常微分论文-经济增长模型

中国计量学院

常微分方程课程论文题目：经济增长模型

专业：信息与计算科学2013年12 月22 日

经济增长微分方程模型

1摘要：

经济增长模型指的是经济增长的理论结构，它所要说明的是经济增长与有关经济变量之间的因果关系和数量关系。对经济增长的不同理论分析构成了不同的经济增长模型。在经济增长理论中,人们推崇的主要有三大理论:哈罗德——多马经济增长理论、新古典经济增长理论和新剑桥经济增长理论。这里，我们主要介绍两个著名的经济增长模型，即哈罗德—多马经济增长模型和新古典经济增长模型。因为以匈裔英籍经济学家尼克拉斯·卡尔多为代表的新剑桥学派的经济增长理论,尤其与1987年获得诺贝尔经济学奖的索洛的新古典经济增长理论不合辙。他们不仅不接受新古典生产函数理论,而且还认为新古典理论以消费支配经济社会的观点不切实际。

2.问题分析与模型假设

发展经济、提高生产力主要依靠以下方法：

① 增加投资；

② 增加劳动力；

③ 技术革新。

本经济增长模型，将讨论：

1. 生产函数（建立产值与资金、劳动力直接的关系）；

2. 资金与劳动力的最佳分配（求解二者最佳比例）

3. 劳动生产率增长条件。

3.模型的建立和求解

模型一、哈罗德—多马经济增长模型

1．哈罗德—多马经济增长模型的假定

英国经济学家哈罗德与美国学者多马几乎同时提出自己的经济增长模型。由于两者在形式上极为相似，所以称为哈罗德—多马模型。两者的区别在于哈罗德是以凯恩斯的储蓄—投资分析方法为基础，提出资本主义经济实现长期稳定增长模型；而多马模型则以凯恩斯的有效需求原理为基础，得出与哈罗德相同的结论。哈罗德—多马模型考察的是一国在长期内实现经济稳定的均衡增长所需具备的条件。

这里所讨论的基本形式的哈罗德—多马模型的假定条件包括：

（1）不存在货币部门，且价格水平不变；

（2）劳动力按不变的、由外部因素决定的速度增长，即；

（3）社会的储蓄率，即储蓄与收入的比率不变，若记为储蓄，为储蓄

率，则；

（4）社会生产过程只使用劳动两种生产要素，且两种要素不能互相替代；

（5）不存在技术进步。

根据假定（4），生产函数可以写为： n 常数

==n N dt dN /S s 为收入）常数（Y s Y S ==K N 和资本

（20.10） 式中，参数

为产出—资本比；为产出—劳动比；为固定的常数。

2．产出和资本

根据上面的说明，由

有 （20.11） 对（20.11）式关于时间求微分有：

（20.12） （20.11）式说明，经济中供给的总产出等于产出—资本比乘以资本投入。（20.12）式则说明，总产出随时间的变化率由产出—资本比和资本存量变化 率（即投资水平）所决定。

另一方面，在只包括居民户和厂商的两部门经济中，经济活动达到均衡状态时，要求投资等于储蓄，即：

（20.13）

根据假定条件，有。而

，故（20.13）式变为： （20.14）

将（20.14）式代入到（20.12）式，并对其进行变形，有：

（20.15）

方程（20.15）就是在资本得到充分利用条件下总产出的增长率所必须满足的关系。在都为常数的条件下，模型（20－15）式的解为：

（20.16）

式中，为常数；为时间；为数学中自然对数的底数。

为了进一步认识（20.115）所示的增长率的意义，将（20.11）代入到（20－14）式，并对其进行整理，得：

（20.17）

比较（20.15）式和（20.17）式可知，为了使资本得到充分利用，总产出与资本必须同步增长，其增长率由储蓄率和产出—资本比确定。按照哈罗德的说法，这一增长率被称为有保证的增长率，记为，即。至此，已建立了资本得到充分利用时经济增长的条件。

3．产出与劳动

根据假定条件，劳动力增长率为。另一方面，根据生产函),min(

),(ZN VK K N Y Y ==K Y V =N Y Z =Z V 和K Y V =VK Y =t dt dK V dt

dY =S I =sY S =dt dK I =sY dt dK =Vs Y dt dY =/S V 和Vst Ae Y =A t e )718.2(≈e Vs K dt dK =/Y K W G Vs G W =常数==n N dt dN /

数（20.8）式，在充分就业情况下，总产出和劳动力的关系为：

（20.18） 在参数为常数的情况下，（20.18）式意味着总产出必须与劳动力同步增长。事实上，对（20.18）式关于时间进行微分，有：

（20.19） 用（20.18）式除（20.19）式，得：

（20.20）

（20.20）式就是劳动力充分就业时经济增长的条件。这一条件的含义是，如果要使经济实现充分就业的均衡增长，总产出的增长率必须等于劳动力的增长率。哈罗德将这一增长率称为自然增长率，记为，即。

4．经济均衡增长的条件

为了得到哈罗德—多马模型均衡增长的条件，先考察生产函数（20.8）的等产量，如图20－1所示。

图20－1 哈罗德—多马条件

从图20－1中可以看到，为了生产的产出水平，该经济需要单位的劳动力和单位的资本，均衡点为。如果该经济有单位的劳动力和单位的资本，那么该经济的产出水平也只能是。在这种情况下，一些劳动力会因缺乏生产性资本不能从事生产而处于失业状态。同样，如果该经济只有单位的劳动力，而拥有单位的资本。其最大产出水平仍然为。在这种情况下，大量生产性资本又会因劳动力不足而被闲置。显然，要使经济中所有的生产投入（在这里即劳动和资本）都被充分利用的条件是图20－1中通过原点的直线上的，和等点。 zN Y =z t dt dN z dt

dY =n N dt dN Y dt dY ==//N G n G N =K

K b

K 1 E 1 E 2 E 3

Y 3 Y 2 Y 1 N

N a N 1 O L 哈罗德1Y 1N 1K 1E a N 1K 1Y 1N b K 1Y l 1E 2E 3E