利用导数研究函数的图像-曲线的绘制

2
)
dC 令 0, 得 dx
x 1000或 x 1000.
唯一驻点
舍去
故生产1000件产品可使平均成本最小.
x (2)利润函数L( x ) 500 x (25000 200 x ) 40
2
总收入
成本
dL x 由 300 0 得 x 6000, 唯一驻点 dx 20
学习兴 趣最大 学习兴 趣增加
学习兴 趣减少
t 13
x x
常数)那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平 渐近线.
1 例如 y 有两条铅直渐近线 ( x 2)( x 3) x 2, x 3.
两条铅 直渐近 线
y arctan x有两条水平渐近线 y
π
2
,
y
π
2
.
斜渐近线
如果 或
x x
这是一道关于最大、最小值的应用题.
提示与分析：
先建立目标函数，然后再用求最值的方法 求出未知量.
x 解 (1)由C ( x ) 25000 200 x , 得 40
25000 x 平均成本C ( x ) ( 200 x 40 25000 1 dC , 因而 2 dx x 40
铅直渐近线
曲线的渐近线
水平渐近线
斜渐近线
铅直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线)
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) 那
x x0
么x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线.
水平渐近线(平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b ( b 为

x 1是曲线的铅直渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x ( x 1)
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x 1 2( x 2)( x 3) 2 x( x 1) lim x x 1
f ( x ) 0
y
y f ( x)
切线的斜率 越来越大
f ( x )单调增加
o x
f ( x )的图像为凹弧
观察右图：
当x从小变大时， f ( x )从大变小.
y
切线的斜率越 来越小
f ( x ) 0
f ( x )单调减少
o
y f ( x)
x
f ( x )的图像为凸弧
4 x 12 lim 4, x x 1
通分
y 2 x 4是曲线的一条斜渐近线.
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
2、利用导数绘制函数的图像
图形描绘的步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2) 考察函数的对称性、周期性； (3) 求函数的间断点、驻点、不可导点，把定 义域分成若干个子区间； (4) 列表讨论函数在各个子区间内的增减性、 凹凸性，判断极值点和拐点；
故生产6000件产品，可使利润最大.
例5 心理学研究表明，小学生对概念的接受 能力G (即学习兴趣、注意力、理解力的某种 量度)随时间t的变化规律为 G ( t ) 0.1t 2 2.6t 43 t [0, 30]. 问t为何值时学生学习兴趣增加或减退？何时 学习兴趣最大？
函数的增减性 最值问题
x
y ax b 即为曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线.
f ( x) 注意：如果 lim 不存在， x x f ( x) 或 lim a 存在, x x 但 lim[ f ( x ) ax ] 不存在,
x
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线.
(5) 确定曲线的渐近线； (6) 求曲线上的一些辅助点，比如与坐标 轴的交点； (7) 根据以上讨论，从左到右，把曲线上 的特殊点用平滑曲线连接起来，完成作图.
例3 作函数 ( x ) e 的图形.
x2
解 定义域为D : (, ), 函数为偶函数，
只需做(0, )的函数图像，
( x )
( x )


2 2
2 ( , ) 2

0
拐点 2 1 ( , ) 2 e

凹
( x)
极大值 1
凸
y
1
2 2
o
2 2
x
三、应用举例
例4 已知某厂生产x件产品的成本为 x2 C ( x ) 25000 200 x (元 )，问： 40 (1)若使平均成本最小，应该生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利润最大， 应该生产多少件产品？
第四节
利用导数研究函数的图像 —曲线的绘制
主要内容： 一、函数的凸凹性 二、利用导数绘制函数的图像
在研究函数特性时往往需要 知道函数的直观图形，利用函 数的一阶、二阶导数可以绘制 出函数的较精细的图形.本节将 研究这个问题.
一、曲线弯曲方向—凹凸性
观察右图：
当x从小变大时， f ( x )也从小变大.
( x ) (e
x2
) 2 xe
x2
x2
,
x2
复合函数求导
( x ) (2 xe
) 2e
4x e
2 x2
.
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
2 2 令 ( x ) 0, 得特殊点x ,x . 2 2
曲线 在[0, )为凹的.
注意到点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
拐点
凹 弧
y x
3
Байду номын сангаас
凸 弧
分界 点
二、利用导数绘制函数的图像
1、曲线的渐近线
定义 当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P沿着曲 线移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线y f ( x ) 的一 条渐近线.
二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧； 二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二
阶导数为零，且两侧异号，是拐点.
例1 判断曲线 y x 的凹凸性.
3
y 3 x 2 , y 6 x , D : ( , ). 解
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时，y 0,
解 G(t ) 0.2t 2.6 0.2(t 13),
由G(t ) 0，得t 13.
唯一驻点
所以x 13是G(t )的最大值.
当t 13时, G(t ) 0, G(t )单调增加； 当t 13时, G(t ) 0, G(t )单调减少.
可见讲课开始后第13分钟时小学生兴趣 最大.在此时刻之前学习兴趣递增，在此时 刻之后学习兴趣递减.
( x) 2 xe , ( x) 2e
x2
x2
4x e
2 x2
2e (2 x2 1).
x2
lim ( x ) lim e
x x
x2
0, 得水平渐近线 y 0.
列表确定单调区间、凹凸区间及极值、拐点.
x
0
0
2
2 (0, ) 2
2( x 2)( x 3) 例2 求曲线f ( x ) 的渐近线. x 1 提示与分析： 铅直渐近线 定义域不存在的点
曲线的渐近线
自变量趋向无穷远 水平渐近线 处，函数的极限
斜渐近线
斜渐近线与水平渐近 线不会同时出现
解 函数的定义域为D : (,1) (1, ), 2( x 2)( x 3) lim f ( x ) lim , x 1 x 1 x 1 2( x 2)( x 3) lim f ( x ) lim . x 1 x 1 x 1
lim [ f ( x ) (ax b)] 0
lim [ f ( x ) (ax b)] 0 (a, b 为常数)
那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax ] b.