3.3多自由度弹性体系的地震反应分析2009.9

x31 x32 x3 j x3n
x j1 xj2 x jj x jn
xn1 ]T xn 2 ]T xnj ]T xnn ]T
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析 质量矩阵正交性 刚度矩阵正交性 阻尼正交性
{X} [m]{X}i = 0
T j
(i ≠ j) (i ≠ j) (i ≠ j)
x1 (t )
D1 = (c11 x1 + c12 x2 ) m11 + c11 x1 + c12 x2 + k11 x1 + k12 x2 = m10 x x
质点2 质点2：
x0
m2 2 + c21 x1 + c22 x2 + k 21 x1 + k 22 x2 = m2 0 x x
矩阵形式： 矩阵形式：
体系按K振型振动时引起的弹性恢复力在振J型位移上所作的功之和等于 也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。 零，也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。
由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，运用振型 由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合， 关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理， 关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理，振型关于阻尼矩阵也是正 交。
[m]{} + [c]{x} + [k ]{x} = [m]{1}0 x x
刚度的意义
2
K2
k21
K2
2
k22
1
1
K1
k11
1
K1
1
k12
k11 = k1 + k2 = 2k k12 = k21 = k k22 = k
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析
第一振型
第二振型
第 j 振型
第 n 振型
图1
3.3.2 地震作用下多自由度弹性体系的运动方程 多自由度弹性体系的运动方程
1.用直接平衡法刚度法)建立运动方程
m2 m1
m2 m1
x2 (t )
双自由度体系
质点1 质点1： 惯性力 弹性恢复力 阻尼力
I1 = m1 ( 1 + 0 ) x x
S1 = (k11 x1 + k12 x2 )
α
η2αmax
0.45 max α
α = ( g )γ η2αmax
T
T
α = [η2 0.2γ η1(T 5Tg )]αmax
T(s)
0 0.1
Tg
5Tg
6.0
α ---地震影响系数； ---地震影响系数 地震影响系数；
αmax 地震影响系数最 ---地震影响系数最 --大值； 大值； ---结构周期； 结构周期 T ---结构周期；
m1 [ m] = 0
m2
0 ... mn
c11 c12 c 21 c22 [c ] = ... ... cn1 cn 2
k12 k 22 ... kn 2
... k1n ... k 2 n ... ... ... k nn
多自由度结构振型
xn1 xn 2
xnj x jj
EI1 = ∞
k11 mω2 1 k21
=0
k11 = k1 + k2 = 2k k12 = k21 = k k22 = k k 2k mω2 =0 2 k mω k
1 {X}1 = 1.618
1 {X}2 = 0.618
1.618 1 0.618
(2k ω2m)(k ω2m) k 2 = 0
第一主振型 （基本主振型）
将ω1代入上式，得出 X 21 m1ω12 k11 = 第一振型下的两质点幅值 X 11 k12 之比 X21/X11 将ω2代入上式，得 出第二振型下的两质点 幅值之比 X22/X12
2 X 22 m1ω 2 k11 = X 12 k12
第二主振型
这说明体系在振动过程中，两质点的位移比值始终保持 不变，这种振动形式称为主振型或振型。第一振型称为基本 振型，其他各振型统称为高振型。
i+1
mi
i
m2
m1
3.3 多自由度弹性体系的地震反应分析
3.3.1集中多自由度弹性 集中多自由度弹性 体系的分析模型
m2 m1
多跨不等高厂房 m4
m3
m2 m1
多层建筑
3.3.2 地震作用下多自由度弹性体系的运动方程 多自由度弹性体系的运动方程
按平面结算时， 按平面结算时，X,Y两个水平方向分布 两个水平方向分布 计算， 计算，一个水平方向每个楼层有一个平 移自由度， 个楼层有 个自由度、 个 个楼层有n个自由度 移自由度，n个楼层有 个自由度、n个 频率和n个振型 个振型。 频率和 个振型。平面结构的振型如下 图所示。（三各方向共3n个振型 。（三各方向共 个振型） 图所示。（三各方向共 个振型）
例.求图示体系的频率、振型. 求图示体系的频率、振型. 已知: 已知: k1 = k2 = k; m = m 1 2 解:
m2
EI1 = ∞
= m. k11X1 + k12 X2 m1ω2 X1 = 0 k21X1 + k22 X2 m2ω2 X2 = 0
k12 k22 m2ω
2
k2 k1
m1
带入运动方程 化简后得 因位移不能为零
(k11 m1ω2 ) X1 + k12 X2 = 0 k21X1 + (k22 m2ω2 ) X2 = 0
k11 k12 m1 0 2 X1 0 ( 0 m ω )X = 0 2 k21 k22 2
---振型方程 ---振型方程
多自由度体系结构的振动方程 [m]{} + [c]{x} + [k ]{x} = [m]{1}0 x x
( [k] ω2 [m] ){X} = {0}
[k] ω [m]
2
=0
... c1n k11 k ... c2 n [k ] = 21 ... ... ... ... cnn k n1
{ ( [k] ω2 [m] ) X} = {0}
[k] ω [m]
2
=0
---频率方程 ---频率方程
k11 m1ω 2 k 21
2
k12 =0 2 k 22 m2ω
2
1 k11 k 22 k11k 22 k12 k 21 1 k11 k 22 ω = ( + ) ± ( + ) 2 m1 m2 m1m2 2 m1 m2
(
2 ωk
)= 0
{X }T [M ]{X } j k
= 0 ω j ≠ ωk
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析 当j=k振型关于质量、刚度和Rayleigh阻尼矩阵是不正交的。将
{ X } j = [ x1 j
M
j
x2 j
x3 j
x jj
xnj ]T
mN mi m2 m1 xg(t) xi
3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析与抗震设计反应谱
已知结构最大速度Sa
地震作用 FEK=-mSa
m + cx + kx = mg x x
kx = mg + m = msa x x
如何确定结构最大速度Sa
求内力(弯矩和剪力)
设计反应谱
2
3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析与抗震设计反应谱
ω1 ω2
值较小，第一自振圆频率或基本自振频率 第二自振圆频率
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析 2、振动的正交性与振型质量 振型刚度及振型阻尼主振型
双自由度
(k11 m1ω2 ) X1 + k12 X2 = 0 k21X1 + (k22 m2ω2 ) X2 = 0
{X }T 质量
K j = {X }T [K ]{X } j 称为第j振型的广义刚度或振型刚度 j
x32 x22 x12
xnn
x j1
x31 x21 x11
x j2
x jn
x3n
x3 j x2 j x1 j
x2n x1n
第一振型
第二振型
第 j 振型
第 n 振型
{ X }1 = [ x11 { X }2 = [ x12 { X } j = [ x1 j { X }n = [ x1n
x21 x22 x2 j x2 n
地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） 0.05
地震影响 多遇地震 罕遇地震 烈度 6 0.04 ----7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40
括号数字分别对应于设计基本加速度 0.15g和0.30g地区的地震影响系数 0.15g和0.30g地区的地震影响系数
式分别左乘
{X }T k
{X }T j
[K]{X}k = ωk2 [M]{X}k
式分别左乘
{X }T [K ]{X }k = ω k2 {X }T [M ]{X }k j j
{X }T [K ]{X } j = ω 2 {X }T [M ]{X } j j k k
{X } [M ]{X }
T k
ω2 j j
3.3.1集中多自由度弹性体系的分析模型 集中多自由度弹性体系的分析模型
mn
实际工程中， 实际工程中，只有少数 结构可以简化为单质点体系， 结构可以简化为单质点体系， 大量的结构(多层建筑、 大量的结构(多层建筑、多跨 不等高单层工业厂房) 不等高单层工业厂房)都应简 化为多质点体系来分析。 化为多质点体系来分析。
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析
1.多自由度弹性体系的无阻尼自振特性-自振周期和振型 （1）振型关于质量矩阵的正交性
{X}k {X}j
( [k] ω2 [m] ){X} = {0}
分别为k、j振型的相对位移幅值向量
[K]{X} j =ω2[M]{X} j j
m2 m2
x2 (t)
m1 m1 x (t) 1 (t
m1 1 + k11 x1 + k12 x2 = 0 x
m2 2 + k 21 x1 + k 22 x2 = 0 x
假设微分方程解为：
x0
x1 = X1 sin( ωt +) x2 = X2 sin( ωt +)
3.3.2 地震作用下多自由度弹性体系的运动方程 多自由度弹性体系的运动方程
{X}T [k]{X}i = 0 j {X} [c]{X}i = 0
T j
第一振型
第二振型
第 j 振型
第 n 振型
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析
振型正交性
第一振型
第二振型
第 j 振型
第 n 振型
振型关于质量矩阵正交性的物理意义： 振型关于质量矩阵正交性的物理意义： 某一振型在振动过程中所产生的惯性力不在其他振型 某一振型在振动过程中所产生的惯性力不在其他振型 上作功， 上作功，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该 体系其他振型的振动。 体系其他振型的振动。 振型关于刚度矩阵正交性的物理意义： 振型关于刚度矩阵正交性的物理意义：
3.3 多自由度弹性体系的地震反应分析
3.3.1集中多自由度弹性体系的分析模型 3.3.1集中多自由度弹性体系的分析模型 地震作用下多自由度弹性体系的运 3.3.2 地震作用下多自由度弹性体系的运 动方程 3.3.3地震反应 地震反应计算的振型分解法及理论分 3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分 析 3.3.4振型有效质量 3.3.4振型有效质量 3.3.5多自由度弹性体系地震反应的是程分 3.3.5多自由度弹性体系地震反应的是程分 析法
3.3 多自由度弹性体系的地震反应分析
图7.2－4水平地震作用沿高度分布 （a） 筒体 （b）多层框架结构
4
3.3 多自由度弹性体系的地震反应分析
5
在自身平面内的刚度很大
平面外刚度很 小，可以忽略
平面外的刚 度很小， 度很小，可 忽略， 忽略，
可以抵抗在本身 平面内的侧向力
3.3 多自由度弹性体系的地震反应分析
ω1 = 0.618 k / m ω2 =1.618 k / m
X11 1 X12 1 = ; = X21 1.618 X22 0.618
1
{X}1
{X}2
3.3.2 地震作用下多自由度弹性体系的运动方程 多自由度弹性体系的运动方程
1.用直接平衡法刚度法)建立运动方程
mN mi m2 m1 xg(t) xi
1.多自由度弹性体系的无阻尼自振特性-自振周期和振型
两个自由度结构的振动方程
m1 1 + c11 x1 + c12 x2 + k11 x1 + k12 x2 = m10 x x m2 2 + c21 x1 + c22 x2 + k 21 x1 + k 22 x2 = m2 0 x x
忽略阻力