第二章静电场(二)
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r ln 0 E0 h 0 20 2h E0 h 解得： 2 0 ln r0 2h
1 2
在大气电场中导线的电位：
A E0l hl ln E0l 2 0 h l
E0 h ln
hl hl r ln 0 2h
A处电位的变化率：
2.3无限大导电平面的镜象法
镜像法的理论基础——唯一性定理。在静电场 中，满足给定边界条件(即前述三类边界条件) 的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
镜像法的特点——以场域外虚拟的集中电荷代 替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条 件保持不变，从而保持被研究的场不变。
1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场
(2-6)
图2-10 两平行同半径圆柱的等效电 轴位置
D R0 x0 2
2
2
(2-7)
可知： 1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作 出以x0为圆心R0为半径的等位圆。 2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
图2-12 两不同半径的平行 圆柱体的等效电轴的位置
对于两偏心圆柱套筒的电场，在已知两圆柱套筒半 径R0′、R0″以及圆柱轴心间距离d的情况下，可得
R R d2 0 0 x0 2d
2 2
(2-13)
R R d2 0 0 (2-14) x0 2d 从而可求两电轴的距离D。
图2-8 两电轴外任意一点P的电场
D dR P E ln ln R1 R1 2 0 2 D / 2 D P E dR ln ln R2 R2 20 2
2 镜象法
无限大导电平面镜象 球形导体面镜象
无限大介质交界面的镜象
二、静电场的应用 计算电容 计算电场力 理论依据： 静电场的唯一性定理
2.1静电场的唯一性定理及其应用
1 唯一性定理
在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程 (泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为 静电场的唯一性定理。(Uniqueness Theorem)
r
0
导球面 0
D
C
点电荷对接地导体球面的镜像
分析： 按镜象法原理将导体球撤去，使整个 空间充以电容率为ε0的同一媒质，并 在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电 荷-q′，来代替球面分布电荷的作用。 若此时仍能保持球面的电位为零，则 球面以外的电场，可视为点电荷q及q′共同产生的电场，运用点电荷场强 公式及叠加原理，即可求解。
平行双电轴法 具有相同半径R0的平行双输 电线。设每根导线单位长度上 所带的电荷量分别为+τ及-τ， 求电场分布。可认为导线的圆 截面是沿某待求的双电轴所形 成的等位圆填充导电媒质所得， 根据等位面法，此问题转化为 求解双电轴的电场，而由式(27)，可以容易地求得双电轴的 位置。
D x0 R0 2
平行双电轴电场
设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴， , 两电轴所带有的电荷线密度分别为 由高斯定理可得两电轴 分别产生的电场强度为： 0 E R (2-1) 2 0 R1 0 E R (2-2) 2 0 R2 选取坐标轴的原点o为零电 位点 ，点P电位为：
由式(2-9)及式(2-10)可求得
d 2 R0 R0 (2-11) x0 2d
2 2
2
(2-9)
2 R d R0 0 d x (2-12) x0 0 2d 解得x0′及x0″可求两电轴的距离 2 2
2) 夹角为 的两相联导电平面
/3
夹角必须满足：
2 /
镜像电荷的个数为：
偶数
2 / 1
/6
2. 无限大导电平面镜像法的应用
3) 长直圆柱导体对导电平面的镜像
圆柱导体的半径： R0
h
3. 工程计算例题
例2-3. 工程计算例题
带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，由于大气电 场的影响将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的 上方架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在 架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应 电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。试求由于 架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。 在大气电场中架空地线的电位为：
边值问题：
2 0
（除 q 所在点外的区域）
s
q 4 0 r
r
0 （大地及无穷远处）
（S 为包围 q 的闭合面）
D dS q
1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场
上半场域边值问题：
2 0 （除 q 所在点外的区域） q q 0 （场边界） 4 0 r 4 0 r
2 唯一性定理的重要意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法 (试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理 论根据。
2.1静电场的唯一性定理及其应用
3 边界为导体时，边界条件分类
(a) 给定各导体表面的电位值。 (b) 导体表面为等位面，给定各导 体表面的电荷量。 (c) 给定某些导体表面的电位值及其它 每一导体表面的电荷量。
2 x h
2
2 3/ 2
整个地面上感应电荷的总量为：
地面上感应电荷密度的分布曲线
qh 2 x dx dS 3 q 2 2 2 2 0 x h S
2. 无限大导电平面镜像法的应用
1) 夹角为直角的两相联导电平面
2. 无限大导电平面镜像法的应用
例2-2 解
空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单 位长度的电量τ=10-8C/m，圆柱的半径各为R0′=15cm,R0″=20cm，两圆柱的几 何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。 对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为 R0′的圆柱面的几何中心的距离为
为什么条件 (a),或(c)可唯一确定电 位函数，而条件(b)确定 的电位函数相差任一常 数？
唯一性定理的应用：等位面法
静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另一 侧的电场保持不变。
k
等位面内填充导电媒质后， 边界条件不发生变化： (1) 边界k的等位性不变； (2) 边界k内的总电荷量不变。
A A0
若h=11m，l=10m，r0=0.004m，则：
hl ln h hl 1 l ln r0 2h
A 61.1% A0
架空地线的作用： 保护高压输电线免受直接的雷击。
4. 总结：镜像法的要点
课后作业：P72： 2-17 2-18
镜像电荷只能放在待求场域边界以外的区域，其
第一章内容回顾
一个基本定律：
库仑定律： 两个基本定理： 高斯定理： 环路定理： 两个方程： 泊松方程： 三个物理量： 介质分界面衔接条件：
F21 q1q2 e12 4 0 R 2
D ds q S l E dl 0
2
E
D E 0
2 2
电轴法在求解双输电线电 容及偏心圆柱套筒等的电容 问题中被广泛运用。
图2-13 两不同半径的偏心圆的等 效电轴的位置
电轴法的基本思路
1、若在任一等位面上 放一无厚度的金属圆柱壳，是否 会影响电场分布？ 2、感应电荷是否均匀分布？ 3、若在金属圆柱管内填充金属，
重答上问。
电轴法：用置于电轴上的等效线 电荷，来代替圆柱导体面上分布 电荷,从而求得电场的方法，称 为电轴法。
拉普拉斯方程：
2 0
D φ
1 2 1 2 1 2 n n
D2 n D1n E2t E1t
或 n D2 D1 σ
或 n E2 E1 0
本章主要内容
一、静电场的求解方法： 1 双电轴法
D dS q
s
（S 为包围 q 的闭合面）
1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场
P 点的电位：
q 4 0 1 1 ) r r2 1
p
(
P 点的电场强度：
EP
q q er1 e 2 2 r2 4 0 r1 4 0 r2
qh
大地上感应电荷面密度：
Dn
用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象
现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响 壳外的电场。
0
S1
用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象
现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电 场不受壳外电场的影向。
1 边界S2为等位面； 2 边界S2上的总电荷量不变。
导体壳不接地
情况下，壳外电场是否
受壳内电荷的影响？
2d 502 152 202 23.25cm 2 50
x
0
d百度文库 R0 R0
2 2
2
x0 d x0 26.75cm
电轴到中性面的距离为
2 2 D x0 R0 23.252 152 17.76cm 2
所处的位置与场源电荷以边界平面相对称；
镜像电荷所带电量与边界面原来所具有的总电荷 量大小相等；与场源电荷量大小相等，符号相反； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位 置；
求解时，要注意场的适用区域。
2-4 球形导体面的镜象
接地导体球对点电荷的镜象 边值问题：（除q点外的导体球外空间)
2 0
例
试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场 及电位分布。
解：
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a 2
圆柱导线间电场和电位 1 1 E P 2π ( e 1 e 2 ) 0 1 2 ln 2 p 2π 0 1 （以y轴为电位为参考点）
2.2平行双电轴法
1.问题提出 边值问题：
2 0
（导线以外的空间）
导体A 常数
S D dS ,
电荷分布不均匀
导体B 常数
S D dS ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？
根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。
图2-9 平行双电轴电场
设某个等位圆之半径为R0，等位圆圆心至中性面 距离为x0，以及电轴至中性面的距离为 D/2，则R0、x0 与D三者间的关系，可通过简单几何关系求得。在等 位圆上选择特殊点A及B，令R2/R1=R2′/R1′=K(常数)， 则有 D
R0 x0 2 k D x0 R0 2 D R0 x0 2 D D x0 R0 2
D/2
(2-3) (2-4)
由叠加原理，点P的电位为 p p p
D D ln ln R1 ln ln R2 2 0 2 2 ln( R2 / R1 ) 2 0
（2-5）
等位线的分布规律 在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族 面。通常称零等位线的那个等位面为零电位面或中性 面。
2 2
图2-11 两平行同半径圆柱体的 几何中心轴与等效电轴的位置
(2-8)
对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体，半径R0′ 与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得
D 2 2 2 2 x0 R0 x0 R0 2 x0 x0 d (2-10)
1 2
在大气电场中导线的电位：
A E0l hl ln E0l 2 0 h l
E0 h ln
hl hl r ln 0 2h
A处电位的变化率：
2.3无限大导电平面的镜象法
镜像法的理论基础——唯一性定理。在静电场 中，满足给定边界条件(即前述三类边界条件) 的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
镜像法的特点——以场域外虚拟的集中电荷代 替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条 件保持不变，从而保持被研究的场不变。
1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场
(2-6)
图2-10 两平行同半径圆柱的等效电 轴位置
D R0 x0 2
2
2
(2-7)
可知： 1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作 出以x0为圆心R0为半径的等位圆。 2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
图2-12 两不同半径的平行 圆柱体的等效电轴的位置
对于两偏心圆柱套筒的电场，在已知两圆柱套筒半 径R0′、R0″以及圆柱轴心间距离d的情况下，可得
R R d2 0 0 x0 2d
2 2
(2-13)
R R d2 0 0 (2-14) x0 2d 从而可求两电轴的距离D。
图2-8 两电轴外任意一点P的电场
D dR P E ln ln R1 R1 2 0 2 D / 2 D P E dR ln ln R2 R2 20 2
2 镜象法
无限大导电平面镜象 球形导体面镜象
无限大介质交界面的镜象
二、静电场的应用 计算电容 计算电场力 理论依据： 静电场的唯一性定理
2.1静电场的唯一性定理及其应用
1 唯一性定理
在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程 (泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为 静电场的唯一性定理。(Uniqueness Theorem)
r
0
导球面 0
D
C
点电荷对接地导体球面的镜像
分析： 按镜象法原理将导体球撤去，使整个 空间充以电容率为ε0的同一媒质，并 在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电 荷-q′，来代替球面分布电荷的作用。 若此时仍能保持球面的电位为零，则 球面以外的电场，可视为点电荷q及q′共同产生的电场，运用点电荷场强 公式及叠加原理，即可求解。
平行双电轴法 具有相同半径R0的平行双输 电线。设每根导线单位长度上 所带的电荷量分别为+τ及-τ， 求电场分布。可认为导线的圆 截面是沿某待求的双电轴所形 成的等位圆填充导电媒质所得， 根据等位面法，此问题转化为 求解双电轴的电场，而由式(27)，可以容易地求得双电轴的 位置。
D x0 R0 2
平行双电轴电场
设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴， , 两电轴所带有的电荷线密度分别为 由高斯定理可得两电轴 分别产生的电场强度为： 0 E R (2-1) 2 0 R1 0 E R (2-2) 2 0 R2 选取坐标轴的原点o为零电 位点 ，点P电位为：
由式(2-9)及式(2-10)可求得
d 2 R0 R0 (2-11) x0 2d
2 2
2
(2-9)
2 R d R0 0 d x (2-12) x0 0 2d 解得x0′及x0″可求两电轴的距离 2 2
2) 夹角为 的两相联导电平面
/3
夹角必须满足：
2 /
镜像电荷的个数为：
偶数
2 / 1
/6
2. 无限大导电平面镜像法的应用
3) 长直圆柱导体对导电平面的镜像
圆柱导体的半径： R0
h
3. 工程计算例题
例2-3. 工程计算例题
带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，由于大气电 场的影响将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的 上方架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在 架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应 电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。试求由于 架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。 在大气电场中架空地线的电位为：
边值问题：
2 0
（除 q 所在点外的区域）
s
q 4 0 r
r
0 （大地及无穷远处）
（S 为包围 q 的闭合面）
D dS q
1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场
上半场域边值问题：
2 0 （除 q 所在点外的区域） q q 0 （场边界） 4 0 r 4 0 r
2 唯一性定理的重要意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法 (试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理 论根据。
2.1静电场的唯一性定理及其应用
3 边界为导体时，边界条件分类
(a) 给定各导体表面的电位值。 (b) 导体表面为等位面，给定各导 体表面的电荷量。 (c) 给定某些导体表面的电位值及其它 每一导体表面的电荷量。
2 x h
2
2 3/ 2
整个地面上感应电荷的总量为：
地面上感应电荷密度的分布曲线
qh 2 x dx dS 3 q 2 2 2 2 0 x h S
2. 无限大导电平面镜像法的应用
1) 夹角为直角的两相联导电平面
2. 无限大导电平面镜像法的应用
例2-2 解
空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单 位长度的电量τ=10-8C/m，圆柱的半径各为R0′=15cm,R0″=20cm，两圆柱的几 何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。 对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为 R0′的圆柱面的几何中心的距离为
为什么条件 (a),或(c)可唯一确定电 位函数，而条件(b)确定 的电位函数相差任一常 数？
唯一性定理的应用：等位面法
静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另一 侧的电场保持不变。
k
等位面内填充导电媒质后， 边界条件不发生变化： (1) 边界k的等位性不变； (2) 边界k内的总电荷量不变。
A A0
若h=11m，l=10m，r0=0.004m，则：
hl ln h hl 1 l ln r0 2h
A 61.1% A0
架空地线的作用： 保护高压输电线免受直接的雷击。
4. 总结：镜像法的要点
课后作业：P72： 2-17 2-18
镜像电荷只能放在待求场域边界以外的区域，其
第一章内容回顾
一个基本定律：
库仑定律： 两个基本定理： 高斯定理： 环路定理： 两个方程： 泊松方程： 三个物理量： 介质分界面衔接条件：
F21 q1q2 e12 4 0 R 2
D ds q S l E dl 0
2
E
D E 0
2 2
电轴法在求解双输电线电 容及偏心圆柱套筒等的电容 问题中被广泛运用。
图2-13 两不同半径的偏心圆的等 效电轴的位置
电轴法的基本思路
1、若在任一等位面上 放一无厚度的金属圆柱壳，是否 会影响电场分布？ 2、感应电荷是否均匀分布？ 3、若在金属圆柱管内填充金属，
重答上问。
电轴法：用置于电轴上的等效线 电荷，来代替圆柱导体面上分布 电荷,从而求得电场的方法，称 为电轴法。
拉普拉斯方程：
2 0
D φ
1 2 1 2 1 2 n n
D2 n D1n E2t E1t
或 n D2 D1 σ
或 n E2 E1 0
本章主要内容
一、静电场的求解方法： 1 双电轴法
D dS q
s
（S 为包围 q 的闭合面）
1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场
P 点的电位：
q 4 0 1 1 ) r r2 1
p
(
P 点的电场强度：
EP
q q er1 e 2 2 r2 4 0 r1 4 0 r2
qh
大地上感应电荷面密度：
Dn
用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象
现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响 壳外的电场。
0
S1
用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象
现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电 场不受壳外电场的影向。
1 边界S2为等位面； 2 边界S2上的总电荷量不变。
导体壳不接地
情况下，壳外电场是否
受壳内电荷的影响？
2d 502 152 202 23.25cm 2 50
x
0
d百度文库 R0 R0
2 2
2
x0 d x0 26.75cm
电轴到中性面的距离为
2 2 D x0 R0 23.252 152 17.76cm 2
所处的位置与场源电荷以边界平面相对称；
镜像电荷所带电量与边界面原来所具有的总电荷 量大小相等；与场源电荷量大小相等，符号相反； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位 置；
求解时，要注意场的适用区域。
2-4 球形导体面的镜象
接地导体球对点电荷的镜象 边值问题：（除q点外的导体球外空间)
2 0
例
试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场 及电位分布。
解：
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a 2
圆柱导线间电场和电位 1 1 E P 2π ( e 1 e 2 ) 0 1 2 ln 2 p 2π 0 1 （以y轴为电位为参考点）
2.2平行双电轴法
1.问题提出 边值问题：
2 0
（导线以外的空间）
导体A 常数
S D dS ,
电荷分布不均匀
导体B 常数
S D dS ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？
根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。
图2-9 平行双电轴电场
设某个等位圆之半径为R0，等位圆圆心至中性面 距离为x0，以及电轴至中性面的距离为 D/2，则R0、x0 与D三者间的关系，可通过简单几何关系求得。在等 位圆上选择特殊点A及B，令R2/R1=R2′/R1′=K(常数)， 则有 D
R0 x0 2 k D x0 R0 2 D R0 x0 2 D D x0 R0 2
D/2
(2-3) (2-4)
由叠加原理，点P的电位为 p p p
D D ln ln R1 ln ln R2 2 0 2 2 ln( R2 / R1 ) 2 0
（2-5）
等位线的分布规律 在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族 面。通常称零等位线的那个等位面为零电位面或中性 面。
2 2
图2-11 两平行同半径圆柱体的 几何中心轴与等效电轴的位置
(2-8)
对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体，半径R0′ 与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得
D 2 2 2 2 x0 R0 x0 R0 2 x0 x0 d (2-10)