组合数学答案

2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。

解：
()()
++++++=++++++=n
n n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3
3
2
3322102780
()0
464143213
13
=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a
左右同乘再连加：
464:
0464:0
464:
0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x
母函数：
2.2 已知序列()()3433{,,……()3
3,,n +……}，求母函数。

解：的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4，
∴母函数为：
2.3 已知母函数G （X ）= ,求序列{ n a }
解：G （X ）==
从而有： ⎩⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+47
78963B A B A B A G （X ）=
G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -
4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x x
n a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数，求对应的序列{}n a 。

解：母函数为
A B
G(x)17x 18x
A(18x)B(17x)39x
=
+
+--++=-令
解得：A=2 B=1
所以 i
i i 0i 0
21G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞
===
+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+
2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。

证明：0321=+---n n n G G G ，
n =2，3，4…。

求},,,{210 G G G 的母函数。

解：设 ++++=332210)(x G x G x G G x H ，则
44332210)(x G x G x G x G G x H ++++= ……① ++++=43322103333)(3x G x G x G x G x xH ……② +++=4231202)(x G x G x G x H x ……③ ①-②+③，得：
()x G x G G x H x x 01023)(31-+=+- 又已知 n n F G 2=，则 000==F G ，121==F G 所以，)
2
5
3)(253(31)(2x x x
x x x x H ---+=+-=
设x B x A x H --+
-+=2
5
32
53)(，则可列出方程组：
⎪
⎩⎪
⎨⎧=++-=+025
32531B A B A ，解得 那么，
i
i i i i
i i
i x x x x B
x A
x H ∑∑∑∞=∞
=∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+=++--
=+--+--+=
00
0)253()253(55)25
3(55)253(55)2
5
31)(253(
)2
5
31)(253(
)(
2. 6 求序列{1，0，2，0，3，4，0，……}
解：G(x)=1+0*x+2*2x +0*3x +3*4x +0*3x +0*5x +4*6x + …… =1+22x +34x +46x + ……
∴2x G(x)= 2x +24x +36x + …… ∴（1-2x ）*G （x ）=1+2x +4x +6x +……
∴（1-2x ）*G （x ）=(22)j j j j j j ij v v
s s
v v
v v s s
e a ππππ∈∈∈∈∈-=-∑∑∑∑∑
∴G （x ）=
2.7 设24621234....(1)....n G x x x n x =+++++++求222(1),(1)x G x G --。

题解：
24622
2
4
6
8
222
1234....(1)....(1)234....()(1). (2)
n n
n G x x x n x x G x x x x n x n x
+=+++++++=++++++++
（1）-（2）得：224621....()....n G x G x x x n x -=++++++
2.8 求下列序列的母函数： （1）1，0，1，0，1，0….. （2）0，-1，0，-1，0，-1……. （3）1，-1，1，-1，1，-1……
题解：（1）带入母函数公式得：22
4
6
22
1()1........1n
n
x G x x x x x x -=++++++=-
（2）带入母函数公式得：213521
2
(1)
()(........)1n n x x G x x x x x x +-=-+++++=-
（3）有（1）和（2）相加得到：
2. 9 设G=1+3x+62x +103x + ……+C （n+2，2）n x +……
证明：（1）（1-x ）G=1+2x+32x +43x + ……+（n+1）n x +……
（2）（1-2x ）G=1+x+2x +3x + ……+n x +…… （3）3(1)x -G=1
证：G=1+3x+62x +103x + ……+C （n+2，2）n x +…… ∴ xG= x+32x + 63x +……
∴ 2x G= 2x + 33x +……
∴（1-x ）G=1+2x+32x +43x + ……+（n+1）n x +…… ∴（1-2x ）G=1+x+2x +3x + ……+n x +……
3(1)x -G=(1-x)(1-x)(1-x)G 逐步相乘，根据以上两式可得 3(1)x -G=1
2.10
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++=n
x n x x x H 332010413
2
证明：（a ）∑∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==-022)1(n n x n G H x (b)求H 的表达式。

证明：（a ） +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++=n
x n x x x H 332010413
2
……①
+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n x n x x x xH 321043
2 ……② ①-②，得
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++++=-n
x n n x x x H x 323310631)1(3
2
由组合的性质 ，所以⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+223233n n n
那么，∑∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==-022)1(n n
x n G H x ，得证。

（b ）设 +++++++=-=
n x n x x x x x B )1(4321)
1(1
)(322
，B 对应的
序列为},,,,{210 n b b b b 。

根据（a ），得 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=n
x n n x x x G 3233106313
2，
设G 对应的序列为},,,,{210 n g g g g ，则，根据母函数性质有，
3
)1(1
1)()(x x x B x G -=-=
，那么，根据（a ），。

2.11．2
2230
(1),14(1),(13x 3x x )G n n n n n a n G a x x n x ∞
==+==++
++-+-∑证明是
一个多项式，并求母函数G 。

解：由题知：22n n-1a a (n+1)n 2n 1-=-=+ (1) n-1n-2a a 2(n 1)1=2n 1-=-+- (2) (1)-(2)得： n n-1n 2a 2a a 2--+= (3) n-1n-2n 3a 2a a 2--+= (4) (3)-(4) n n-1n 2n 3a 3a 3a a 0---+-= (5) (5)式即为n a 的递推关系。

所以序列{n a }的特征多项式为： 32C(x)=x 3x 3x 1-+- 又母函数可表示为
{}3n P(x)1
G(x),R(x)=x C(),C(x)a R(x)x
=
其中为序列的特征多项式 3323321133
R(x)=x C x (1)13x 3x x x x x x
-+-=-+-()=
因此23(13x 3x x )G(x)P(x)-+-=，P(x)2是最高项次数不超过的多项式，即证。

323
3P(x)P(x)P(x)A B C
()1R(x)(1x)1x (1x)(1x)x C()x
G x =
===++---- 其中012a 1,a 4,a 9===
解方程组： 解得：A 0,B 1,C 2==-=
所以323
21x 1
G(x)(1x)(1x)(1x)
+=
-=---
2.12 已知的母函数。

求序列}{,)1()1(1,0
23
1
12
n n n
n k n a x n x x k a ∑∑∞
=+=+=-+= 解：
4
023
1
1
22
)1(1A(x))1()1(1B(x)x)-B(x)/(1 A(x) 3 )1(B(x) , )1(x x
x n x x
b a x n n b n n
k l l
k n n
n -+=
∴+=-+==∴=+=+=∑∑∑∞=+=∞
= 又得：由母函数的性质设：
2.13 已知2
1
3
34
10
14,(1),(1)n n n k n x x a k n x x +∞
==++==+-∑∑求序列{ n a }的母函数。

解：
…… ……
333:12(1)n n x a n =++
++
---------------------------------------------- G （x ）=
23232332(1)2(1)3(1)
1()(123)1x x x x x x x x x x x
+++++++
++++
=+++-
234
14(1),(1)n
n x x n x x ∞
=++=+-∑
2.14 已知{}n p 的母函数为， ()1求10,p p ：
解：
325
434
34
323
2322
525105252422221x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x ++--+--+----
1,010==∴p p 。

()2求序列{}n p 的递推关系。

解：()()()()()()()()()()()0
2:
2:02:02)(0
2)(2)21(2101223211212012222
=--=--=--=----=---=--=----=
------a a a x a a a x a a a x x G x x xG a x a x G x G x x xG x x G x
x G x x xG x G x
x G x x x x x x G n n n n n n n n
因而：递推关系为： 0221=----n n n a a a 2.15 已知{a n }的母函数为，求序列{a n }的递推关系，并求a 0,a 1. 解：
c 1= -1，c 2=1
则其特征多项式为：C （x ）=x 2-x+1 及其对应的递推关系为：a n -a n-1+a n-2=0
2
22222
011
1(1)(1)1
11221
(1)(1)
111
x x A x B x A B A x x B x x x x
a A B a A B αβααββαα=
+
-++=====
=+++++++-+=+==+=令，
2.16 用数学归纳法证明序列
12,,,...,,...m m m m n m m m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的母函数为 1(1)m x ---
解： 当m=1时，1231,,,...,,...1111n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的母函数就等于
222
1231()...,...
1111123...(1)...(1)n
n n G x x x x x x n x x -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=++++++=- 假设当m=k 时成立，即
21
12()...,...(1)n k k k k k k n G x x x x x k k k k --+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）
当m=k+1时
21
112()...,...(1)n k k k k k k n G x x x x x k k k k --++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 因为11...1r r n n r r r r ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以（2）里的，k b 为（2）
对应的序列，l a 为（1）对应的序列。

所以由性质3得
1()()/(1)k k G x G x x +=-
121()(1)/(1)(1)k k k G x x x x ----+=--=-
所以命题得证
2.17：已知G=1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +…… 证明(1) G 2 =（1-X ）-4= X n ，
(2) G 2=
X n ,其中a n =
，
(3) a n =C(n+3,3),n {0.1.2.3…….}
解：设T=x+x 2+x 3+x 4….. =x/(1-x)
T ’=1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +……=1/(1-X)2=G 所以G 2 =（1-X ）-4，
又因为G 2 =（1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +……）（1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +……）=G1×G2
所以在G 2 中x n 的系数由(n+1)部分组成：
如果G1中取的因子为x k 那么G2中只能去X n-k ,只有这样G1×G2后才能得出x n ，
所以K 从0取到n ，一共有(n+1)部分组成，当K 取0时G1因子的系数为
（K+1），G2因子的系数为(n-k+1)，乘后的系数为（K+1）×(n-k+1)。

所以
G 2 =
X n ，a n =
所以（2）得证。

现在证（3），用数学归纳法： 1）a 0 =
= C(0+3,3)=1
2）假设a n =C(n+3,3)成立，即a n == C(n+3,3)
3）证明a n+1=C(n+1+3,3)成立， a n+1=
=[1*(n+1+1-0)+2*(n+1+1-1)+ 3*(n+1+1-2)+ 4*(n+1+1-3)……(n+1+1)*(1)]
=[1*(n+2)+2*(n+1)+3*(n)……+(n+2)*1]
=[1*(n+1)+1+2*(n)+2+3*(n-1)+3……(n+1)(1)+(n+1)+ (n+2)*1] =[1*(n+1)+ 2*(n) +3*(n-1)…. (n+1)(1)]+[1+2+3+……(n+1)+(n+2)]
=+[1+2+3+……(n+1)+(n+2)]
=a n +
= C(n+3,3)+C(n+3,2)
= C(n+4,3)
所以（3）得证。

因为a n=C(n+3,3),n{0.1.2.3……}，又根据（2）。

所以（1）得证。

2.18 用母函数法求下列递推关系的一般解
①a
n -6a
1-
n
+8a
2
-
n
=0
②解:设G(x)=a
+a
1
x+a
2
x2+a
3
x3+…
③-6xG(x)= -6a
x-6a
1
x2-6a
2
x3-…
④8x2G(x)= 8a
x2+8a
1
x3+…
⑤
相加得
⑥G(x)=a
+(a
1
-6a
)x/1-6x+8x2
⑦设p(x)=a
+(a
1
-6a
)x,由于p(x)/r(x)是有理分式,多项式p(x)的次方低于r(x)的次方,则p(x)/r(x)可化为部分式来表示,且表示式是唯一的.
⑧
则G(x)=p(x)/1-6x+8x2=(A/1-2x) +(B/1-4x)
⑨
=A(1+2x+(2x)2+(2x)3+…)+B(1+4x+(4x)2+(4x)3+…)则一般通解为
a n =A*2
n
+B*4
n
②. a
n +14a
1-
n
+49a
2
-
n
=0
解:设G(x)=a
0+a
1
x+a
2
x2+a
3
x3+…
14xG(x)= 14a
0x+a
1
x2+a
2
x3+…
49x2G(x)= 49a
0x2+49a
2
x3+…
相加得(同上题) G(x)=p(x)/1+14x+49x2=(A/1-7x) +(B/(1-7x)2)
G(x)=A(1+7x+(7x)2+…)+B(1+2(7x)+3(7x)2+…)
则一般通解为: a
n
=A*7n+B*n*7n
③a
n -9a
2
-
n
=0
解: 设G(x)=a
0+a
1
x+a
2
x2+a
3
x3+…
-9x2G(x)= -9a
0x2-9a
1
x3-…
同上题,相加得: G(x)=(a
0+a
1
x)/(1-9x2)=p(x)/1-9x2=(A/1-3x)+(B/(1+3x))
G(x)=A(1+3x+(3x)2+(3x)3+…)+B(1+(-3x)+(-3x)2+…)
则一般通解为: a
n
=A*3n+B*(-3)n
④a
n -6a
1-
n
-7a
2
-
n
=0
解:设G(x)=a
0+a
1
x+a
2
x2+a
3
x3+…
-6xG(x)= -6a
0x-6a
1
x2-6a
2
x3+…
-7x2G(x)= -7a
0x2-7a
1
x3+…
同上题,相加得
G(x)=(a
0+a
1
x-6a
x)/(1-6x-7x2)=A/(1-7x)+B/(1+x)
=A(1+7x+(7x)2+…)+B(1+x+x2+…)
则一般通解为: a
n
=A*7n+B*1n
⑤a
n -12a
1-
n
+36a
2
-
n
=0
解:设G(x)=a
0+a
1
x+a
2
x2+a
3
x3+…
-12xG(x)=-12a 0x-12a 1x 2-12a 2x 3+… 36x 2G(x)= 36a 0x 2+36a 1x 3+…
同上题,相加得
G(x)=(a 0+a 1x-12a 0x)/(1-12x+36x 2)=A/(1-6x)+B/(1-6x)2 G(x)=A(1+6x+(6x)2+…)+B(1+2(6x)+3(6x)2+…) 则一般通解为: a n =A*6n +B*n*6n ⑥ a n -25a 2-n =0
解: 设G(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+… -25x 2G(x)=-25a 0x 2-25a 1x 3-… 同上题,相加得
G(x)=(a 0+a 1x)/(1-25x 2)=p(x)/1-25x 2=(A/1-5x)+(B/(1+5x)) G(x)=A(1+5x+(5x)2+(5x)3+…)+B(1+(-5x)+(-5x)2+…) 则一般通解为: a n =A*5n +B*(-5)n 2．20 已知1220n n n a a a ----=， （1）求一般解：
（2）求满足00a =，11a =的特解。

（3）求满足012a a ==的特解。

解：（1） 特征方程： 2
210x x --=，根22122
q ±±=
==±，则
通解：A （1+B （1）
（2）
4
A =
=
，4
B ==-
1+-= （3），
特解：(1(1+-=2.21 已知n n n d c a )4(5-⋅+⋅=，c 和d 为常数，n ∈N ，求2,510-==a a 时c 和d 及序列的递推关系。

答案：
将2,510-==a a 代入n a 中得
c+d=5和5c-4d=-2 ⇒c=2，d=3⇒n n n a )4(352-⋅+⋅=
111)4(352----⋅+⋅=n n n a
因为
15--n n a a =1)4(27--⋅-n ⇒ 215---n n a a =2)4(27--⋅-n
所以 15--n n a a +4(215---n n a a )=0
⇒ 020221=-----n n n a a a
2.22 已知a n =c ·3n +d ·(-1)n ,n ∈N,c,d 是常数,求{a n }满足的递推关系。

解: 等式为n 2n
1n Bx Ax a +=形式
∴3和-1为特征根
特征方程为 03x 2x 2=-- ∴0a 3a 2a 2n 1n n =----
2.23 n n n k k a )3)((21-+=，1k 和2k 是常数，N n ∈，求{}n a 满足的递推关系 2.24 设n a -21-n a +2-n a =5, 0a =1, 1a =2,求解这个递推关系。

解： 首先解得2a =8
n a -21-n a +2-n a =5 （1） 1-n a -22-n a +3-n a =5 （2）
（1）-（2）
n a -31-n a +32-n a -3-n a =0 建立特征方程为： 01-3x 3x -x 23=+
解这个方程得：=1x 1 =2x -1 =3x 1/3 设 n a =A(1)n +B(-1)n +C(1/3)n
0a =A+B+C
1a =A-B+(1/3)C 2a =A+B+(1/9)C
解得A= 2 B= 7 C= -9
n a =2(1)n +7(-1)n -9(1/3)n
2.25 设{a n }序列的母函数为：
(4-3x)/(1-x)(1+x-x 3), 但b 0=a 0,b 1=a 1-a 0 …….b n =a n -a n-1,求序列{b n }的母函数. 解：设{b n }的母函数为B(x),
所以B(x)= b 0 + b 1 x +……+ b n x n
又因为已知b 0=a 0,b 1=a 1-a 0 …….b n =a n -a n-1,，代入B(x)，可得： B(x)= a 0 + (a 1-a 0) x+…….. (a n -a n-1) x n
B(x)= a 0+ a 1 x+……a n x n -x(a 0+ a 1 x+……)
又因为{a n }序列的母函数为 (4-3x)/(1-x)(1+x-x 3),代入B(x)，得， B(x)=(4-3x)/(1+x-x 2) 2.26 设G=
...2
31210++++x a x a x a a 且
=a
1，
a a a a a a a n n n n ,012110....---+++=试证1+x G 2
=G
解：要证 1+x G 2
=G
即证G —1= x G 2
=a
1
∴ G —1=
...2
3121+++x a x a x
a
a a a a a
a a n n n n
,01211
....---+++=
:X
a a a 0
1=
:
2
X
a a a a a 0
1
1
2
+=
X
3
:
a a a a a a a 0
2
1
1
2
3
++=
.
. .
+___________________________________________ G —1=
a 0
x
G+x a 2
1G
+x a 3
2G ….
提出G 即得：G —1= x G 2
1+x G 2
=G
2.27 求下列递推关系的一般解： （1）a n - 4a n-1=5n 解：
a n - 4a n-1=5n ① a n-1- 4a n-2=5n-1 ② ①-②得 a n -9 a n-1+ 20a n-2=0 特征方程 q 2-9q+20=0 q 1=4 ,q 2=5 a n =A4n +B5n
（2）a n + 6a n-1=5·3n 解：
a n + 6a n-1=5·3n ①
a n-1 + 6a n-2=5·3n-1
3a n-1 +18a n-2=5·3n ② ①-②得 a n +3 a n-1-18a n-2=0 特征方程 q 2+3q-18=0 q 1=-6 ,q 2=3 a n =A(-6)n +B3n
（3）a n - 4a n-1=4n 解：
a n - 4a n-1=4n ①
a n-1 - 4a n-2=4n-1
4a n-1 - 16a n-2=4n ②
①-②得 a n -8 a n-1+16a n-2=0 特征方程 q 2-8q+16=0 q 1=q 2=4 a n =(A +Bn)4n
（4）a n + 6a n-1=4(-6)n 解：
a n + 6a n-1=4(-6)n ①
a n-1 + 6a n-2=4(-6)n-1
-6a n-1 -36a n-2=4(-6)n ②
①-②得a n+12a n-1+36a n-2=0
特征方程q2+12q+36=0
q1=q2=-6
a n =(A +Bn)(-6)n
（5）a n - 4a n-1=2·5n - 3·4n
解：
a n - 4a n-1=2·5n - 3·4n ①
a n-1 - 4a n-2=2·5n -1- 3·4n-1
5a n-1 -20a n-2=2·5n - 15·4n-1 ②
①-②得 a n-9a n-1+20a n-2=3·4n-1
a n-9a n-1+20a n-2=3·4n-1 ③
a n-1-9a n-2+20a n-3=3·4n--2
4a n-1-36n-2+80a n-3=3·4n—1 ④
③-④得 a n-13a n-1+56a n-2-80a n-3=0
特征方程q3-13q2+56q-80=0
q1=q2=4, q3=5
a n =(A +Bn)(4)n+C5n
（6）a n - 4a n-1=7·4n - 6·5n
解：
a n - 4a n-1=7·4n - 6·5n ①
a n-1 - 4a n-2=7·4n-1 - 6·5n-1
4a n-1 -16a n-2=7·4n - 24·5n-1 ②
①-②得 a n-8a n-1+16a n-2=-6·5n-1
a n-8a n-1+16a n-2=-6·5n-1 ③
a n-1-8a n-2+16a n-3=-6·5n-2
5a n-1-40a n-2+80a n-3=-6·5n-1 ④
③-④得 a n-13a n-1+56a n-2-80a n-3=0
特征方程q3-13q2+56q-80=0
q1=q2=4, q3=5
a n =(A +Bn)(4)n+C5n
（7）a n + 6a n-1=(-6) n (2n+3n2)
解：
对应齐次的特征方程为：
q+6=0
齐次通解为：a n=A(-6) n
通所求解为：a n= A(-6) n +(-6) n［k0+k1 n+k2 n2］（8）a n - 4a n-1=(n-n2)4n
解：
对应齐次的特征方程为：
q-4=0
齐次通解为：a n=A(4) n
通所求解为：a n= A(-6) n +(4) n［k0+k1 n+k2 n2］
（9）a n - a n-1=4n3-6n2+4n-1
解：
对应齐次的特征方程为：
q-1=0
齐次通解为：a n=A(1) n
通所求解为：a n=A(1) n +［k0+k1 n1+k2 n2+k3 n3］（10）a n - 7a n-1+ 12a n-2=5·2n - 4·3n
解：
a n - 7a n-1+ 12a n-2=5·2n - 4·3n ①
a n-1 - 7a n-2+ 12a n-3=5·2n-1 - 4·3n-1
2a n-1 -14a n-2+ 24a n-3=5·2n - 8·3n-1 ②
①-②得 a n-9a n-1+26a n-2-24a n-3= - 4·3n-1
a n-9a n-1+26a n-2-24a n-3= - 4·3n-1 ③
a n-1-9a n-2+26a n-3-24a n-4= - 4·3n-2
3a n-1-27a n-2+78a n-3-72a n-4= - 4·3n-1 ④
③-④得 a n-12a n-1+53a n-2-102a n-3+72a n-4=0
特征方程q4-12q3+53q2-102q+72=0
q1=q2=3, q3=4, q4=2
a n =(A +Bn)(3)n+C4n+D2 n
（11）a n + 2a n-1 - 8a n-2=3(- 4)n - 14·(3)n
解：
a n + 2a n-1 - 8a n-2=3(- 4)n - 14·(3)n ①
a n-1 + 2a n-2 - 8a n-3=3(- 4)n-1 - 14·(3)n-1
-4a n-1 -8a n-2 +32a n-3=3(- 4)n +56·(3)n-1 ②
①-②得 a n+6a n-1-32a n-3=- 98·3n-1
a n+6a n-1-32a n-3=- 98·3n-1 ③
a n-1+6a n-2-32a n-4=- 98·3n-2
3a n-1+18a n-2-96a n-4=- 98·3n-1 ④
③-④得 a n+3a n-1-18a n-2-32a n-3+96a n-4=0
特征方程q4+3q3-18q2-32q+96=0
q1=q2=-4, q3=3, q4=2
a n =(A +Bn)(-4)n+C3n+D2 n
（12）a n - 6a n-1+9 a n-2 =3n
解：
a n - 6a n-1+9 a n-2 =3n ①
a n-1 - 6a n-2+9 a n-23=3n-1
3a n-1 - 18a n-2+27 a n-3=3n ②
①-②得 a n -9a n-1-27a n-2-27 a n-3=0
特征方程 q 3-9q 2+27q-27=0
q 1=q 2=q 3=3 a n =(A +Bn+Cn 2) 3n
（13）a n - 7a n-1+ 16a n-2 - 12a n-3=2n +3n 解：
a n - 7a n-1+ 16a n-2 - 12a n-3=2n +3n
① a n-1- 7a n-2+ 16a n-3 - 12a n-4=2n-1+3n-1
2a n-1- 14a n-2+ 32a n-3 - 24a n-4=2n +2·3n-1 ② ①-②得 a n -9a n-1+30a n-2-44a n-3+24a n-4=3n-1
a n -9a n-1+30a n-2-44a n-3+24a n-4=3n-1
③ a n-1-9a n-2+30a n-3-44a n-4+24a n-5=3n-2
3a n-1-27a n-2+90a n-3-132a n-4+72a n-5=3n-1
④
③-④得 a n -12a n-1+57a n-2-134a n-3+156a n-4-72a n-5=0 特征方程 q 5-12q 4+57q 3-134q 2+156q-72=0 q 1=q 2=q 3=2, q 4= q 5=3 a n =(A +Bn+Cn 2)2n +(D+En)3 n
（14）a n - 2a n-1=2n +3n +4n 解：
a n - 2a n-1=2n +3n +4n
① a n-1 - 2a n-2=2n-1+3n-1+4n-1
2a n-1 - 4a n-2=2n +2·3n-1+2·4n-1 ② ①-②得 a n -4a n-1+4a n-2=3n-1+2·4n-1
a n -4a n-1+4a n-2=3n-1+2·4n-1 ③ a n-1-4a n-2+4a n-3=3n-2+2·4n-2
3a n-1-12a n-2+12a n-3=3n-1+6·4n-2 ④ ③-④得 a n -7a n-1+16a n-2-12a n-3=2·4n-2 a n -7a n-1+16a n-2-12a n-3=2·4n-2
⑤ a n-1-7a n-2+16a n-3-12a n-4=2·4n-3 4a n-1-28a n-2+64a n-3-48a n-4=2·4n-2 ⑥ ⑤-⑥得 a n -11a n-1+44a n-2-76a n-3+48a n-4=0 特征方程 q 4-11q 3+44q 2-76q+48=0 q 1=q 2= 2, q 3=3,q 4= 4 a n =(A +Bn+)2n +C3 n +D4 n 2.28 解：
12310122222
121*5*(2)22
,3log 10log ,,3100,3100,(5)(2)0,5,2,*5*(2),2
n n n n n n
n
a a a a n
n n n n n n a n
n
A B n a a a q q q q q q q q q A B a ------+-==+=-=--=-+===-=+-∴=2两边取对数，log 设log 上式等于－特征方程为q 通解的形式为：log 2.29 21--=n n n a a a ，求这个递推关系的解
解： 已知：21--=n n n a a a
所以有：2212log log ()n n n a a a --= 22122log log log n n n a a a --=+
设：2log n n y a =
即：12n n n y y y --=+ （１）
等式（１）的特征方程为：
210q q --= （２）
则：
则（１）的通解为：12n n Aq Bq + 若给定初始条件：),(,1010均为常数a a a a
则：
2021log log A B a A B a +=⎧
= 解得：
2021
(510
a a A B -+=
=
所以：
20212021(5(55)log 25log 1515()()
102102
n n
n a a a a y ++-+-
=
+
又因为： 2log n n y a = 所以：21--=n n n a a a 的解： 2021(55)log 25log 1515()()
2n n
n
a a y n a +-+-+==
2.30 3
221--=n n n a a a ，2,110==a a ， 解这个递推关系。

解：已知：2312n n n a a a --=
所以有：232212log log ()n n n a a a --=
232122log log n n a a --=+ 21222log 3log n n a a --=+
设：2log n n y a =
即：1223n n n y y y --=+ （１）
等式（１）的特征方程为：
2230q q --= （２）
则：13q = 21q =-
则（１）的通解为：12n n Aq Bq +
因为：2,110==a a 所以有： 010,1y y == 则： 解得： 所以：
又因为： 2log n n y a = 所以：21--=n n n a a a 的解： 13
3(1)44
22
n n n
y n a +-==
2.31 解：
21712127
1221222122122*3*41/,12log 7log ,,7120,7120,(3)(4)0,3,4,*3*4,
2
,1,21,2,n n n n n n n
a a a n n n n n n a n n n n a n n A B A B n a a a a a a q q q q q q q q q A B a a --------++==+==-+=-+=--====+∴====20即*两边取对数，log 设log 上式等于特征方程为q 通解的形式为：log 由已知a 有由有{
{
3401
34341
1
2 2.,,2
n n
A B A B A A B B n a ++==--++===∴=综合以上，有
解这个方程，
2.32 解下列递推关系： （a ）a n = na n-1, a 0 = 1,a n = ? 解： n ： a n = na n-1 n(n-1)： a n-1= (n-1)a n-2 n(n-1)(n-2)： a n-2= (n-2)a n-3
n(n-1)(n-2)(n-3)： a n-3= (n-3)a n-4 … … … … …
n(n-1)(n-2)(n-3) …3： a 2 = 2a 1 把等式左右两端相加化简得： a n = n(n-1)(n-2)(n-3) …3·2·a 1 a n = n!a 1 a n = n!
（b ）a n - a n-1 =n
21, a 0 = 7
解： a n - a n-1 =
n
21
①
a n-1-a n-2=(
2
1)n-1
2
1 a n-1 -
2
1a n-2=(
2
1)n ② ①-②得 a n -2
3 a n-1+
21 a n-2=0 特征方程 q 2-2
3 q+
2
1 =0
q 1=1,q 2=
2
1
a n =A +B(
2
1) n
a 0 =7,a 1= 2
15 7=A+B
A=8
215=A+2
B
B=-1
a n =8 - (
2
1
) n
（c ）a n - a n-1= n
31
解： a n - a n-1=
n
31
①
a n - a n-1=（
3
1）n-1
3
1a n-1 -
3
1a n-2=（
3
1）n ②
①-②得 a n -3
4 a n-1+31 a n-2=0
特征方程 q 2-3
4 q+31 =0
q 1=1,q 2=3
1
a n =A +B(3
1) n
2.33F F F 210是Fibonacci 序列，求解F
F a a n n n n 1
1
1
-+-=-
解：F F
F F F F F F N N N N N N N N 2
12
1
12)()(11-+-+-++=-+=
F F a a N N n n 2
2
11-=+--
F F a a N N n n 2
12
21
----=-
……….
……….
F F a a 202
201
-=-
+
F F a a N n
2
02
10-=+-
令1,100==F a
则F a N n 2
1+= 令 (2)
210)(X F X F F X G ++=
得)2
51(1
15
1
+++=
N N F
则)2
51(2
25
1
++=
N N a
2.34 a n = a n-1+C(n+2,3), a 0=0,求a n 。

解：由已知递推关系，可得： a n -a n-1= (n+23) （1） a n-1-a n-2= (n+13) （2） …………………… a 2- a 1= (43) (n-1) a 1-a 0= (33) (n) 将1，2，
3.。

n 以上n 个式子累加，可得：
a n -a 0= (n+23) + (n+13) + …….. + (43) + (33),
由于(n+23) + (n+13) + …….. + (43) + (33)= (n+2n-1) + (n+1n-2) + …….. + (41) + (30)=
(n+3n-1)
有因为a 0=0,代入可得， a n = (n+3n-1). 2.35 ，n
0a 0a ，求=
解：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=4 2n a a x 2-n 1-n 1-n ：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=4 1n a a x 3-n 2
-n 2
-n ：
有（1-x ）G(x)=x n
当G(x)乘4次（1-x ） 有 （1-x ）5G(x)= x n （1-x ）5G(x)=1/(1-x) G(x)=1/（1-x ）6 有六重根，因此设置形式为
)(a 54321n Fn En Dn Cn Bn A +++++= 带入即可解出a n 的表达式。

2.36 利用迭代法解： (1)
0,13301=-+=-a a a n n n
(2) 0
,4401==--a a a n n n
解：（1）
133*2313)133*23(3133133*2313)133(31331
330
30322022232
02
2
1
02
121010--+=-++-+=-+=+-+=-+-+=-+=-+==a a a a a a a a a a a
…
若133*231011--+=---n n n a a ，则
1331-+=-n n n a a 133*230--+=n n a
（2）n n n a a 441+=-
00=a
...
4*344)4*24(4444*244)44(4444
43
03
3
2
02
3
232022021201+=++=+=+=++=+=+=a a a a a a a a a a
若10114*)1(4----+=n n n n a a ，则
n n n n a a 4*40+=
2.37 利用置换2n n b a =,解：
a n =()
2
2n 1n a 3a 2--+ ，a 0=1,a 1= 4 解：把2n n b a =代入等式，即 (
)2
22
n 21
n 2
n
b
3b
2b --+=
2n 1n n b 3b 2b --+= → 0b 3b 2b 2n 1n n =---- 特征方程为: ()()1x 3x 3x 2x 2+-=-- 特征根为 3x 1= 1x 2-=
n 2n
1n Bx Ax b +=
带入初值：
得
2
n n 2
n
n )1(41343b a ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅==
2.38 理由置换n n b n a !=，解：!721n na a n n +=-，10=a 答案：
把n n b n a !=代入!721n na a n n +=-中得：721+=-n n b b ⇒7221+=--n n b b
得： 02321=+---n n n b b b 设n b =n q 代入02321=+---n n n b b b 得到特征多项式0232=+-x x
解方程的11=x ，22=x ⇒ n n n B A b 21⋅+⋅=
所以 )21(!n n n B A n a ⋅+⋅=
2．39利用置换n
n b a n =
，解：，05a = 解：利用置换n n b
a n =代入上式可得111111n n n
b b b n n n n n n n
---=+=+-，即
11n n b b -=+，即可得 11n n b b --=
121n n b b ---= 1220n n n b b b ---+= 特征方程：2
210q q -+= 解得，q=1 通解为：22n
n
A B n ⋅+⋅⋅
根据05a =，可得11a =，21a =，即11b =，，代入通解可得 221A B +=
由此可得，，，所以 ，即
2.41. 设a n 满足: a n +b 1a 1-n +b 2a 2-n =5r n 其中b 1,b 2和r 都是常数,
试证该序列可满足三阶齐次线性常系数递推关系,且有特征多项式 (x-r)(x 2+b 1x+b 2)
证明: a n +b 1a 1-n +b 2a 2-n =5r n ① a 1-n +b 1a 2-n +b 2a 3-n =5r 1-n ② ②两边乘以r 得
r a 1-n +rb 1a 2-n +rb 2a 3-n =5r n ③ ① ―③得
a n +(
b 1-r)a 1-n +(b 2-rb 1)a 2-n -rb 2a 3-n =0 ④ 由④可知.该序列可满足三阶齐次线性常系数递推关系.
它的特征多项式为 x 3+(b 1-r)x 2+(b 2-rb 1)x-rb 2因式分解为 (x-r)(x 2+b 1x+b 2) 证毕.
2.42：设{a n }满足a n -a n-1-a n-2=0, {bn}满b n -2b n-1-b n-2=0,c n =a n +b n , n=0.1.2.3。

证{c n }满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。

解：因为a n = a n-1+a n-2，b n =2b n-1+b n-2,
所以c n = a n-1+a n-2+2b n-1+b n-2
=2c n-1+c n-2-a n-1
所以a n-1=2c n-1+c n-2- c n ,
又因为a n-1=a n -a n-2=2c n +c n-1- c n+1 -(2c n-2+c n-3- c n-1) 所以c n = 2c n-1+c n-2-a n-1
c n = 2c n-1+c n-2- [2c n +c n-1- c n+1 -(2c n-2+c n-3- c n-1)]
所以3c n -3c n-2-c n-3- c n+1=0 ，满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。

2.43 习题2.42中，若n n n c a b =，试讨论之 解：{}n a 满足120n n n a a a ----=
{}n b 满足1220n n n b b b ----=
所以12n n n a a a --=+，122n n n b b b --=+
121211221221()(2)22n n n n n n n n n n n n n n n c a b a a b b a b a b a b a b ------------==++=+++ （1）
12122122n n n n n n n c c c a b a b ------=+++ 111122n n n n n n n c c c a b a b +---=+++
又因为 :
111211122()2(2)n n n n n n n n n n a b a b a a b a b b --------+=+++
1121111242n n n n n n n n a b a b a b a b --------=+++
1211252n n n n n c a b a b -----=++
所以 1112112252n n n n n n n n c c c c a b a b +------=++++
有 11221122833n n n n n n n n n c c c c c a b a b +------+=++++ （2） 那么11211112()(2)n n n n n n n n n n a b a b a a b a b b --------+=+++
211111122n n n n n n n n a b a b a b a b --------=+++
121123n n n n n c a b a b -----=++
得11211213n n n n n n n n n a b a b a b a b c -------+--=
又因为（2）知道1211112833n n n n n n n n n c c c c c a b a b +++---+=++++（3）
（3）—（2）=1121121122673()n n n n n n n n n n n n c c c c a b a b a b a b +--------+--++--
11212679n n n n n c c c c c +---=+--+
121()()n n n n c c c c ++++-+112262n n n n c c c c +--=++-
所以最后得到 21122720n n n n n c c c c c ++-----+=； 所以推出{n c }满足四阶线性常系数齐次递推关系。

2.44 设{a n }和{b n }均满足递推关系x n +d 1x n-1+d 2x n-2=0，试证
（1）{a n b n }满足一个三阶奇次线性常系数递推关系；
（2）a 0，a 2，a 4，…满足一个二阶线性常系数奇次递推关系。

解（1）
1122
1122
221112221212211122111112211112211212() = 2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n a d a d a b d b d b a b d a b d a b d d a b a b a b a b x a b a b d a d a b a d b d b d c d x x d ---------------------------=--=--=+++=+=+--+--=--+（1）令x （）（）111
n 22n 112212122n+1121122
2223n+1211221222c c c c c (3)(2)c ()c ()0
n n n n n n n n n n n n n x d c a b d d c d d x d d c d d x d d d d d d c d c --------=-=--=--=+⨯+-+--=根据（1）可得（）：
（2）（3）
所以{a n b n }满足一个三阶其次线性常系数递推关系。

2.45 设012
,,F F F 是
Fibonacci
序列,试找出常数
a,b,c,d ，使
3+1+2+1+23+23+43+4+5+b n n n n n n n n n n n n n F aF F F F F F cF F F dF F F +++=++
解：但n 分别为0,1,2,3时,有
0123234345
312323434545662343454565679345456567678
b +b +b +b F F F F cF F F dF F F F aF F F F F F cF F F dF F F F aF F F F F F cF F F dF F F F aF F F F F F cF F F dF F F =++=++=++=++
01234567890,1,2,3,5,8,13,21,34F F F F F F F F F F ==========代入上面四个
式子,得 a=17-,b=21,c=13,d=4-.
2.45 设 210,,F F F 是Fibonacci 序列，试找出常数d c b a ,,,，使： 543432321213++++++++++++++=n n n n n n n n n n n n n F F dF F F cF F F bF F F aF F 解：34,21,13,8,5,3,2,1,1987654321=========F F F F F F F F F 2853532321211=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯d c b a 因而有：2a+ 6b + 30c +120d=2 6a+30b+ 120c+520d=8 30a+120b+520c+2184d=34 120a+520b+2184c+9248d=144 解之得： ， ， ， 2.46 对所有的正整数a,b,c,恒有
）c b c b a c b c b a c b a F F F (F F )F F F (F F F 1111122+++=+++++++++
解：首先 若能证明 n m n m n m F F F F F 11-+++=（m,n 为任意的正整数）成立，则原式可证明成立。

所以用第二归纳原理证明得： n 固定，当m=1时：
立。

左边等于右边，等式成）为如下：原题目中等式右边可化所以命题是成立的。

则左边。

时命题成立，）右边时：时，命题成立，则当假设当成立。

3
12112211111211121
121-n 1111111
)1(1111010111F F F F F F F F F (F F )F F F (F F 1,()(1k m m ,01,
0,1F +++++++++++++++++++++++-++-+-+---+-+++++++++++==+=+++==+∴-==+=+++=+++=+==+=<==+=∴==+=c b a c b a c b a c b a c b c b a c b c b c a k n n k n k n k n k n k n n k n k n k n k n k k n k n k n k n n n n n n n n F F F F F k m k m F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F k F F F F F F F F F F
2.47．2
2
2
2
48100202,012n n n n n x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
证明等式求(1+x +x )中项的系数. 证明：由题知：
2
2
2
2
0120110,01102=0n n n n n n n n n n n n n n m n m n m n m n m n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+⎛⎫⎛⎫⎛= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由等式其中令m=n 得
110n n n n n n n n ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
4810048(1),4+8=4+8=20=1=2
=3=1=5=0
n x x x x x n αβαβαβαβαβαβ++中可表示为其中因此当n=20时，有，或，或，
10031003!100!
1=1=2,=*319731!2!97!2!1!10041004!100!
2=3=1,=*419641!3!96!3!1!10051005!100!
3=5=0,=*509550!5!95!5!αβαβαβ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭！（），取法有！！
！（），取法有！！！（），取法有！！
所以20x 的系数为(1)和(2)和(3)的取法之和。

2.48 有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个，从中取出10个球，
试问有多少种不同的取法？
解：设a r 表示取出r 个球的不同取法，则序列{a r }的母函数为 33242)1()1()(x x x x x x G +++++=，即求10x 的系数。

734433
54443)1()1()1()11()11()(x x x x x x x x x x G ---=--------= 则c b a c b a x x x x x
++==434310
)()(，即先求0,,,1043≥=++c b a c b a 的
再根据公式 +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n
h rx h n h rx h h h h rx )(1)
1(1
）
，有 +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n x n x x 6661666)1(7，则有10
x 的系数为：
67861634)1(1324)1()1(64624)1(6361314)1()1(67614)1(62623)1(66613)1(6106312211121=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+即有678种不同的取法。

2.49 求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的n 位排列中AB 至少出现一次的排列数目
解：设n a 为所求个数，n b 为不出现AB 串的个数（取n 位串）
4n n n a b +=
124n n n a a b --=+
124n n n b b b --=-
0b =1，1b =4，2b =15，3b =56
特征方程为 2410q q -+=
解得 q=2
±n b
=A n
+B n
A+B=1
A （
）+B （
）=4
解得： A= B=
n b
=n
+n
n a =4n -n b =4n
-
611(2(2n n ++⎡⎤-⎣
⎦ 2.50 求n 位四进制数中2和3必须出现偶数次的数目.
题解：
()()()
1222...!4!21...!212441222412224222
++=++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--x x x x x x x x e e e e e e e e e x x x x x G ()
1141
24224:!--+=⋅+n n n n n
n x 如果要求首位不是0,幂次减1，那么答案就是
222211243)24()24(------+⨯=+-+n n n n n n .
2.51 试求有a,b,c 这3个字符组成的n 位符号串中不出现aa 图像符号串的数目. 题解：设不出现aa 的字符串的排列数为a n
在所有符合要求的n 位串中，最后一位是a,则n-1位是b 或c ，最后一位不是a ，则是b 或c.故有
a n =2a n-1+2a n-2，a 1=3，a 2=8，a 0=1.
x 2-2x-2=0,解得 x=31±。

a n =A(1+3)n +B(1-3)n
()()
⎩⎨⎧=-++=+331311B A B A
A=()34312+,B=()34312-- ()()
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=++223413131n n n a 2.52 证明：C （n,n ）+ C （n+1,n ）+ ……+C （n+m,n ）= C （n+m+1,m ）
证：左式= C （n,0）+ C （n+1,1）+ ……+C （n+m,m ）
根据组合意义对于二维坐标系（ 横坐标最大值为n+1，纵坐标为最大值m ） C （n ，0）表示从（0，0）到（n ，0）点的路径数
C （n+1,1）表示从（0，0）到（n,1）点的路径数
…………………………………………………………
C （n+1,m ）表示从（0，0）到（n,m ）点的路径数
C （n+1+m,1）表示从（0，0）到（n+1,m ）点的路径数
得证：左式=右式 2.53 利用63
121112
222π=+++ ，改善P n 估计式。

解：令 +++=2210)(x p x p p x G
一个整数n 拆分成若干整数的和，在拆分中每个整数允许重复出现。

故
)1)(1)(1(1)(32x x x x G ---=，所以有 -------=)1ln()1ln()1ln()(ln 32x x x x G ，又因为
----=----
-=-6422323121)1ln(3121)1ln(x x x x x x x x 所以，
++++
=)3121()(ln 32 x x x x G ++++++++)3
121()3121(963642x x x x x x +-++-+-+-=n
n
x x n x x x x x x 1113112113322 ……① 121
111--++++⋅-=-n n n n x x x x x x x x ，由于)1,0(∈x ，则
121->>>>n x x x ，。