十字相乘法优秀课件
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3.先阅读学习，再求解问题： 材料：解方程：x2+3x-10=0
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴ x+5=0或 x-2=0 ∴ x=-5 或 x=2
解方程：x2-2x-3=0
解：原方程可化为: （x+1）（x-3）=0 ∴ x+1=0或 x-3=0 ∴ x=-1或 x=3
或 -6 .
作业：分解因式： ⑴ x2+5x+6 (3) x2+5x-6
新人教版 ·数学 ·八年级(上)
15.3 十字交叉法分解因式
知识链接：
1.因式分解与整式乘法的关系： 相反方向的变形
2.已有的因式分解方法：
一、提公因式法 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
二、公式法 完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
知识链接：
3.请把下列各式因式分解：
(1) 3ax2+6ax
(2) x2-4y2
(3) x2-6x+9
（4）2ax2+6ax+4a
解：（1）原式=3ax（x+2）
（2）原式=x2 -（2y）2 =（x+2y）（x-2y）
（3）原式=x2-2·x·3+32 =（x-3）2
（4）原式=2a（ x2+3x+2 ）
这是最后的结果吗？还 能不能继续分解呢？
（2）分组添括号时要注意符号的变化．
（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是 一样的．
练一 练
把下列各式因式分解： （1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)
（2）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
（3）原式=x2-2·x·3+32 （4）原式= 2a（ x2+3x+2 ） x
=（x-3）2
= 2a（x+1）（x+2）x
1 2
精讲精练：
练一练：利用十字相乘法分解因式： （数学书121页 ）
（1）x2+7x+10
（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12
（4）x2+7x-18
解：（1） x2+7x+10 1
解： x2+3x+2
x1
=（x+1）（x+2） x 2
2x+x=3x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，积相加； ③检验确定，横写因式．
利用十顺字口交叉溜线：来分竖解分系常数，数把交二次叉三验项，式分横解写因式因的式方法不叫能做乱十字．相乘法.
练一练：利用十字相乘法分解因式： （数学书121页 ）
（3）9a4-4a2+4a-1 解：9a4-4a2+4a-1
4.公式：x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
达标检测： 1.将下列各式因式分解： （1）x2+8x+12= (x+2)(x+6) （2）x2+13x+12= (x+1)(x+12)
（3）x2+11x-12= (x+12)(x-1) （4）x2-4x-12= (x-6)(x+2)
2. m2-5m-6=(m＋a)(m＋b)，则 a和b的值分别是 1
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny) 解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n) = (m-n) (x+y)
注 意
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提．
2 （2）x2-2x-8
12
=（x+2）（x+5） 1
5 =（x+2）（x-4） 1
-4
（3）y2-7y+12 1
-3 （4）x2+7x-18 1
-2
=（y-3）（y-4） 1
-4 =（x-2）（x+9） 1
9
对于二次项系数为1:“拆常数项，凑一Baidu Nhomakorabea项”
当常数项为正数时，把它分解为两个 同 号因数的积，因式的符号与一 次项系数的符号 相 同；
（1）x2+7x+10
（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12
（4）x2+7x-18
知识链接：
3.把下列各式因式分解： (1) 3ax2+6ax (3) x2-6x+9
(2) x2-4y2 （4）2ax2+6ax+4a
解：（1）原式=3ax（x+2） （2）原式=x2 -（2y）2 =（x+2y）（x-2y）
自主探究：
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
因式分解中，十字相乘法公式
x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
1.口答计算结果
(1)(x+3)(x+4)= x2 +7 x +12; (1) x2 +7 x +12=(x+3)(x+4); (2)(x-3)(x-4)= x2 -7 x +12； (2) x2 -7 x +12=(x-3)(x-4) ；
⑵ x2-5x+6 (4) x2-5x-6
思考：分解因式：2x2-7x+3
知识要 点
分组分解法分解因式：
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
当常数项为负数时，把它分解为两个 异 号因数的积，其中绝对值较大 的因数的符号与一次项系数的符号 相 同．
精讲精练：
例1：把x2 + 3x + 2 分解因式
解： x2+3x+2
11
=（x+1）（x+2） 1 2
例2：把x2 + 3xy + 2y2 分解因式
解： x2 + 3xy + 2y2
1 1y
(3)(x+3)(x-4)= x2 – x -12； (3) x2 – x -12=(x+3)(x-4) ；
(4) (x-3)(x+4)= x2 + x -12. (4) x2 + x -12= (x-3)(x+4).
把上述式子左右对调，你有什么发现？
精讲精练：
例1：把x2 + 3x + 2 分解因式
=（x+y）（x+2y） 1 2y
小结：
本节课你学到了什么？还有什么不明白？
十字相乘法分解因式
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项． 2．符号规律：
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的 积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的 积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的 符号相同． 3．书写格式：竖分横积．
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴ x+5=0或 x-2=0 ∴ x=-5 或 x=2
解方程：x2-2x-3=0
解：原方程可化为: （x+1）（x-3）=0 ∴ x+1=0或 x-3=0 ∴ x=-1或 x=3
或 -6 .
作业：分解因式： ⑴ x2+5x+6 (3) x2+5x-6
新人教版 ·数学 ·八年级(上)
15.3 十字交叉法分解因式
知识链接：
1.因式分解与整式乘法的关系： 相反方向的变形
2.已有的因式分解方法：
一、提公因式法 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
二、公式法 完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
知识链接：
3.请把下列各式因式分解：
(1) 3ax2+6ax
(2) x2-4y2
(3) x2-6x+9
（4）2ax2+6ax+4a
解：（1）原式=3ax（x+2）
（2）原式=x2 -（2y）2 =（x+2y）（x-2y）
（3）原式=x2-2·x·3+32 =（x-3）2
（4）原式=2a（ x2+3x+2 ）
这是最后的结果吗？还 能不能继续分解呢？
（2）分组添括号时要注意符号的变化．
（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是 一样的．
练一 练
把下列各式因式分解： （1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)
（2）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
（3）原式=x2-2·x·3+32 （4）原式= 2a（ x2+3x+2 ） x
=（x-3）2
= 2a（x+1）（x+2）x
1 2
精讲精练：
练一练：利用十字相乘法分解因式： （数学书121页 ）
（1）x2+7x+10
（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12
（4）x2+7x-18
解：（1） x2+7x+10 1
解： x2+3x+2
x1
=（x+1）（x+2） x 2
2x+x=3x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，积相加； ③检验确定，横写因式．
利用十顺字口交叉溜线：来分竖解分系常数，数把交二次叉三验项，式分横解写因式因的式方法不叫能做乱十字．相乘法.
练一练：利用十字相乘法分解因式： （数学书121页 ）
（3）9a4-4a2+4a-1 解：9a4-4a2+4a-1
4.公式：x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
达标检测： 1.将下列各式因式分解： （1）x2+8x+12= (x+2)(x+6) （2）x2+13x+12= (x+1)(x+12)
（3）x2+11x-12= (x+12)(x-1) （4）x2-4x-12= (x-6)(x+2)
2. m2-5m-6=(m＋a)(m＋b)，则 a和b的值分别是 1
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny) 解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n) = (m-n) (x+y)
注 意
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提．
2 （2）x2-2x-8
12
=（x+2）（x+5） 1
5 =（x+2）（x-4） 1
-4
（3）y2-7y+12 1
-3 （4）x2+7x-18 1
-2
=（y-3）（y-4） 1
-4 =（x-2）（x+9） 1
9
对于二次项系数为1:“拆常数项，凑一Baidu Nhomakorabea项”
当常数项为正数时，把它分解为两个 同 号因数的积，因式的符号与一 次项系数的符号 相 同；
（1）x2+7x+10
（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12
（4）x2+7x-18
知识链接：
3.把下列各式因式分解： (1) 3ax2+6ax (3) x2-6x+9
(2) x2-4y2 （4）2ax2+6ax+4a
解：（1）原式=3ax（x+2） （2）原式=x2 -（2y）2 =（x+2y）（x-2y）
自主探究：
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
因式分解中，十字相乘法公式
x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
1.口答计算结果
(1)(x+3)(x+4)= x2 +7 x +12; (1) x2 +7 x +12=(x+3)(x+4); (2)(x-3)(x-4)= x2 -7 x +12； (2) x2 -7 x +12=(x-3)(x-4) ；
⑵ x2-5x+6 (4) x2-5x-6
思考：分解因式：2x2-7x+3
知识要 点
分组分解法分解因式：
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
当常数项为负数时，把它分解为两个 异 号因数的积，其中绝对值较大 的因数的符号与一次项系数的符号 相 同．
精讲精练：
例1：把x2 + 3x + 2 分解因式
解： x2+3x+2
11
=（x+1）（x+2） 1 2
例2：把x2 + 3xy + 2y2 分解因式
解： x2 + 3xy + 2y2
1 1y
(3)(x+3)(x-4)= x2 – x -12； (3) x2 – x -12=(x+3)(x-4) ；
(4) (x-3)(x+4)= x2 + x -12. (4) x2 + x -12= (x-3)(x+4).
把上述式子左右对调，你有什么发现？
精讲精练：
例1：把x2 + 3x + 2 分解因式
=（x+y）（x+2y） 1 2y
小结：
本节课你学到了什么？还有什么不明白？
十字相乘法分解因式
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项． 2．符号规律：
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的 积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的 积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的 符号相同． 3．书写格式：竖分横积．