2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第六章 第1节

4.(2019·衡水中学摸底)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N+)，Sn 为其前 n
项和，则 S5 的值为( )
A.57
B.61
C.62
D.63
解析 由条件可得 a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，a5＝2a4＋1＝
31，所以 S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋7＋15＋31＝57.
不合题意. 2
(2)各项的分母分别为 21，22，23，24，…，易看出从第 2 项起，每一项的分子都
2－3 比分母少 3，且第 1 项可变为－ ，
2
21－3 22－3 23－3 24－3
故原数列可变为－ ， ，－ ， ，…，
21 22
23 24
2n－3 故其通项公式可以为 an＝(－1)n· 2n .
答案 A
5.(2019·安康月考)数列 0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式 an 等于( )
（－1）n＋1 A.
2 n＋1 C.cos π
2
nπ B.cos
2 n＋2 D.cos π
2
解析 令 n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得 D 正确.
答案 D
a1（4n－1） 6.(2019·郑州一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ 3 ，若 a4＝32，则 a1＝
________.
a1（4n－1） 解析 ∵Sn＝ 3 ，a4＝32，则 a4＝S4－S3＝32.
255a1 63a1
1
∴ 3 － 3 ＝32，∴a1＝2.
1 答案
2
考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例 1】 (1)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能
是( )
2n－3 答案 (1)C (2)an＝(－1)n· 2n
规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、
联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特
征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、
解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项
1 为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an＝(－1)n×n（n＋1），n∈N+.
[微点提醒]
{ ) 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝
S1，n＝1， Sn－Sn－1，n ≥
2.
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，
而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的
解析 a2＝1＋
a1
＝2，a3＝1＋
a2
＝， 2
（－1）4
（－1）5 2
a4＝1＋
a3
＝3，a5＝1＋
a4
＝. 3
答案 D
3.(必修 5P8A1 改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个
通项公式 an＝________.
解析 由 a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳 an＝5n－ 4. 答案 5n－4
分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可
用(－1)k 或(－1)k＋1，k∈N+处理.
【训练 1】 写出下列各数列的一个通项公式：
1
1
1
1
(1)－
， ，－
， ，…；
1×22×3 3×44×5
1 9 25 (2) ，2，，8， ，…；
22 2
(3)5，55，555，5 555，….
3.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个式子 an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始
的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫作这个数列的递推公式.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列 无穷数列
项数有限 项数无限
项与项间的 大小关系
递增数列 递减数列 常数列
摆动数列
an＋1＞an
an＋1＜an
其中 n∈N+
an＋1＝an
从第二项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
项对应的位置序号.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对任意 n∈N+，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) 解析 (1)数列：1，2，3 和数列：3，2，1 是不同的数列.
A.an＝(－1)n－1＋1
{ ) B.an＝
2，n为奇数， 0，n为偶数
nπ C.an＝2sin 2
D.an＝cos(n－1)π＋1
1 1 5 13 29 61
(2)已知
数列
{an}为2，4，－
，， 8 16
－
，， 32 64
…，则
数列
{an}的一
个通
项公
式
是
________.
nπ
解析 (1)对 n＝1，2，3，4 进行验证，an＝2sin
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
（－1）n 2.(必修 5P6 练习 1 改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ an－1 (n≥2)，则 a5等于( )
3
5
8
2
A.
B.
C.
D.
2
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3
5
3
（－1）2
（－1）3 1
第 1 节 数列的概念及简单表示法
最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识梳理
1.数列的概念
(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这
个数列的项.
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N+ (或它的有限 子集)为定义域的函数 an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应 的一列函数值.