三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：
如果先做定积分⎰2
1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰D
d y x F σ),(，就是“投
影法”，也即“先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f D
z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=2
1]),,([),,(
如果先做二重积分⎰⎰z
D d z y x f σ),,(再做定积分⎰2
1
)(c c dz z F ，就是“截面
法”，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰z
D d z y x f σ),,(，完成
了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰2
1
)(c c dz z F ，完成“后
一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z
]),,([),,(2
1σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=
当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)
（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）
（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22x
y
f y x f +时，
可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）
（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，
可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。

对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结：
1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y,z)
的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；
截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方
程易写错，故较难一些。

特殊地，对z D 积分时，f(x,y,z)与x,y 无关，可直接计算z D S 。

因而Ω
中只要],[b a z ∈, 且f(x,y,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲
面所围成的形体；被积函数为仅含z 或)(22y x zf +时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：
补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω
=zdxdydz I ，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面
0,0,0===z y x 围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 2. “穿线”y x z --≤≤10
X 型 D ：
x
y x -≤≤≤≤101
∴Ω：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤10101
3.计算
解2“截面法”1.画出Ω。

2. ]1,0[∈z 过点z 作
垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。

z D 是两直角边为x,y 的直角三角形，z y z x -=-=1,1
3.计算
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω
1
1
1
0][][z
z z
D D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I
补例2：计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。

解1“投影法”
1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎩⎨
⎧=+=122
2z y x z 消去z ，
得122=+y x 即D ：122≤+y x
2. “穿线”122≤≤+z y x ，
X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-2
2111
1x
y x x ∴ ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤≤+-≤≤--≤≤-Ω1111
1:2
222z y x x y x x
3.计算
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰Ω
---+-----=
+-+=+=+x
x y x x x dy y x y x dx
dz y x dy
dx
dv y x 111
1
1
112222221
1
222
2
22
2
6
)1(π
注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”
1.画出Ω。

2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+
z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤z
r 020π
θ
用柱坐标计算 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z
r π
θ
3.计算
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=
==+=+1
0102001
0322222]31[2][][z D z
z
dz r dz dr r d dz dxdy y x dv y x π
πθ
补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω
=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω：
222x 2z 2-=+=及y x z 所围成的闭区域。

解：1.画出Ω及在xoy 面上的投影域D.
由 ⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=2
2
222x z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ： 122≤+y x 2.“穿线” 22222x z y x -≤≤+
X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-2
2111
1x
y x x Ω：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-2222222111
1x z y x x y x x
3．计算 ⎰⎰⎰⎰⎰
⎰Ω
-----+==1
1
11222
2
2
2
2),,(),,(x x x y x dz z y x f dy
dx
dxdydz z y x f I
注：当),,(z y x f 为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算⎰⎰⎰Ω
zdv ，其中Ω为22226y x z y x z +=--=及所围成的闭区域。

解1“投影法”
1.画出Ω及在xoy 面投影域D ， 用柱坐标计算
由⎪⎩
⎪
⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 化Ω的边界曲面方程为：z=6-r 2，z=r
2.解262=⎩⎨⎧=-=r r z r z 得 ∴D ：2≤r 即⎩⎨
⎧≤≤≤≤2020r πθ “穿线”
26r z r -≤≤ ∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤≤≤≤≤≤Ω262
020:r z r r πθ
3．计算
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰---Ω
===D
r r
r r
r r dr z r zdz rdr
d rdrd zdz zdv 2
2
2
620
2
62
62]21[2][π
πθθ
⎰⎰=
+-=--=2
522
2
2
23
92
)1336(])6[(πππdr r r r dr r r r 。

解2“截面法”
1.画出Ω。

如图：Ω由r z r z =-=及26围成。

2. ]6,2[]2,0[]6,0[ =∈z 21Ω+Ω=Ω
1Ω由z=r 与z=2围成； ]2,0[∈z ，z D ：z r ≤
1Ω：⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≤≤20020z z r πθ
2Ω由z=2与z=26r -围成； ]6,2[∈z ，z D ：z r -≤6
2Ω：⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≤≤≤≤626020z z r πθ
3.计算
⎰⎰⎰Ω
zdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+ΩΩ2
6
2
1
2
1
2
][][z z D D dz rdrd z dz rdrd z zdv zdv θθ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=
-+=-+=+=2
6
2
23
6
2
2
2
2
6
2
2
3
92)6(])6([)]([21πππππdz z z dz z dz z z dz z z dz zS dz zS z z D D 注：被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。

补例5：计算⎰⎰⎰+dv y x )(22，其中Ω由不等式A z y x a ≤++≤≤2220，0≤z 所
确定。

解：用球坐标计算。

由⎪⎩
⎪
⎨⎧===φρφθρφ
θρcos sin sin sin cos z y x 得Ω的边界曲面的球坐标方程：A a ≤≤ρ
P Ω∈，连结OP=ρ，其与z 轴正向的夹角为φ，OP=ρ。

P 在xoy 面的投影为P '，连结P O '，其与x 轴正向的 夹角为θ。

∴Ω：A a ≤≤ρ，2
0πφ≤
≤，πθ20≤≤
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=+π
π
ρφρφρφθ202
02
2
2
2
2
sin )sin ()(A
a d d d dv y x =⎰2
53
]51[sin 2π
φρφπd A a =)(154132)(52sin )(52555520
35
5a A a A d a A -=⨯⨯-=-⎰ππφφππ
三重积分的计算方法练习
1. 计算⎰⎰⎰+dv y x )22（，其中Ω是旋转面z y x 222=+与平面z=2,z=8所围成的闭区域。

2. 计算⎰⎰⎰Ω
+dv z x )（，其中Ω是锥面22y x z +=与球面221y x z --=所
围成的闭区域。

为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。