数项级数的基本概念及性质资料

1 4
]
A1(1
1 3
1
1
4
)
9
9
A1(1
3) 5
2 3. 5
雪花的面积有限。
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
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例
1：若级数
an
n1
的前
n
项部分和
Sn
n 1， n1
求 an 和 an 。
n1
解：
an
Sn
Sn1
n1 n1
n2 n
2 n(n 1)
n1
时收敛，且在收敛时，有
n
un
n1
lim
n
Sn
，即
un
n1
lim
n
i 1
ui
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无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形——“Koch雪花”。
1 100
1 1000
1 10n
)
3 10
3 100
3 1000
3 10n
引例3. 考察： 1 1 1 1 248
1 2n
2
0
1
3 2
2
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
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当 q 1 时 , sn na
发散
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
发散
综上所述
aqn
a
1
q
,
n0
发散 ,
右图给出了几何级数的一个 几何解释:
由三角形的相似
S a a a aq
S a 1q
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求和
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解1:
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
ln(1 1 ) ln 2 n
故原级数收敛 , 其和为
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解2:
故原级数收敛 , 其和为
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例 3: 讨论几何级数（等比级数）的收敛性：
aqn a aq aq2 aqn , (a 0)
n0
解: 如果 | q | 1 时
sn a aq aq2 aqn1 a aqn a (1 qn ), 1q 1q
当 q 1时 ,
lim qn 0
n
limnLeabharlann sna 1q
当 q 1时 ,
( 1 1 ) “拆项相消” n n1
an
n1
lim
n
Sn
1
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解:
Sn
ln
2 1
ln
3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
q 1
q 1
a aq
aq3 aq2 aq2
aq
aq
S
a
a
a
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例 4：以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样 构造的：在闭区间[0,1]中去掉开区间( 1 , 2)，这样就剩
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
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于是有
lim
n
Pn
雪花的周长无限。
lim
n
An
A1
lim[1
n
1 3
1
(4)n 9
但
lim
n
Sn
1
?
111
1
2lim[
]
n 1 2 2 3 3 4
n (n 1)
2lim{(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
n
2 23 34
2lim(1 1 ) 2 n n 1
(1 1 ) n n1
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例
1：若级数
an
称为级数的部分和.
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则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和， 记作：S un n1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散)
lim
n
Sn
存在(不存在)
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然 即 Sn S 误差为 Rn
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观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
播放
依次类推
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第 n 次分叉：
周长为:
Pn
(
4 3
)n1
P1
面积为
n 1,2,
An
An1
3{4n2
n1
的前
n
项部分和
Sn
n 1， n1
求 an 和 an 。
n1
解：
an
Sn
Sn1
n1 n1
n2 n
2 n(n 1)
,
n2
a1 S1 0
2lim[ 1 1 1 ]
n 2 3 3 4
n (n 1)
2lim{( 1 1 ) n 2 3
(1 3
1 4
)
2lim( 1 1 ) 1 或 n 2 n 1
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
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引例2.
1 0.3333 3 0.1111 3
3 (0.1 0.01 0.001 0.0001 )
3
(1 10
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数（泰勒级数）
傅里叶级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
1
第一节
第十一章
数项级数的基本概念 及性质
一、数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
级数与数列有着密切的关系：
给定级数
un
，就有部分和数列
Sn
n
ui
；
n1
i1
给定数列{Sn }，就有以{Sn }为部分和数列的级数：
S1 (S2 S1 ) (Sn Sn1 ) un ， n1
其中：u1 S1，un Sn Sn1，(n 2)。
按定义，级数 un 与数列 {Sn }同时发散，同