高校自主招生学科解读

1.1基础性
1.(2010年浙江大学) 设集合M {x | f ( x) x}，N {x | f ( f ( x)) x}. (1)求证：M N ; (2)若f ( x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明.
（2）若 f ( x) 是一个在 R 单调递增的函数，一定有 M N .证明如下： 若 N ，则 N M ，又由（1）知 M N ，从而有 M N .

1.概况

从2003年开始，我国就推出了自主招生改革， 当年有22所高校，可以拿出总招生计划的5%的 名额进行自主招生，被称为5%自主招生.随着自 主招生制度的改革，试点自主招生的学校越来 越多，到目前为止，拥有5%自主招生资格的高 校已达到82所，招生模式与2003年相比没有太 大的变化，都是先由学校进行考试，根据考试 情况给学生自主招生资格.获得自主招生资格的 学生，需参加高考，在高考录取中，学校按事 先承诺的录取优惠（具体录取优惠，从达到当 地的一本线录取，到过一本线后低于该校在当 地录取线的20分至60分不等）进行录取.
与高考一起准备自主招生

在一本院校中，除了5%的自主招生外，还有一类自主 招生，就是始于2006年的上海交通大学与复旦大学的自 主选拔录取。这两所高校的自主录取选拔与5%自主招 生的程序完全一致，但比5%自主招生更进一步——获 得自主录取资格的学生（也称预录取）的学生，虽然也 要参加高考，但高考成绩不作为录取的依据，而只作为 重要的参照。这里我们说：既然是参照，当然也可以不 参照，被预录取的学生，有的没有达到一本线，也可以 被录取.在过去的几年中，这两所高校录取中，也确实 遇到过少数考生，在获得预录取资格后，高考成绩没过 一本线照样被录取的情况.其实，有的学生就被学校通 过再次面试录取.除非差得离谱.当然，这也仅限于上海 地区的考生.
1.2学科性

“数学是思维的体操，是思维的科学.”在学 习数学时要不断地经历直观感知、观察发 现、归纳类比、空间想象、符合表示、运 算求解、数据处理、演绎证明、反思与建 构等思维过程.这是数学的学科特点.
1.2学科性
3.(2009年上海交通大学) 求方程x x 2 x ... 2 x 2 3x (等式右边有n个根号)的 实根.
1.1基础性
2.(2009年中国科技大学) 求证：对任意x, y R, 不等式x 2 xy y 2 3( x y 1) 恒成立. 分析：待证的不等式中出现了x 2 , xy, y 2 , x, y等元素， 可先想到配方将它们联系起来，于是想到了(求差)比较法. 证法一：x 2 xy y 2 3( x y 1) y 3 当且仅当x 0 x 2 ( y 3) x y 2 3 y 3 2 且y 1 0,即x 1且y 1时 y 3 2 1 (x ) ( y 3) 2 y 2 3 y 3 2 4 等号成立. 2 y 3 3 2 3 3 x 2 xy y 2 3( x y 1) (x ) y y 2 4 2 4 恒成立. 2 y 3 3 (x ) ( y 1) 2 0. 2 4
若 f ( x0 ) x0 ，不妨设 f ( x0 ) x0 ， 由于 f ( x) 是一个在 R 单调递增的函数， 从而 f ( f ( x0 )) f ( x0 ) x0 ，与 f ( f ( x0 )) x0 . 矛盾！
1.1基础性
1.(2010年浙江大学) 设集合M {x | f ( x) x}，N {x | f ( f ( x)) x}. (1)求证：M N ; (2)若f ( x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明.
学习：从不懂到懂，从懂到通，从通到悟
加速从懂到通(梳理知识)，实现从通到悟(能力提高) 考试：相信自己的能力(调整心态)，选择相应的策略(应试技巧)
复习：抓知识点，抓灵活性，抓能力培养
自主招生试卷分析
学习方法：
应试： 1、吃准题意，抓住知识点，
遇到容易题不轻视，遇到难题不心虚 2、灵活运用基本概念和基本方法，知识点综合性强， 注意找解题捷径

5.希望与要求
有针对性的准备 希望参加自主招生的同学，应该尽针对大 学自主招生的要求，进行能力与素质的培 养，准备的时间更长一些，准备更充分一 些。

自主招生试卷分析
学习方法：
学习：从不懂到懂，从懂到通，从通到悟
加速从懂到通(梳理知识)，实现从通到悟(能力提高)
自主招生试卷分析
学习方法：

3.发展趋势

学业水平测试+自主招生 南开大学、天津大学、山东大学等； 8A+2B以上
4.自主招生的评价标准
1.所在中学要求； 2.学业成绩要求； 3.竞赛要求； 4.推荐与自荐。

4.4推荐与自荐的说明
4.4.1不要把自荐信写成“评语”； 4.4.2自荐信应有个性； 4.4.3自荐信要客观、真实；
若 N ，任取 x0 N ，即有 f ( f ( x0 )) x0 . 下证 f ( x0 ) x0 ，用反证法证明之.
1.1基础性
1.(2010年浙江大学) 设集合M {x | f ( x) x}，N {x | f ( f ( x)) x}. (1)求证：M N ; (2)若f ( x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明.
1.2学科性
解法一： 3x x 2 x y 2，x 2 y y 2 ， ，x 2 y y 2 令 n 1 n 1 2 ...... 1
( y1 , y2 ,..., yn 0) x yn 现证明：y1 x
2 2 则 若x y1， 2 x 2 y1 x 2 x x 2 y1 y1 y2
第（2）问主要又考察了 集合“相等”的概念， 并利用反证法证得.
1.1基础性
这里“ f ( x) 在 R 上单调递增”是十分重要的， 在此条件下，当 N {x | f n ( x) x} 时仍有 M N ， 但若 f ( x) 是 R 的减函数时，结论则未必成立， 例如 f ( x) x ，此时 M {x | f ( x) x} {0} ， 而 N {x | f ( f ( x)) x} {0,1} ，此时 M N.
2.特点
嫁接在高考之上，先取得自主招生资格 （录取优惠），然后再参加高考。 以高考科目考试为主，依旧强调学生的中 学学科成绩与名次。 试图从多个角度考察、评价学生，但目前 的重点还是集中在考察学生的学习能力方 面。

3.发展趋势
发展趋势主要有两种：一是：高校联考+自主招 生；二是：学业水平测试+自主招生 高校联考+自主招生 三个小联考： （1）：清华大学、上海交通大学、西安交通大 学、中国科技大学、南京大学的五校联考； （2）北京大学、香港大学、北京航空航天大学 的三校联考； （3）北京科技大学、北京交通大学、北京邮电 大学、北京林业大学、北京化工大学的五校联 考
2 2
1.1基础性
1 2 1 1 2 1 1 证法二： x x, y y, ( x y)2 2 2( x y) 2 2 2 2 2
三式相加便得x 2 xy y 2 3( x y 1) (当x 1且y 1时取“＝” ).
待定不等式中等号成立的条件， 往往是寻找证明的突破口.
1.1基础性
这种证法在求差比较后，将二元二次六项式转化为 以x为主元的二次三项式，先后两次配方获得证明 （或直接证 0，见《决胜自主招生》一书）.
1.1基础性
分析二：由对称性，易知当x y 1时等号成立， 1 2 1 2 1 又x xy y x y ( x y )2 2 2 2 x2 y 2 1 1 当x y 1时， , ( x y)2 2, 2 2 2 2 于是想到了综合法.
与高考一起准备自主招生
当然，同学们还会有一种困惑：究竟是准备自 主招生，还是准备高考？如果两手抓会不会顾 此失彼？到底以哪一个为主？ 实际上，这是把高考与自主招生完全对立造成 的错觉.简单地说，高考强调分数，只要达到录 取分数线就可以录取；自主招生并非不看分数， 只是分数不再是唯一的指标了，除了分数以外， 自主招生还要考察同学们的其他能力与素质。 所以这两者并不完全冲突，而是可以有效地结 合.
3、磨刀不误砍柴功，仔细分析题意，提高解题能力
自主招生数学解读（一）
主讲：贾广素
高校自主招生数学试题特点解读
一.高校自主招生数学试题特点解读
试题分析的高校范围：北京大学、清华大学、 浙江大学、北京科技大学、香港大学、中国科 技大学、复旦大学、上海交通大学、同济大学、 南京大学、南开大学、武汉大学、苏州大学、 山东大学、西安交通大学、南京航空航天大学、 华南理工大学、华东理工大学、华中师范大学、 华东师范大学、中国矿业大学、哈尔滨工业大 学、南京农业大学、东南大学、西北工业大学 等25所高校试题； 试题分析的时间范围：2003年至2010年自主招 生与保送生试题
同理 f ( x0 ) x0 时，有 f ( f ( x0 )) f ( x0 ) x0 ，矛盾！ 故必有 f ( x0 ) x0 ，即 x0 M ，从而有 N M . 又由（1）知 M N ，从而有 M N .
1.1基础性
1.(2010年浙江大学) 设集合M {x | f ( x) x}，N {x | f ( f ( x)) x}. (1)求证：M N ; (2)若f ( x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明.
y1 y2
依此类推y1 y2 y3 ... yn x，矛盾； 同理y1 y2 y3 ... yn x， 矛盾. 若x y1，
故x y1， 即3x y12 x 2 x 0或3.
1.2学科性
3.(2009年上海交通大学) 求方程x x 2 x ... 2 x 2 3x (等式右边有n个根号)的 实根.
基础性 学科性 方法性 应用性 拓展性 趣味性

1.1基础性

新课程强调 ，在数学的学习过程中，形 式化表达是一项基本要求，但不能仅限于 形式化表达，更加要强化对数学本质的认 识. 即“重概念本质，轻背诵结论.”
1.1基础性
1.(2010年浙江大学) 设集合M {x | f ( x) x}，N {x | f ( f ( x)) x}. (1)求证：M N ; (2)若f ( x)是一个R单调增函数，是否有M＝N？若有，请证明.
（1） 【证明】若 M ，显然有 M N 成立；
若 M ，任取 x M ，即有 f ( x ) 本题的第（1）问主要考察了 x ， 集合间的“包含”关系的概念. 从而 f ( f ( x )) f ( x ) x ，即 x N .
0
0 0 0 0 0
0
故M N .

一.高校自主招生数学试题特点解读
关注数学思维品质，加强数学学科和哲学 方法的考查，呈现以下几个特点： 重运算推理，轻计算繁琐； 重概念本质，轻背诵结论； 重内容交叉，轻知识覆盖； 重现实背景，轻纯粹形式； 重数学基础与时俱进，轻累偏旧内容的循 环考查。

一.பைடு நூலகம்校自主招生数学试题特点解读
高校自主招生学科解读
主讲：贾广素
2010年10月23日
与高考一起准备自主招生
我国实行自主招生的高校，到2010年已 达到了80所.同学们较为关心的话题主要 有两条： 一.怎样进行自主招生？ 二.自主招生的标准是什么？ 对于这么两点，我在《决胜自主招生》一 书中已谈得非常明白，请同学们自己去参 阅.