选矿过程模拟与优化_第二章 回归模型(5-6)

令 L (x x )
11 1i 1 22 2i 2
2
L (x x )
1y 1i 1
2
L ( x x )( y y )
i
L ( x x )( y y )
2y 2i 2 i
L L ( x x )( x x )
12 21 1i 1 2i 2
在确定非线性模型形式时可通过以下几 步进行： （1）根据专业知识和经验，去确定恰当的 曲线函数类型 例如：选矿过程中有用成份在尾矿中的 采收率与选矿时间之间有负指数关 系， y aebt ；筛分过程中，筛下物累 积产率与筛孔尺寸之间往往有幂函数关 系,负累积 y axb ；重选过程中，不同 密度级物料在重产物中的分配率可以用S 型曲线表示等等。
1i
为了便于记忆和求解，我们将正规方 程组形式进行适当变换： 由第一个方程可得： b0 y b1 x1 b2 x 2 其中：
1 1 1 x1 x1i , x 2 x2i , y yi n n n
把上式代入后二个方程，经整理可得：
n b1 ( x1i x1 ) 2 b2 ( x1i x1 )( x2i x 2 ) ( x1i x1 )( yi y) i b ( x x1 )( x x 2 ) b ( x x 2 ) 2 ( x x 2 )( y y) 2i 2i 2 2i i 1 1i
b ln 1 a 2 e a 0.17653
2
y1 100 16.30x 0.51 (%)


②洛辛—拉姆勒方程：
n b2 0.70362
y 2 100e
0.177x 0.70
(%)
（5）检验精度： 为了检验二方程拟合精度，可以对Q、σ、R三 者任意之一进行比较。 ①相关系数： Lx2 y2 Lx y 0.99047 r1 0.95971 r2 Lx2 x2 Ly2 y2 Lx x Ly y
增大容积 （y）
2 3 4 5 6
6.42 8.20 9.58 9.50 9.70
7 8 9 10 11
10.00 9.93 9.99 10.49 10.59
12 13 14 15 16

10.60 10.80 10.60 10.90 10.76
§2-6 多元线性回归分析 在选矿工程中，由于影响因变量的 因素不只一个，往往有许多个，这时要 寻找变量之间的关系，往往采用多元线 性回归分析，其原理与一元线性回归分 析相同，只是计算复杂些。二元线性回 归是多元线性回归中最简单的一种。
(100 y) Axk (%)
式中A,k为粒度分布参数 洛辛—拉姆勒方程可表达为：（为正累积 关系） y 100e bx (%)
n
（2）将上述二粒度特性方程进行坐标变换： ①高登——安德列夫方程： 取对数： ln(100 y) ln A k ln x y1 100 y), x1 ln x, a1 ln A, b1 k 令： ln( 则：y1 a1 b1 x1 ②洛辛—拉姆勒方程： 取对数： 100 bx n ln ln 100 ln b n ln x ln y y 令：y ln ln 100 , x ln x, a ln b, b n
y x
1 1 令 y , x 则有: y a bx y x
y aebx （2）指数函数 ln 取对数： y ln a bx 令： y ln y, a ln a 则： y a bx
（3）另一类指数函数： ae y b 取对数 ln y ln a 1 x 令： y ln y, a ln a, x x 则： y a bx y axb, lg y lg a b lg x （4）幂函数 令： y lg y, a lg a, x lg x 则： y a bx
下面以二元为例来说明多元回归的方法。 一、二元线性回归分析 y 二元线性回归的模型为： b0 b1 x1 b2 x 2 上式中 b 0 为常数，b1 ,b2为自变量 x1 , x2 的回归系数。 由 n 组观测数据 x1i , x2i , yi，利用最小二乘 法求出回归方程的待定系数的最佳值。 欲使 b0 , b1 , b2 有最佳值，必使剩余平方 和Q最小，即：
§2-5 一元非线性可化为线性的回归分析 一、模型选配
（a）在实际生产中，常常遇到两个变量之间并不 是线性关系，尤其在选矿模型中，一元线性函数 并不多，多数为一元非线性函数，即二个变量之 间存在着某种曲线关系，在这种情况下，按直线 回归方程来求解就不大适宜。 （b）即使经检验两变量间有一定程度的线性相关， 其直线回归方程精度也不会高。 所以这时应根据二变量之间的曲线关系选配 合适数学表达式；有时对某一曲线可以选配多个 数学表达式描述，然后进行检验对比，最后确定 最终模型。
注意：在线性回归分析中，回归系数的估 计是以因变量的剩余平方和最小为基础 的，所以得到的回归方程是最优的拟合 结果，但在曲线化为直线的回归分析中， 所求的回归方程是按坐标变换以后的因 变量剩余平方和最小为基础的。例如幂 函数模型是以 (lg y lg y ) 2 最小为基础的，所以对原来的函数不一 定为最优拟合，在这种情况下，要衡量 回归方程优劣，往往选配不同类型曲线 函数进行计算比较，比较时，主要比较Q、 σ、R三者任意之一。
2
y
2
2
2
则：y2 a2 b2 x2
（3）根据坐标变换，将原始数据 ( x, y ) 相应的 ( x1 , x2 ) 及 ( x 2 , y 2 ) 并计算。 某矿无烟煤粒度特性及计算表
变换成
Lx x 13.56637
1 1
Lx x 13.56637
2 2
Ly y 3.82382
b x
（5）半对数函数 y a b lg x 令：x lg x 则: y a bx （6）S型曲线函数 1 y a be x 则：y a bx 实际上，可以线性化的非线性函数形式 还有很多，所以在实际应用中仍可以选 配其它形式的函数。
1 y , x e x 令： y
1 1
Ly y 6.84641
2 2
Lx y 6.91223
1 1
Lx y 9.54561
2 2
求得：
a1 2.79134 a2 1.73425
b1 0.50951
b2 0.70362
（4）反变换： ①对高登—安德列夫方程：
A ln 1 a1 e a1 16.30291 K b1 0.50951
（2）当根据理论或经验确定不了时，可 以根据实验点的分布形状与已知的某些 典型函数图形进行比较选取。这些曲线 函数往往比较复杂，但有些初等函数可 通过坐标变换，使它直线化，这时就可 以利用线性函数的计算方法，去确定非 线性函数的参数。
下面我们给出一些常用的可线性化的非线性 初等函数： （1）双曲线 1 a b
L11b1 L12b2 L11 L21b1 L22b2 L21 解上式得到参数 b1 , b 2 则 b0 y b1 x1 b2 x 2 从而可得二元线性回归方程
即
y b0 b1 x1 b2 x 2

二、推论：我们可以由二元线性回归正规 方程推到多元线性回归的正规方程 设自变量个数为P，则多元线性回归方程可 表示为： y b0 b1 x1 b2 x2 b p x p 其中 b0 , b1 , b2 ,, b p 为方程的回归系数。 由二元线性回归正规方程、我们可推出多 元线性回归正规方程： 即： L11b1 L12b2 L1 p b p L1 y
Q ( y i y i ) ( y i b0 b1 x1i b2 x 2i ) 2
2 i 1 i 1 n n
由极值原理，应使
n 2 ( yi b0 b1 x1i b2 x2i ) 0 i 1 b0 n 2 ( yi b0 b1 x1i b2 x2i )x1i 0 i 1 b1 n 2 ( yi b0 b1 x1i b2 x2i )x2i 0 b2 i 1
经整理后可得到关于 b0 , b1 , b2 的一个线 性正规方程组。
nb0 b1 x1i b2 x 2i y i 2 b0 x1i b1 b2 x1i x 2i y i x1i 2 b0 x 2i b1 x1i x 2i b2 x 2i y i x 2i
作业：出钢时所需的钢包，由于钢水对耐火 材料的浸蚀，容积不断增大。试建立钢包 使用次数与容积增大之间的关系模型，试 验数据如下： 1 b （选择双曲线模型： y a x 和指数模型：
y ae
b x
进行拟合）
使用次数 （x） 增大容积 （y） 使用次数 增大容积 （x） （y）
使用次数 （x）
L21b1 L22b2 L2 p b p L2 y L b L b L b L p2 2 pp p py p1 1
1 L 其中： jk ( xij x j )( xik x k ) xij xik ( xij )( xik ) n i i i i 1 Lky ( xik x k )( yi y ) xik yi ( xik )( yi ) n i i i i
例2：根据某矿无烟煤粒度特性资料， 试用线性化回归分析建立其粒度 特性模型。 某矿无烟煤粒度特性
筛孔mm 50 25 13 6 3 0.5
正累积产 9.91 18.82 32.32 47.38 63.02 91.44 率R%
解：（1）根据经验，我们选用高登——安 德列夫粒度特性方程和洛辛—拉姆勒粒 度特性方程，并进行比较。 若以y表示筛上产物的累积产率%，x表示 筛孔直径(mm)， 则高登—安德列夫的粒度特性方程可表达 为： （原方程表达的是负累积关系）
1 1 1 1 1 1
Q1 ( y y 1 ) 2 1157.909 ②剩余平方和：

Q2 ( y y 2 ) 2 79.121

Q1 17.01 ③剩余均方： 1 n2 Q2 2 4.45 n2
因此，可以找出洛辛—拉姆勒公式拟合效 果比高登—安德列夫方程好。
*由于一元线性回归分析已介绍过， 这里只对一元非线性回归分析的 统计检验作一强调。
二、可线性化的非线性回归方程的检验： 注意点：①相关系数的计算：此时的变量 应该用经过转换后的U和Q，只有用它才 能检验回归方程的线性相关性。 即:
R Lxy Lxx L yy
②计算剩余平方和和标准差时，都应该用 非线性方程的变量x和y，以便较清楚地反 映原方程中的变差大小。
实际上，可以线性化的非线性 函数形式还有很多，所以在实际应 用中仍可以选配其它形式的函数。 综上所述，对可线性化的非线 性函数模型的回归分析就可按下面 方法进行： （1）根据经验或将所收集到的数据 在坐标系中画出散点图，对比初等 函数，初步选定曲线函数形式。
（2）按所选用的函数，进行坐标变 换，将非线性函数转换成线性函数。 （3）用线性回归计算转换后回归方 程系数。 （4）进行反变换，将线性回归方程 的回归系数转换成非线性方程的回 归系数。 （5）进行统计检验。