简谐激励下强迫振动的响应特性

令 n 2 ， 为一小正数。则：
n 2 n 2
n2 2 4
激励频率与固有频率接近
因此有：
xt
F0 / m
2
sin t
sin
t
F0 / m sin t 2
可变幅值
幅值变化周期为 2 /
出现拍的现象
激励频率与固有频率接近
拍振周期：两零幅值点或最大幅值点对应的时间
b
2 2
例 （2）
问题 2，总响应的最终形式
x t e 2 t 0.87 cos 19.9t 3.2 sin19.9t 6.61 sin 10t 0.133 mm
3.32e 2 t cos 19.9t 1.31 6.61sin 10t 0.133 mm
注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！
相位特性和振幅一样，
Φ
arctan
k
c m2
相位差特性
相位差
应该注意，这里的相位差是表示 响应滞后于激励的相位角，不应 与自由振动的初相位相混淆
自由振动
arc tan
x 0
x0 n
π arc tan x 0
x0 n
x0 0 x0 0
受迫振动
Φarctan c k m 2
两者主要区别：
初相位取决于初始位移与初始速度的相对大小；
假设在
时刻，力 在很短的
时间 作用在系统上，则在这一时刻
的冲量就是
，对于任意时刻 ，
冲量发生的时间为
，则该冲量
在 时刻引起的系统的响应为:
对一般力的响应
则系统在 t 时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引起的 响应的叠加：
令
，并用积分代替求和，可得
将单位脉冲响应函数的表达式代入，得
上面两式即为单自由度欠阻尼系统对任意激励
系统的响应为
称为 单位脉冲响应函数
对冲量的响应
如果冲量的大小是 而不是1，那么初始速度 此时系统的响应成为
变为
如果冲量 是作用在任意时刻 处，
则该时刻速度变化为 。假设冲量
作用前
，则系统响应为
冲量及响应如右图所示。 脉冲发生的时刻
对一般力的响应
对任意外力的作用，可将任意力看成 是一系列大小变化的冲量组成的。
相位差反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统
本身具有阻尼引起的。
相频曲线
系统总响应为：
总响应
式中 为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。 因此欠阻尼系统的总响应为：
其中瞬态响应的幅值 和相位 可通过将初始条件代入上 式予以确定，即联立求解以下方程获得：
例 （2）
问题描述
k
c
Fk
如 右 图 所 示 的 单 自 由 度 系 统 : m=5kg, o Δ
0A6.61sin0.133， A6.61sin0.1330.87mm
xt 2e 2t Acos dtBsin dt e 2t A d sin d tB d cos d t 66.1cos10t0.133
0 2 A19 .9B 66 .1cos 0.133
B2 A66.1cos0.133 /19.93.2mm
式中的积分称作 杜哈梅积分 或 卷积
的响应。
例子
例子
有阻尼系统，套用杜哈梅积分公式
无阻尼系统有
例子
小结
强迫振动与自由振动的区别 强迫振动解的一般形式：稳态解+瞬态解 稳态解在不同无量纲频段的表现形式 有阻尼时的表现形式 无阻尼时的拍振现象（激励频率接近固有频率） 共振现象 一般激励下响应的求取
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
mLeabharlann Baidu
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
200 c1 sin20tc2 cos20t 2000t c1 cos20tc2 sin20t 2000t c1 cos20tc2 sin20t
1
1 2
1 2 2
1
max
1
2
振幅达到最大值时的频率
1 2 2 1 n peak d n
d 1 2 1 2 2 n
受迫振动峰值并不出现在阻尼 系统的固有频率处，峰值频率 略向左偏移， 对于小阻尼 ζ (i.e.,
for light damping).
1 peak d n
1.8
例（1）
问题描述
如右图所示的单自由度系统: m=5kg, c=0 Ns/m, and k=2000 N/m.
如果F(t)=10sin(20t)(N), 所有初条 件为零, 求系统响应x(t)=?
k o Fk
Δ
x
Solution
The equation of motion: 5x 2000x 10sin 20t
20
Hence, the complete response of the undamped system is
x t 0.0025sin 20t 0.05t cos 20t m
例（1）
The solution: x t 0.0025sin 20t 0.05t cos 20t m
详细推导
2
1
1 2 2 2 2
X0 k
F0
1 2 2 2 2
振幅达到最大值时的频率
'
1
2
1
2 2
2
2 1 2 2 8 2
2
1
2
2
2
2
3
0
1 2 2 2 0
2 1 2 2
1 2 2 1
d 1 2 n
max
1
112 2 2 4 2 12 2 2
2
X
振幅放大系数（幅值比）
其中： st F0 / k r / n
静位移 无量纲频率比
无阻尼系统幅频特性
稳态解的分段响应特性
总响应
共振
此时
由罗比塔法则
x(t)
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
stnt
2
sin
nt
激励频率与固有频率接近
Case 4: ωn ≈ ω
设 x0 x0 0 ，则：
作业
(page 42,43)
2-7, 2-10, 2-14
例 （2）
建模
建立广义坐标。取质量元件沿 铅垂方向的位移作为广义坐标 x。原点在系统的静平衡位置， 向下为正。
k
Fk
oΔ x
c
F Fc
m
mg
作受力分析图
mxcxk xF0 sint
代入 m=5kg, c=20Ns/m, and k=2000N/m.
Fk F Fc
m mg
例 （2）
F(t)=10sin(10t) ， 求频率及放大系数
c=20 Ns/m, and k=2000 N/m.
x
F Fc
m
•（1）当外激励 F(t)=10sin(10t)(N), 求系统的稳态响 mg
应x2(t)=?
•（2）当 F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值条件为零， 即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬态解及总响应 x(t)?
•当 t = 1 s, 2 s, 3 s时，瞬态响应x1(t) 的幅值及稳态 响应 x2(t)的幅值
例 （2）
问题3
x2 t6.61sin10t0.133mm
Amplitude of x2(t) =6.61mm
x1t 3.316e2t cos dt Φ
t=1s, Amplitude of x1 = 0.45mm
t=2s, Amplitude of x1 = 0.061mm
衰减
t=3s, Amplitude of x1 = 8×10-3mm
cx
Inertia
mx2
Amplitude F0
kX0 cωX0 mω2X0
Phase Angle 0o
Lag F(t)
Φ
Exceed x (t) 90o
Exceed x (t) 180o
Vector relationship
稳态响应的低频特性
若 r
X0 st
Vector relationship
有、无阻尼系统对比
无阻尼系统的 幅频响应曲线
无阻尼 有阻尼
一般激励下的响应特性
冲量作用下的单自由度系统响应
考虑具有粘性阻尼的弹簧 - 质量系统在 t = 0 时受到一个单位冲量作用:
对冲量的响应
对于欠阻尼系统，其运动方程为 则系统的瞬态响应为
其中
对冲量的响应
如果质量块在冲量作用之前静止，即 我们有: 则系统的初始条件变为
（习惯表达方式）
0, 1, 0,
(Stiffness domination)
X0
F0 k
（外力主要与弹性力平衡）
Φarctan 2 1 2
1
1 2 2 2 2
X0 k
F0
1 2 2 2 2
稳态响应的高频特性
,
0,
,
X0
F0 k
n2 2
F0
m 2
(Inertia domination)
n
2000 20 rad/s 5
c
F Fc
m
mg
例 （1）
Particular solution:
x2 t t c1 cos20tc2 sin20t x2 t c1 cos20t c2 sin20t 20t c1 sin20t c2 cos20t x2 t40 c1 sin20tc2 cos20t 400t c1 cos20tc2 sin20t
10sin 20t
c1
10 0.05(m) 200
c2 0
例（1）
The solution: xt Acos20tBsin20t0.05tcos20t
A and B are determined using the initial conditions
x0 0 A 0 x t 20B cos 20t 0.05cos 20t t sin 20t x 0 0 B 0.05 0.0025 (m)
n
k 20 ( rad/s ) m
c 20 0.1
2 m k 200
10 0.5
20
d n 1 2 19.9(rad/s)
1
1.322
1 0.5 2 2 2 0.5 0.1 2
例 （2）
求稳态响应的幅值及相角
X
0
F0 k
1.322 10 2000
6.6110 3
2 n
拍频： b 2 n
(or : fb fn f )
拍的现象
拍的现象
mxk xF0 sint
we have ωn-ω=2ε
m 1, k 1, F0 1
x xsint
Period of beating:? Max. Amplitude: ?
1.06
1.1
1.12
激励频率与固有频率比不同时的情况
稳态 和瞬 态问 题！！
全解！
二、有阻尼情形
运动方程一般形式 假设稳态解形式并代入运动方程得
用三角函数公式展开 令两边同谐波项相等
幅频特性 相频特性
无量纲化
式中：
振幅放大系数（幅值比）
力函数和响应相位差
稳态响应的相位特性
Force Excitation
F(t) Restoring
kx
Damping
(m)
Φ
c
2 0.5 0.1
arctan k m 2 arctan 1 0.5 2 0.133
rad
x2 t 6.61 sin 10t 0.133
mm
例 （2）
问题 2，求瞬态响应
x1
x t e 2 t Acos d t B sin d t 6.61 sin 10t 0.133
简谐激励下强迫振动的响应特性
强迫振动的几种形式
强迫振动的运动方程
单自由度运动微分方程的一般形式
取不同形式时，振动特点不同
其中简谐激励为最简单的激励形式
简谐激励下的响应
运动微分方程的解
x(t)xh (t)x p (t)
其中, xh (t) 为相应齐次方程的解
瞬态响应
（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）
（外力主要与惯性力平衡）
Φarctan 2 1 2
1
1 2 2 2 2
X0 k
F0
1 2 2 2 2
稳态响应的共振特性
1,
1 , 2
,
2
X0
F0
k 2
F0
c
(Damping domination)
（共振时，外力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡）
2
Φarctan
1
x p (t) 为方程的特解 稳态响应
振动的时域波形
一、无阻尼情形
无阻尼情形的运动方程
瞬态解的一般形式：
稳态解的一般形式： 代入运动方程，得到振幅：
因此，总振动的一般形式为：
放大系数与静位移
总振动方程中代入初始条件，可求得待定常数
得到总振动的表达式
稳态解的振幅 X 通常可表达成
X
st
1
1 r