人教版垂径定理讲解学习

的距离为d，弦长为a，这三者 间有怎样的关系式？
rd
r2 =d2+(a2)2
a
2 构造直角三角形，利用垂径定理 和勾股定理，解决问题。
解决求赵州桥拱半径的问题？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 解: 如图，用弧AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为r．
D. 8
O
C
４. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，B
若AB=20，CD=16，则线段OE等于（ B ）。
A. 4
B. 6
A
C. 8
D.10
O
C
ED
B
巩固练习
5. 如图，⊙O的直径ＡＢ垂直弦ＣＤ于Ｐ，且 Ｐ是半径ＯＢ的中点，ＣＤ＝６，则直径 Ａ AB的长为（ D ）。
A. 2 3
C. 4 2
C
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧．
·O
E
A
2.垂径定理推论：
（5）平分弦所对的劣弧 AD = BD
C
· 如图，若CD是直径，且CD平分弦AB（不是直径）， O
是否能得到CD⊥AB，且平分弧ACB和
弧AB？为什么？
E
A
CD⊥AB AC = BC AD = BD
B
垂径定理推论：
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 思考：如果AB也是直径，
并且平分弦所对的两条弧．
B D
5个条件中，任满足2个，剩下3个结论都成立。
由 (2)、(3)，得(1)、(4)、(5)。 常用此方法来确定圆心的位置
C A
B O
例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA.
OEAB
AE1AB184 22
在Rt AOE中，由勾股定理得：
过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
∵半径OC⊥弦AB AB=37.4，CD=7.2，
∴ AD 1A B13.7 41.8 7 ,
2
2
C
∴ OD=OC－CD=r－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
r2 =d2+(a2)2
A
h
a/2 D
B
OA2=AD2+OD2
h+d=r
rd
相等的弧： AC = BC AD = BD
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． A
·O
E B
符号语言：∵ CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E，
D
∴AE=BE, AC = BC ，AD = BD .
若一条直线满足：（1）过圆心 CD是直径（2）垂直于弦 CD ⊥AB于E
则可推出（：3）平分弦 AE=BE （4）平分弦所对的优弧 AC = BC
教学难点：
1.对垂直于弦的直径的性质、推论的说明过程的理解。 2.应用垂径定理及推论解决实际问题。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
求证：四边形ADOE是正方形．
证明：∵ ∴
A BO ⊥NAoC 于 AO E ， OD ⊥ A AD E B于D ，9 A OA E⊥A0 CD 于E
∴四I边m形aAgDOeE为矩形，
C
又由垂径定理：AE 1 AC AD 1 AB
2
2
E
Βιβλιοθήκη Baidu·O
且 AC=AB
∴ AE=AD
A
D
B
∴ 四边形ADOE为正方形.
实践探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什么？由 此你能得到什么结论？
C
可以发现：
圆是轴对称图形，任何 一条直径所在直线都是
·O
它的对称轴．
D
如图 ，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
相等的线段： AE=BE
B
2. 如图，在⊙O中，P是弦ＡＢ的中点，ＣＤ
是过点Ｐ的直径，则下列结论不正确的是（ Ｄ）
C
Ａ．CD ⊥AB
Ｂ．AC = BC
C． AD = BD Ｄ．ＰＯ＝ＰＤ
·O
Ｐ
A
B
D
巩固练习
３. 如图，周长为10 的⊙O中，弦AB的弦心
距OC等于3，那么弦AB的长为（ D ）。 A
A. 2
B. 4
C. 6
人教版垂径定理
教学目标：
1. 理解圆是轴对称图形.
2. 掌握垂径定理和推论的推理过程，并能解决一些简单的计算、 证明和作图问题。
3. 使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用，培养学生把 实际问题转化成数学问题的能力。
教学重点：
1.垂直于弦的直径的性质、推论及应用。 2.利用垂径定理及推论解决实际问题。
上述结论是否成立？
不一定.
符号语言：
∵ CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）， C
AC
且AE=BE，
AO B
O
∴ CD ⊥ AB ，
，
.
D
B D
C
（1）过圆心（CD是直径）；
（2）垂直于弦（CD ⊥AB于E）； （3）平分弦（AE=BE）；
·O
E
（4）平分弦所对的劣弧（ AD = BD ）； A （5）平分弦所对的优弧（ AC = BC ）.
A O 2O E2A E2
A
E
B
·
O
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答：⊙O的半径为5cm.
1. 如图，在⊙O中，直径为
A
10cm，弦AB的长为8cm，求圆
心O到AB的距离.
E
B
·
O
2. 如图，在⊙O中，直径为 10cm，圆心O到AB的距离为 3cm，求弦AB的长.
3. 设⊙O的半径是r，圆心到弦
即: r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27．9（m）
O
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
AB=37.4m CD=7.2m
巩固练习
1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，
下列结论不一定成立C 的是（ ）A
Ａ． CM=DM
Ｂ．AC = AD
O
Ｃ． AD=2BD
C
M
D
Ｄ．∠BCD=∠BDC
B. 3 2 D. 4 3
·O
Ｐ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
6. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨
度ＡＢ的长为２４米，拱桥的半径为１３米，则拱高
ＣＤ的长为（ B）米。
C
A. ５ C. ７
B. ８ D. 5 3
D
A
B
O
巩固练习
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。