组合数学答案
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2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：
()()
++++++=++++++=n
n n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3
3
2
3322102780
()0
464143213
13
=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a
左右同乘再连加：
464:
0464:0
464:
0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x
母函数：
2.2 已知序列()()3433{,,……()3
3,,n +……}，求母函数。 解：的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4，
∴母函数为：
2.3 已知母函数G （X ）= ,求序列{ n a }
解：G （X ）==
从而有： ⎩⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+47
78963B A B A B A G （X ）=
G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -
4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x x
n a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为
A B
G(x)17x 18x
A(18x)B(17x)39x
=
+
+--++=-令
解得：A=2 B=1
所以 i
i i 0i 0
21G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞
===
+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+
2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。证明：0321=+---n n n G G G ，
n =2，3，4…。求},,,{210 G G G 的母函数。 解：设 ++++=332210)(x G x G x G G x H ，则
44332210)(x G x G x G x G G x H ++++= ……① ++++=43322103333)(3x G x G x G x G x xH ……② +++=4231202)(x G x G x G x H x ……③ ①-②+③，得：
()x G x G G x H x x 01023)(31-+=+- 又已知 n n F G 2=，则 000==F G ，121==F G 所以，)
2
5
3)(253(31)(2x x x
x x x x H ---+=+-=
设x B x A x H --+
-+=2
5
32
53)(，则可列出方程组：
⎪
⎩⎪
⎨⎧=++-=+025
32531B A B A ，解得 那么，
i
i i i i
i i
i x x x x B
x A
x H ∑∑∑∞=∞
=∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+=++--
=+--+--+=
00
0)253()253(55)25
3(55)253(55)2
5
31)(253(
)2
5
31)(253(
)(
2. 6 求序列{1，0，2，0，3，4，0，……}
解：G(x)=1+0*x+2*2x +0*3x +3*4x +0*3x +0*5x +4*6x + …… =1+22x +34x +46x + ……
∴2x G(x)= 2x +24x +36x + …… ∴（1-2x ）*G （x ）=1+2x +4x +6x +……
∴（1-2x ）*G （x ）=(22)j j j j j j ij v v
s s
v v
v v s s
e a ππππ∈∈∈∈∈-=-∑∑∑∑∑
∴G （x ）=
2.7 设24621234....(1)....n G x x x n x =+++++++求222(1),(1)x G x G --。 题解：
24622
2
4
6
8
222
1234....(1)....(1)234....()(1). (2)
n n
n G x x x n x x G x x x x n x n x
+=+++++++=++++++++
（1）-（2）得：224621....()....n G x G x x x n x -=++++++
2.8 求下列序列的母函数： （1）1，0，1，0，1，0….. （2）0，-1，0，-1，0，-1……. （3）1，-1，1，-1，1，-1……
题解：（1）带入母函数公式得：22
4
6
22
1()1........1n
n
x G x x x x x x -=++++++=-
（2）带入母函数公式得：213521
2
(1)
()(........)1n n x x G x x x x x x +-=-+++++=-
（3）有（1）和（2）相加得到：
2. 9 设G=1+3x+62x +103x + ……+C （n+2，2）n x +……
证明：（1）（1-x ）G=1+2x+32x +43x + ……+（n+1）n x +……