【高考数学】柯西函数方程

第十八讲 柯西函数方程（抽象函数）
)(x f )()()(y f x f y x f +=+.1)1(=f
(1)求)0(f 的值,并判断)(x f 的奇偶性;(2)解关于x 的不等式:.02)2()2(2<+++-x f x x f 解：（1）()()()f x y f x f y +=+，故令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f =+(0)0f ∴= 又令0x y x y +==-，即，(0)()()0f f x f x =+-=()()0f x f x ∴+-=()f x ∴为奇函数。

（2）(1) 1.f =()()()()()()(11)112
(21)213(31)314f f f f f f f f f ∴+=+=+=+=+=+=；
()(1)(1)(1)1=-+=-+f x f n f f n 全部相加得：()()11=-+=f n n n ； 同理()⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
⋅=+++=⇒
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
m n n n n n n
f n f m f f f n f m m m m m m 个
，
故()R x x x f ∈=对恒成立。

故22222034041x x x x x x x -+++<⇒-->⇒><-或。

()y f x =是定义在R +的函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=()131f =1x >时，()0f x <．
秒杀秘籍：柯西函数方程
二元函数方程：R R f →:)()()(y f x f y x f +=+是一个非常重要的函数方程，这个方程最早由法国数学
家柯西加以研究的，后来称之为柯西函数方程。

很多问题可以通过变化归结为柯西函数方程。

通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使解是唯一，我们大多给予一些附加条件。

解这类函数方程的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得
到函数方程的解。

对于常见的二元函数方程式我们有以下之结果：
(1) ()()()f x y f x f y +=+，()(1)f x xf =（正比例函数）(2) )()()(y f x f y x f =+，x f x f )]1([)(=（指数函数）(3) )()()(y f x f xy f +=，x x f b log )(=（对数函数） (4) )()()(y f x f xy f =，a x x f =)(（幂函数）
解题口诀：和为零，积为一，加变减，乘变除.
和为零：就是先令0x y ==，求出(0)f ，再令0x y x y +==-，即，求出()()f x f x -=-；
积为一：就是先令1x y ==，求出(1)f ，再令11y
x y x ⋅==，即，求出1
()()f f x x
=-； 加变减：就是将()f x y +变成()12()f x y f x x -⇒-的过程； 乘变除：就是将()f x y ⋅变成12()x x f f y
x ⎛⎫
⇒
⎪⎝⎭
的过程；
x ）()f xy =120x >>，故）
()131f
=故可得：(
1010⎪-⎨⎪⎩x 11111333333⎫
⎡⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅=+++=⇒⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎣ ⎪⎝⎭
n n f f f x f 个个
11113333⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
m m m m f f f mf
个
的函数恒成立；
()f x 的定义域是R ，对任意x ,y 恒有()()()f x y f x f y +=⋅0x >()01f x << ．（1）求证：()01f =，且当0x <时，()1f x <；（2）判断()f x 在R 上的单）()f x y +时，(0)f x +0y =⇒=()1
(x f -= (0f x <-()21
f f x f = A B ．2 C ．4 D ．6
2.定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。

若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________.
3.已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是___1<X<2__________________.
4.
()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()(),(4)2,f xy f x f y f f =+==且则
12
5.如果()()(),(1)2,f x y f x f y f +==且则(2)(4)(6)(2015)(1)
(3)
(5)
(2014)
f f f f f f f f +++
+
= 16 ；
则
2(1)(2)(1)f f f ++ 222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)
f f f f f f f f f +++++=
6.对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：()()()1f x y f x f y xy +=+++，若1)1(=f ，则=-)8(f （ C ）
A.-1
B.1
C. 19
D. 43
7..对任意实数,x y ，均满足[]2
2()()2(),(1)0,(2014)f x y f x f y f f +=+≠=且则__1007 _____.
8.已知函数()y f x =的定义域为R,且不恒为0,且对任意,x y R ∈,都有()()()f x y f x f y +=+;(1)求(0)f 的值;(2)判断函数()y f x =的奇偶性;(3)当0x >时,()0f x <,判断函数()y f x =的单调性。

9.已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足:恒有()()()f xy f x f y =+,且当1x >时,()0f x <.(1)求(1)f 的值;(2)证明:函数()f x 在区间(0,)+∞上为单调递减函数;(3)若(3)1f =-,(ⅰ)求(9)f 的值; (ⅱ)解不等式:(3)2x f <-.
10.设函数()y f x =是定义在+R 上的函数,并且满足下面三个条件:(1)对正数*,x y R ∈都有()()()f xy f x f y =+;(2)当1x >时,()0f x <;(3)(3)1f =-｡则(Ⅰ)求(1)f 和1()9
f 的值;(Ⅱ)
如果不等式()(2)2f x f x +-<成立,求x 的取值范围.(Ⅲ)如果存在正数k ,使不等式()(2)2f kx f x +-<有解,求正数k 的取值范围
11.函数()y f x =
的定义域为{}0
D x x ≠，
且满足对于任意,x y D ∈，有()()()f xy f x f y =+， （1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明；（3）如果
()()(4)1,31263f f x f x =++-≤，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围。

12.已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1x y ∈-,0x y +≠ 有
[]()()()0x y f x f y +⋅+>.(1)判断()f x 的单调性,并加以证明;(2)解不等式
1
()(12)2
f x f x +<-;
13.已知函数)(x f 是定义在[-1,1]上的奇函数,且1)1(=f ,若
0)
()(,
0],1,1[,>++≠+-∈y
x y f x f y x y x
(1)证明: )(x f 在[-1,1]上是增函数;(2)解不等式)1
1()21(-<+x f x f ;
14.若定义在R 上的函数()f x 对任意的12,x x R ∈，都有1212()()()1f x x f x f x +=+-成立，
且当0x >时，()1f x >。

（1）求证：()1f x -为奇函数；（2）求证：()f x 是R 上的增函数；（3）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<．
15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2
f m n f m f n +=++,且
1
()02
f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...(10)f f f f ++++ (3)判断函
数()f x 的单调性,并证明.
秒杀秘籍：柯西函数方程处理符号和常数的技巧
(1) ()()()0;()()()2()()()f b f x y f x f y b f x f x b f x y f x f y b
⎧=-⎪
+=++⇒-+=-⎨⎪-=--⎩
，()(1)f x xf b =-（一次函数）
(2) ()00
()()()1()()()1f x y f x f y f x y
xy f x f y f xy ⎧=+⎪
+=⇒-⎨+-=⎪-⎩
，
(3)()()010()()=()()()⎧==⎪
⎪=⋅⇒⎛
⎫⎨⋅+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎩y
n n f x f f x y f x f x x x f x f x f x 个个，()11()log -=f f x x （对数函数） (4)
()()()()()()()()()10,10
()()()11f xy f x f y xy x y
f f f xy xf y yf x f x f x xf f x ⎧=-=⎪⎪
=+⇒⎡-⋅⎤=-+-=-⎨⎣⎦⎪=+⎪⎩（导函数）
(5) )()()(y f x f xy f =，a x x f =)(（幂函数）
16.定义在区间（0，∞）上的函f(x)满足：（1）()f x 不恒为零；（2）对任何实数,x q ,都有)()(x qf x f q =.
（1）求证：方程()0f x =有且只有一个实根；（2）若1a b c >>>，且2a c b +=求证：2()()()f a f c f b ⋅<；
17.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意
,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1
()13
f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减
函数; (3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.
18.定义在R +上的函数()f x 满足: ①对任意实数m ,()()m f x mf x =; ②(2)1f =。

(1)求证:()()()f xy f x f y =+对任意正数,x y 都成立; (2)证明()f x 是R +上的单调增函数;(3)若()(3)2f x f x +-≤求x 的取值范围.
19.已知函数)(x f 在(1,1)-上有定义，1)2
1
(-=f ，当且仅当10x >>时，0)(<x f ，且对任意(1,1)()()().1x y x y f x f y f xy
+∈-+=
+、都有（1）求证：)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 在（－1，1）上单调递减；（3）求不等式1)1()(≥++x f x f 的解集.
20.已知函数()f x 的定义域关于原点对称且满足()1()()1()()()
f x f y f x y f x f y -+=+，（2）存在
正常数a ，使()1f a =.求证：()f x 是奇函数。

21.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：（1）对于任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x y
f x f y f xy
++=
+当(1,1)x ∈-时，有()0f x >求证:()f x 是奇函数；
22.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有
()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）
求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值
23.已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。

(Ⅰ)求0x 的值；(Ⅱ)若0()1f x =,且对任意正数x ,有()1()12
x g x f =+, ,求()g x ；
24.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a •=+.
(1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;
若(2)2f =,()*(2)
()n f g n n N n
=∈,求()g n 的解析式
25.函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0，（1）求(0)f 的值；（2）对任意的11
(0,)2
x ∈，21(0,)2
x ∈，都有f (x 1)+2<log a x 2成立时，求a 的取值范围．。