俯、左视图—宽相等
•方位对应关系：
主视图—物体的上、下和左、右 俯视图—物体的前、后和左、右 左视图—物体的上、下和前、后
Z V
e′
e′ f′ F e"(f") W
f′
e″(f″)
E
X
YW
e H
f
e
f
YH
投影面垂直线投影特性： • 在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点； • 另外两个投影面上的投影反映空间线段的实长， 且分别垂直于相应的投影轴。
a′ b′ a″ b″ a a(b) a b
(a′)b′
a″
b″
a′
b′
a″(b″)
左
右
图2-6 三视图之间的对应关系
一、点的一个投影
B1 A S B2 B3 S
a
P
b
P
图2-7 点的单面投影
1.三面投影体系
Ⅱ Ⅲ
第三角
Ⅰ Ⅳ
第一角
2.点的三面投影
a′
A
a〞
a
Z V
Z
a'
V
y
X
a'
A
z
a
x
o
az
a"
W X Y
y
ax
A
z
a
x
o
a"
W
ay
Y
Z
a′
az
a″
z
X
x
ax
y
O y
aY
W
第二章 正投影的基础知识
本章教学目标要求:
1. 熟悉投影法的基本知识及三视图的对应关系。 2. 掌握点的投影及投影规律。 3. 掌握线、面的投影特性。 本章重点难点：
点、线、面的投影特性。
概述：
实际工程中的各种技术图样都是按一定的投影方法绘 制的，机械工程图样通常是用正投影法绘制。本章首先介 绍投影法的基本知识和物体三视图，再讨论点、线、面等 几何元素的投影原理，为学习后面的内容奠定基础。
O
d
d k l2 l1
k
c
c
图2-20 求直线上点的投影
[例2-2] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影， 问M点是否在直线上？
分析：AB为侧平线，M在 直线上，必在直线AB的同 面投影上，并满足定比规 律。 作图： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三面投影
X
a′ m′
Z
a″
m″
b′
O
b″
Y
W
(
1.平面内取点
b′ e′ a′ c′
X Z
b″
a″
e″
c″
YW
a c e b
YH
2.平面内取线
Z
a′ c′ 1′
X
a″ m′ n′
a′
e′ b″ f′ b′
X O
2′
c″
2″
m″ n″
1′ 2′
c′
1″
b′ c n 2 a 1 b
YH
YW
c
a
m
1 2 b
e
f
b'
a'
X
k' d' b
c'