高阶偏导数与高阶全微分

2 f2 y2 f11 4xyf12 4x2 f22 ,
2z xy
f1
y
f11
u y
f
22
v y
2
x
fy[ xf11 2 yf12 ] 2x[ xf21 2 yf22]
f1 xyf11 2( x2 y2 ) f12 4xyf22 .
例3 设由方程 x 2 y z e x yz 确定的隐函数 为 z z(x, y), 求 2z .
2
,
x 1 x 2 y z 1 x 2 y z
z x 2 y z 2 1
1
.
y 1 x 2 y z
1 x2y z
从而
2z xy
(1
2 2 z y x2y
z)2
2( x 2 y z) (1 x 2 y z)3
.
二、高阶全微分
考虑 z f (x, y) 的全微分 dz f x( x, y)dx f y( x, y)dy
xy 解 方程 x 2 y z ex yz 两边求全微分, 得
dx 2dy dz ex yz (dx dy dz)
因此
( x 2 y z)(dx dy dz)
dz x 2 y z 1dx x 2 y z 2dy 1 x2y z 1 x2y z
由此可得
z x 2 y z 1 1
[1
2x3 y ( xy)2
]2
d2z zxxdx2 2zxydxdy zyydy2
[1
1 ( xy)2
]2
[2
xy 3dx 2
2(1
x2
y2
)dxdy
2
x3
ydy
2
].
三、二元函数的泰勒公式
定理7.6 设 f ( x, y) 在 P0( x0 , y0 ) 的某一邻域内有二 阶的连续偏导数, ( x0 x, y0 y) 是该邻域内的任 何一点, 则
一、高阶偏导数
称 z f ( x, y) 的偏导数 f x( x, y), f y( x, y) 的偏 导数为 f ( x, y) 的二阶偏导数.
z f ( x, y) 的二阶偏导数共有4个 , 分别记为
x
z x
2z x 2
,
z 2z , y x xy
z 2z , x y yx
x
y
d2z f xx (dx)2 2 f xydxdy f yy (dy)2
d2z f xxdx2 2 f xydxdy f yydy2
对三元函数 u f (x, y,z), 有
(7 17)
d2u f xxdx2 f yydy2 fzzdz2 2 f xydxdy 2 f yzdydz 2 fzxdzdx
当它作为 x , y 的函数仍然可微时, 称 dz的全微分 d(dz) 为 z f ( x, y) 二阶全微分, 记为d2z .
(dz) x
fx dx f y dy x x
fxxdx
f yxdy
(dz) y
fx dx f y dy
y
y
fxydx
f yydy
由 d2z (dz)dx (dz)dy 可求得
有二阶连续偏导数.
解 在 z f ( xy, x2 y2 )中,
令 u xy, v x2 y2 , 则
z x
f1
u x
f
2
v x
yf1 2xf2,
2z x 2
y
f11
u x
f12
v x
2
f
2
2
x
f
21
u x
f
22
v x
y[ yf11 2xf12 ] 2 f2 2x[ yf12 2xf22 ]
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) df ( x0 , y0 )
1 d2 f 2!
( x0 , y0 ) o(x 2
y2 )
(7 19)
其中 df ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y
d2 f ( x0 , y0 ) f xx ( x0 , y0 )x2 2 f xy ( x0 , y0 )xy f yy ( x0 , y0 )y2 .
z 3x2 y2 2 y3 y , z 2x3 y 6xy2 x,
x
y
因此
2z x 2
6xy2 ,
2z 6x2 y 6 y2 1, xy
2z 6x2 y 6 y2 1, yx
2z y2
2x3
12 xy.
例2
设
z
f ( xy, x2
y2), 求
2z x 2
,
2z xy
,
其中
f (u,v)
(7 18)
例4 求 z arctan( xy) 的二阶全微分.
解
dz
d( xy) 1 ( xy)2
ydx 1
xdy ( xy)2
,
记
zx
1
y ( xy)2
,
zy
1
x ( xy)2
,
因此
zxx
[1
2 xy 3 ( xy)2
]2
, zxy
1 ( xy)2 [1 ( xy)2 ]2
,
zyy
y
z y
2z y2
.
或 fxx( x, y), fxy( x, y), f yx ( x, y), f yy ( x, y).
当混合偏导数 fxy( x, y), f yx ( x, y) 连续时, 则它们相等.
例1 求 z x3 y2 2xy3 xy 3 的二阶偏导数.
解 先求一阶偏导数