《简单线性规划 》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】

新课学习
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：
x 2y 8
4x 16 4 y 12
x0
y 0
……………………………………………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
z=3x+5y
的最大值和最小值，使式中的
x、y
满足约束条件
y
x
1
x 5 y 3
再见
(3)目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴
上的截距。( )
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【解析】 (1)最优解指的是使目标函数取得最值的可行解(x，y)。
(2)最优解不一定唯一，可能有无穷多个。
(3)z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上截距得 b 倍。
【答案】 (1)× (2)× (3)×
随堂练习
x y 1 0
例1
若
x，y
满足约束条件
x
y
3
0
则
z＝x－2y
的最小值为________。
x 3 0
【精彩点拨】 作出可行域，观察目标函数何时取得最小值，求出点的坐标代 入目标函数即可。
随堂练习
x y 1 0
【解析】 不等式组 x y 3 0 表示的可行域如图阴影部分所示。
随堂练习
x y 5 0
2．已知
x，y，k
满足
x
3
且 z＝2x＋4y 的最小值为－6，则常数 k 等于(
)
x y k 0
A．2
B．9
C．3 10
D．0
【解析】 先根据约束条件画出可行域，设 z＝2x＋4y，将最大值
转化为 y 轴上的截距，当直线 z＝2x＋4y 经过点 A 时，z 最小。
由
x 3 2x 4
y
6
得
x y
3 3
代入直线 x＋y＋k＝0 得，k＝0
【答案】 D
随堂练习
x y 2 0
例 3.已知 x y 4 0 求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；(2)z＝ 2 y 1 的范围
2x y 5 0
x 1
【尝试解答】 依约束条件作出可行域为图中阴影部分，
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
简单线性规划
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引例：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件 耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到点 M(0,5)的距离的平方，过
M 作 AC 的垂线，易知垂足在 AC 上，
故
zmin＝d2＝
052
2
＝
9
12
12
2
随堂练习
(2)z＝
2
y
1
＝2×
y
1 2
可以看作可行域内的点(x，y)与点
Q
x 3 0
由 z＝x－2y 得 y＝ 1 x－ 1 z
22
平移直线 y＝ 1 x，易知经过点 A(3,4)时，
2
z 有最小值，最小值为 z＝3－2×4＝－5
【答案】 －5
点评：
随堂练习
1．将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解。 2．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个。
(2)作出直线 l0：ax＋by＝0； (3)确定 l0 的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；
(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值。
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值。( )
(2)线性目标函数的最优解是唯一的。( )
1．线性规划中的基本概念
①。线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、 y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故
又称线性约束条件
② 线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大 值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数。
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③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题。
截距 z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线 y 2 x z 与不等
3
33
式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距 z 最大时，z 取得最大值。因 3
此，问题可以转化为当直线 y 2 x z 与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时， 33
在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距 z 最大。 3
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（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现 y 2 x z 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M（4，2） 33
时，截距 z 的值最大，最大值为 14 ，这时 2x+3y=14。所以，每天生产甲产品 4 件，乙产
3
3
品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元。
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随堂练习
x y 0
例2
已知
x，y
满足约束条件
x
y
来自百度文库
2
若
z＝ax＋y
的最大值为
4，则
a＝(
)
y 0
A．3
B．2
C．－2
D．－3
【尝试解答】 画出不等式组表示的平面区域如图阴影
部分所示，若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则最优解为 x＝1，y＝1 或 x＝2，y＝0，经检验知 x＝2，y＝0 符合题意，∴2a＋0＝4，此时 a＝2，故选 B
x 1
x 1
1,
1 2
连线斜率 k 的 2 倍，其范围是 kQB≤k≤kQA，
而 kQB＝ 3 kQA＝ 7
8
4
故 z＝2k∈ 3 , 7
42
随堂练习
1．解决线性规划问题的一般步骤是：一画二移三求。其关键是准确作出可行域， 准确理解 z 的几何意义。
2．目标函数常见的类型： (1)截距型：z＝ax＋by＋c (2)距离型：z＝(x－a)2＋(y－b)2，即 z 的几何意义为可行域内的动点与 定点(a，b)的距离的平方。 (3)斜率型：z＝yx－ －ba，即 z 的几何意义为可行域内的点(x，y)与定点(a，b) 连线的斜率。
随堂练习
2x y 1 0
1．设 x，y 满足约束条件 x 2 y 1 0 则 z＝2x＋3y－5 的最小值为________。
x 1
【解析】 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。
由题意可知，当直线 y＝－ 2 x＋ 5 ＋ z 过点 A(－1，－1)时，
3 33
z 取得最小值，即 zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－1
x
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用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解。
课后作业
y x
1.求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、y
满足约束条件
x
y
1
y 1
5x 3y 15
2.求
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把 z=2x+3y 变形为 y 2 x z ，这是斜率为 2 ，在 y 轴上的截距为 z 的直线。
33
3
3
当 z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，
因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（ y 2 x 8 ），这说明， 33
随堂练习
x 1 0
3．若
x、y
满足约束条件
x
x
y y
0 4
0
则
y x
的最大值为________。
【解析】 画出可行域如图阴影所示，∵ y 表示过点(x，y)与原点
x
(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点 A 处时 y 最大。
x
由
x x
1 y
4
0
得
x
y
1 3
∴A(1,3)
∴ y 的最大值为 3。
随堂练习
1．这是一道线性规划的逆向思维题。解答此类题首先要熟练掌握二元线性 规划问题的求解程序和确定最优解的方法，然后要根据题目条件对解答过程中的 有关环节做出正确判断，建立等量关系。
2．此类问题中边界直线或目标函数对应的直线往往是变化的，因此分析边 界直线斜率与目标函数对应的直线的斜率关系十分重要。
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解。
由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
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2．求目标函数最值的步骤
在约束条件下，当 b＞0 时，求目标函数 z＝ax＋by＋c 的最小值或最大值的求解程
序为：(1)作出可行域；
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（3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y，这样，上述问题就转化为：
当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？