几个组合优化问题的研究

山东大学

博士学位论文

几个组合优化问题的研究姓名：董振宁

申请学位级别：博士专业：运筹学与控制论指导教师：刘家壮

20040325

几个组合优化问题的研究

董振宁

（山东大学数学与系统科学学院，济南，２５０１００）

中文摘要

组合优化问题是运筹学中的一个重要分支，随着实践的不断发展，越来越多的新问题利用它的古典模型求解不再合适，比如最短路问题、最小费用流问题、运输问题等．因而需要对原来的古典模型进行改进，构造出新的组和优化模型，并为之设计算法．本文研究了组合优化问题中具有特殊限制的最短路问题、最小费用流同题和运输问题，共分为六章；

第一章绪论，首先介绍了组合优化问题的统一形式，由于现代大多数组合优化问题都是ⅣＰ—ｈａｒｄ的，因此我们接着介绍了ⅣＰ—ｈａｒｄ问题几种常见的处理方法，最后介绍了与本文有关的三类经典组合优化问题的模型及算法．设Ｆ是有限集，ｃ是Ｆ到实数集Ｒ的映射，即ｃ是定义在Ｆ上的一个函数．求＿，∈Ｆ，使得对于任意的Ｙ∈Ｆ，有

ｃ（Ｓ）≤ｃ（ｙ）

成立．。上述问题称为组合优化问题，简记为；求ｒａｉｎｃ（．厂）

早期的组合优化问题通常可以设计出一个方便快捷的算法求得其最优解，比如最小支撑树问题．随着实践的发展，人们遇到了很多组合优化问题都找不到多项式算法．人们将其称为ⅣＰ问题．后来，人们归结出了一类ⅣＰ—ｈａｒｄ问题，认为它们基本上不可能存在多项式时间算法．如果一个算法能够求得这些问题的最优解，则它的计算时间将会很长，以至于无法忍受．由于Ⅳ｜Ｐ—ｈａｒｄ问题无法设计出多项式算法，很多ⅣＰ—ｈａｒｄ问题又非常有应用价值，因而人们都在努力为其设计近似算法、启发式算法或者遗传算法．近似算法能够保证计算结果与最优结果相比较的差别不超过某一常数血，且Ｑ一般较小，但是算法比较复杂，在计算机上编程时比较困难；启发式算法算法通常很简单，很容易在计算机上实现，一般情况下也能够保证计算结果同最优结果差别不超过某一常数ｏ，但是ｎ相对于近似算法要大．也有一些启发式算法无法保证解的近似度，但计算结果通常都比较理想，如本文为

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随机时间依赖网络上的最短路问题设计的ＥＳＰ和ＫＥＳＰ苒法，连续时间网络上的最小费用流问题的增广流算法都是启发式算法；遗传算法简称ＧＡ，是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、自适应的搜索方法，由于遗传算法的寻优过程是从大量的点构成的种群开始平行进行、逐步优化，避免了局部优化结果的产生，并且，遗传算法不要求函数满足可导性质，因此遗传算法常用来解决传统搜索方法解决不了或很难解决的问题。计算结果与最优结果差别一般也很小，但是计算时间相对较长，而且无法从理论上保证计算结果的好坏．本文为带容量限制的带固定费用的最小费用流问题设计的算法就是遗传算法。

第二章研究随机时间依赖网络上的最短路问题．在确定性网络中，最短路问题已经被深入地研究，并被证明有着广泛的用途．在这些问题中，所有边的长度都是常数，目标是寻找一条路，使其经过的边的总长度最小．Ｄｉｊｋｓｔｒａ在文献［２５】中给出了一个时间复杂性为Ｏ（ｎ２）的多项式算法．

随着实践的发展，越来越多的应用领域提出了边上的费用是随机变量的最短路问题．比如在城市交通中，由于堵车、车辆的多少、路上行人及自行车的多少都会影响到车辆的行驶速度，而这些因素又无法确定，因而汽车需要多长时间才能够通过一条街就无法提前获知。但是我们通过以往的经验或者历史资料知道通过每一条街所需８寸ｆ日－Ｉ的概率分布，这样的问题称为随机网络上的最短路问题。

根据边长被确定的早晚的不同，随机网络中的最短路问题大致分为三种情况，１９８７年【２６］Ｇ．Ａｎｄｒｅａｔｔａ便详细论述了这三种情况之间的区别．１９８６年，ＲａｎｄｏｌｐｈＷ．Ｈａｌｌ【３６］首先研究了时间依赖的随机网络上的最短路问题，但是没有给出算法。１９９８年，ＥｌｉｓｅＤ．Ｍｉｌｌｅｒ．Ｈｏｏｋｓ和ＨａｎｉＳ．Ｍａｈｍａｓｓａｎｉｆ３７］研究了边权是时间依赖的离散时间变量的网络，给出了最小可能时间的最优路径算法以及相关概率的下界，但是当路径由３条以上弧组成的时候，理论计算上的最短路实现的概率一般不大于０．０１，基本不可能实现，现实意义不大．２００２年，潭国真和高文【３８】研究了怎样区分两条路的长度的期望值的大小，由此找到的最短路以较大的概率最短，但是由于算法过于复杂，很难实现．

本文研究了随机时间依赖网络上的期望最短路及Ｋ．期望最短路问题，为之给出了极为简便的ＥＳＰ和ＫＥＳＰ算法．ＥＳＰ算法的基本思路如下：从发点

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１开始，以Ｅ（ｃｌ。（【）））作为边的长度，令￡…７ｅ（，）＝Ｅ（ｃ；ｌ（【）】１，以ｅ（ｏ，（ｔｉｍ：、（ｆ）））作为边（ｉＪｊ的长度，逐步计算每条边的长度，并借用Ｄｉｊｋｓｔｒａ箕法求出随机时间依赖网络上的期望最短路．

这两个算法都是启发式算法，ＥＳＰ算法的时间复杂性为０（ｎ２），ＫＥＳＰ算法的时间复杂性为ｋＯ（ｎ抖‘）。当七固定时，它们都是多项式算法。由于该算法不仅能解决弧权是离散的随机变量的期望最短路问题，而且在弧权是连续分布的随机变量的情况下，依然有效，所以该算法虽不能保证总是找到期望最短路，仍具有极大的现实意义．

第三章研究了一类带费用约束的紧急运输问题．第一节首先介绍了紧急运输问题的研究历史现状。１９４１年Ｈｉｔｃｈｃｏｃｋ［１０】建立了基本的运输问题模型．

１９９８年，ＧｅｏｒｇｅＦ．Ｌｉｓｔ在放射性危险物品运输优化模型中引入了应急问题［４７］，但他的模型意味着：事故一旦发生，总是离应急点最近的出救点参与应急，没有考虑单个出救点不能满足需求的情况．２００１年以来，刘春林等研究了单个资源供应点无法满足需求，需要多供应点组合供应的问题ｆ１２，１３１．他们还研究了运输时间为模糊数的最短路径选择问题ｆ１４，１５】。以及将出救点的最少作为目标时出救方案的选择问题［１６１．但这些研究仍是基于单个需求点的情况，没有考虑到多点同时发生紧急事件的情况．

２００１年，李珍萍［１７】研究了最短时限运输问题，在该文中提出了多供应点，多需求点的紧急情况下的资源运输问题，并给出了多项式时间算法．但该文在追求最长运输时间最短时却没有考虑费用的问题，由于实际工作中可以支配的费用总是有限的。因而本文研究了在总费用限制在一定范围之内的最短时限运输问题．

第二节提出了运输费用限定的最短时限运输问题（以下简称问题Ｉ）：在一个二分网络图上，一端为代表物资储存仓库的Ｓ，另一端为代表物资需求点的Ｔ；每条边（ｊ，Ｊ）对应一个运输费用Ｗ玎和一个运输时间ｔ¨紧急时间发生时，应如何安排运输方案，才能即使运输费用不超过∥，又能使最长的运输时间最短？

第三节首先将其转化为传统的运输问题（以下简称问题ｎ），然后讨论了问题Ｉ同问题Ⅱ的解的对应关系，主要结果有：

定理３．３．２问题ｒ的最优解一定可以在问题Ｉ的基本可行解达到，也一