非线性振动作业(部分)

0 非线性振动概述

人类对非线性振动现象的观察可以追溯到1673年Huygens对摆的研究.他注意到两类非线性现象:摆的大幅振动不具有等时性,以及轻微不同步摆钟存在频率拖带。1749年Euler研究的压杆失稳涉及平衡点的分岔,也是非线性系统的典型特征。除Helmholtz和Rayleigh对频率拖带的研究外,对非线性振动的系统研究是在19世纪后期为解决天体力学问题而开始的,到本世纪20年代又受无线电技术的刺激,在定性理论和解析解法方面都有大量成果.到70年代后期,与工程应用日渐普及的同时,非线性振动理论发展成为以混沌问题为核心的非线性动力学,成为新的交叉科学即非线性科学的重要组成部分。通常认为线性振动系统的参数均为常值.由于参数周期变化而激起的振动即参数振动虽为线性振动,但在研究方法上更接近非线性振动。1831年Faraday首先观察到参数振动现象,充液容器铅垂振动时液体自由表面波动的周期为容器振动周期的两倍。1859年Melde和1883年Rayleigh分别进行了实验研究。1868年Mathieu在研究椭圆薄膜振动时涉及以余弦函数为系数的常微分方程。1877年以偶周期函数为系数的方程出现在Hill对月球运动的研究中,他用幂级数展开方法证明了月球近地点运动的周期性。1883年Floquet建立了系数为同周期函数的高阶线性微分方程周期解的存在性及其他性质的完整理论。1885年Poincaré证明了Hill所用展开方法的收敛性。

非线性振动的研究使得人们对振动机制有了新的认识。除自由振动、受迫振动和参数振动以外,还有一类广泛存在的振动,即自激振动。1925年Cartan父子研究了无线电技术中出现的一类二阶非线性微分方程的周期解.1926年vanderPol 建立一类描述三极电子管振荡的方程,称为vanderPol方程,他用图解法证明孤立闭轨线的存在,又用慢变系数法得到闭轨线的近似方程.1928年Lienard证明以Cartan方程和vanderPol方程为特例的一类方程存在闭轨线,1929年Андронов阐明了vanderPol的自激振动对应于Poincaré研究过的极限环.自激振动也在其他工程系统中出现,例如,1932年DenHar-tog用自激振动解释输电线的舞动,1933年Baker的工作表明干摩擦会诱发自激振动。

非线性振动的研究也促使人们认识一种新的运动形式,即混沌振动。1945年Cartwright和Little-wood对受迫vanderPol振子及Levinson对一类更简化的模型分析表明,存在一类奇异的解,两个不同稳态解可有任意长时间相同的瞬态过程,这表明运动具有不可预测性.60年代上田和林千博等在寻找Duffing方程谐波解时,得到一种混乱貌似随机且对初值非常敏感的解,但他们的工作直到1973年才发表[1]。

振动是物理学技术科学中广泛存在的物理现象。如建筑物和机器的振动。无线电技术和光学中的电磁振动，控制系统和跟踪系统的自激振动，声波振动，同步加速器中的束流振动和其结构共振，火箭发动机燃烧时所引起的振动，化学反应中的复杂振动等等。这些表面看起来极不相同的现象，都可以通过振动方程统一到振动理论中来。振动是机械运动的一种形式，在技术领域中，经常出现周期振动。

因振动是机械运动的一种形式，所以其运动规律)

(t

x决定于作用在系统上各种力的性质，即为下列方程所决定

m=

+''

x

+'

f

)1.0(

)(t

kx

x c

其中m 为振动质量，x 为m 的振动位移，x c '为阻尼力，kx 为弹性恢复力。)(t f 为周期干扰力。因弹性力和阻尼力都是线性函数，所以方程（0.1）是二阶线性非齐次微分方程，这样的系统称为线性振动系统。如果弹性力和阻尼力二者之一或者都是非线性函数).()(12x f x f '和则振动方程成为非线性微分方程

)2.0()()()(21t f x f x f x m =+'+''

此时系统称为非线性振动系统。

研究非线性振动是为了减小系统的振动或有效利用振动，使系统具有合理的结构形式和参数[2]。

1 非线性振动摄动法—小参数法

摄动法亦称小参数法，是庞加莱于上世纪末提出来的，用于解决非线性系统周期解的问题。后经李雅普诺夫和马尔金等人进行了深入的研究。经实践证明 ，该方法用于求单自由度和多自由度系统的周期解都是十分有效的方法之一。本文将以单自由度实例进行研究讨论。

对于如下典型的自治系统振动方程：

)1.1(),(20x x f x p x '=+''ε

其中ε是小参数。当0=ε时，变成无阻尼单自由度自由振动问题，系统固有频率为0p ；当0≠ε时，方程的解可以写成

)2.1(),(t x x ε=

将（1.2）式在0=ε附近展成泰勒级数：

上式中设： ,),0(!

21,),0(,),0(210x t x x t x x t x =''='=则 )4.1()()()(2210 +++=t x t x t x x εε

这样就得到了自治系统的振动方程的级数形式的解。

为了得到 ,2,1),(=i t x i 将上述级数解代入原方程，即式（1.1）中得到： 方程的左边为：

+++=''22''1''0''x x x x εε

以上两式相加得到:

将x x ',代入方程的右边),(x x f '中，得到：

由于以上对ε的展开方程对所有的ε值都成立，且 ,2,1),(=i t x i 与ε无 关，因此方程左右ε同幂次的系数应该相等，这样就得到各阶渐进解)(t x i 所满足的对应与ε各阶的方程

如果原方程的初始条件分别为),0(),0(x x '则

+++='+++=)0()0()0()0()0()0()0()0('2''0221021x x x x x x x x εεεε

一般可以取各阶渐进解的初始条件为

,2,1,0)0(,0)0()

0()0(),0()0(''00==='==i x x x x x x i i

于是，我们求得精确到n ε的渐进解：

)6.1)((12210++++++=n n n O x x x x x εεεε

2 摄动法—小参数法实例分析

在上面提到的式（0.2）的一个特例，即著名的非线性Duffing 方程，其简单形式为：

)1.2(0)0(,)0(0)()()(322

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫===++x dt d a x t x t x t x dt d ε下面就以杜芬方程： 0

)0(,)0(2.2003='==++''x a x x x x 初始条件：）（ε 为例利用非线性振动解法之一——基于小参数ε的摄动解法，来求式（2.2）的解。

根据上面介绍的小参数法，设方程（2.2）的解为:

+++=)()()(2210t x t x t x x εε

非线性函数的解f 为

3x f -=

第0阶方程的解为

t

a x c o s 00= 将其代入第1阶方程，整理得

)3cos cos 3(4cos 303

301'

'1t t a t a x x +-=-=+ 解得结果为： )cos 3(cos 32

sin 8330301t t a t t a x -+-=