塑性力学讲义-全量理论与增量理论

应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。
一、全量理论的基本假设 1 、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。
1 2 ii ii E
e
,
P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴 ,即，
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 3
§4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且 是简单加载的条件下与实验结果接近，可以 证明是正确的。 一、简单加载 0 t ij 物体内 在简单加载的情况下， ij 每一点的应力和应变的主方向都保持不变。 其主值之比也不改变。在应力空间中，应力 点的轨迹是直线。 依留申在1943年继续解决了在什么条件
107 0.004 200000 300
e P

1 0.3
（2）等向强化 当应力从 246 .5MPa 开始减小到 246 .5MPa 材料重新进入屈服。在此过程中塑性应变保 P 持不变为 0.002，仅产生弹性应变，因此， 在 246 .5MPa 时，对应的应变为
2 、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3 、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
§4-2 广义Hooke定律 弹性范围内，广义Hooke定律： 1 1 ,
1 2） ij 2 u i , j u j ,i
3）
2 i S ij 3 eij i E kk kk 1 2
i
3 S ij S ij 2
， i

2 eij eij 3
4） ij li f j 5）
ui ui
将应力张量和应变张量分解为球张量和偏张 量部分，则Hooke定律改写为
1 2 ii ii , E 1 eij S ij 2G
E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
x
x
y
z

G 1 zx zx G 1 xy xy G
（1）
第二式可以写为 m 3K m 其中 K E
31 2
第一式，且 0.5, ij eij ， 故
3 i ij Sij 2 i
2 i ij 或 Sij 3 i
பைடு நூலகம் 1 2 又因为S z z m z z , Sz z 3 3 i i 其展开式为 i , 3 i
200 0.004 200000 300
e P

1 0.3
§4-4 全量理论的基本方程 及边值问题的提法 全量理论的边值问题及解法 设在物体 V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上 给定面力 f i ，在位移边界 Su 上给定 u i ，要求 物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、位移 u i 。 确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
背应力应为
b 46.5
P
93 300 0.004

0.002
m n 0.004
P 0.3

P n 1

d P

代入加载条件 b s 0 得：
b s 107 300 0.004
P 0.3

因此，导出的应力—应变关系为
2G
2 i
（因 i E i 21 G i ，而塑性状态 0.5） 当应力从加载面卸载时，也服从广义 Hooke 定律，但是不能写成全量形式，只能写成增 量形式。 1 2 1
d ii E d ii , de ij 2G dS ij
§4-3 全量型本构方程 由于在塑性变形状态应力和应变不存在 一一对应的关系。因此，必须用增量形式来 表示它们之间的关系。只有在知道了应力或 应变历史后，才可能沿加载路径积分得出全 量的关系。由此可见，应力与应变的全量关 系必然与加载的路径有关，但全量理论企图 直接建立用全量形式表示的，与加载路径无 关的本构关系。所以全量理论一般说来是不 正确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分 总是可能的。但要在积分结果中引出明确的
eij S ij
3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何， 对于同一种材料来说，应力强度是应变强度 i i 的确定函数 ，是与Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ）
ii
1 2 ii E 3 i S ij 2 i

/ MPa
200
100
2
1
随动强化
3
/ 10 3
等向强化
解：（1）随动强化 P 0.002 时，相应的应力和应变分别为
246.5MPa, 0.003232
塑性模量的表达式为
EP mn

P n 1
P 在 0.002时的背应力为
b
0.002
1 eijeij , J2 2
以 0.5 代入 i E i 1
得到 i 3G i 1 则
Sij 2G1 eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例 4-1 、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若 材料为理想弹塑性，且 0.5 。设拉力为P， 扭矩为 M ，筒的平均半径为 r ，壁厚为 t 。于 是筒内应力为均匀应力状态，有

s
2
0.707 s

s
2 1 2 3 s s 3G 3 3G
s
3G

s
6
0.408 s
例 4-2 、如图所示，简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为
0 s E P n s s m 式中 s 200MPa, E 200GPa, m 300MPa, n 0.3 。 P 拉伸加载至 0.002 ，然后卸载并方向加 载，针对下面两种情况，求出方向加载中的 应力—应变关系。 （1）随动强化；（2）等向强化。
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 §4-8 §4-9 §4-10
建立塑性本构关系的基本要素 广义Hooke定律 全量型本构方程 全量理论的基本方程及边值问题的提法 全量理论的适用范围 简单加载定律 卸载定律 Levy—Mises和Prandtl—Reuss流动法则 增量型本构方程 增量理论的基本方程及边值问题的提法 两种理论的比较
全量型塑性 本构方程为
eij
i i
（其中
3 2 i Sij Sij , i eijeij ） 2 3
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量 级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的 应力—应变关系 S ij 在弹性阶段： eij （G即剪切弹性模量）
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。 为了建立塑性本构关系，需要考虑三个 要素： 1、初始屈服条件；
求解方法和弹性问题一样，可以用两种 基本方法：按位移求解或按应力求解。在全 量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依 留申提出的弹性解法显得很方便。
将 Sij 2G1 eij代入用位移表示的平衡 微分方程得： E G K K u Gu 2Ge f 0 其中 31 2 3
,
s
2 1 2 3 3

（4）
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时 各应变分量同时达到屈服，即 s , s ，
又 3G G 3G 分别代入（4）得到
s s
, s
s

s 1

s
3G

s
s
2 1 2 3G s s 3G 3 3G
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转， 在 的比值保持不变条件下进入塑性状态

到 s 力。
s
E
, s
s
G
，用全量理论求筒中的应
解：（一）由全量理论
3 i eij S ij , i i 2 i 1 2 ii ii E
0.003232 0.000767 E
由此可得强化（硬化）函数为
k P s m( P )n 当应力 246 .5MPa ，材料进入压缩硬化，

等向硬化的加载条件为
k
d
P
P n m ( ) s
于是，应力—应变关系为
0
mn

P n 1
d m
P

P n 0.002 0
46.5MPa
此时，加载条件变为
f 46.5 s 46.5 200 0
当应力从 246 .5MPa 开始卸载，f 0 ，直 f 0 ，重新进 到反向加载到 153 .5MPa ， 入屈服。在此过程中塑性应变保持不变为 P 0.002故在 153 .5MPa 时，对应的应 变为
yz
yz
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子 （ S ii 0 ）。
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系 是应力和应变主轴重合，分配关系是应变偏 张量各分量和应力偏张量各分量成比例。为 便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的 写法一致， 3 i 1 Sij , i 3G i 将 eij S ij 改写为 eij
2G
S ij
在塑性阶段： eij 2G 上式自乘求和后开方得：
2G S ij S ij ekl ekl J2 J2
1 （ 2G
即
）
1 2 i 2 i 3 3 2 3 i i 4
i
3 Sij Sij 2
, i
2 eijeij 3
1 , J 2 Sij Sij 2
1 1 1 1 又由于 r 2 z 2 , z 2 z 2 2 1 2 故 i （ 2） 3
（二）对于理想塑性材料： i s （ 3） 将（2）、（3）代入式（1），得到

s
2 1 2 3
0.003232 0.00123 E
当应力 153 .5MPa ，将产生压缩塑性变形， P 在此阶段，塑性应变增量为 ( 0.002) 0 其绝对值是 0.002 P ，累积塑性应变为

d P 0.002 0.002 P 0.004 P
k , ki i , jj ij , j i
或
在弹性状态时，上式右端等于零，可得 到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上 式右端作为已知项，又可以解出第二次近似 解。重复以上过程，可得出所要求精度内接 近实际的解。在小变形情况下，可以证明解 能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已 能给出较为满意的结果。