空间分析文献综述

空间分析课程

文献阅读综述

空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。一个地理信息系统应当具有完备的空间分析功能，也就是说空间分析是地理信息系统的核心。

本课程涉及空间数据，空间位置，空间分布，空间形态，空间关系和地统计学的内容，由于阅读有限，故只对部分阅读过的内容做出综述。

一、用加权多项式回归进行球状模型变差图的最优拟合【1】

中国地质大学的王仁铎教授提出了加权回归多项式法拟合参数，推进了地质统计学计算过程自动化的研究。在此之前，对于变差函数的拟合一般通过做实验变差函数图，通过肉眼观察来进行人工拟合。在地质出版社1981年出版的《地质统计学及其在矿产储量计算中的运用》（候景儒，黄竞先）一书中介绍了两种理论变异曲线的构制，即手工拟合和利用最小二乘法拟合，在最小二乘法拟合中，由于实验变异曲线的头几个点的可靠性要比尾部的点大得多，如果不考虑这一因素，所得到的理论曲线势必产生偏移。最小二乘法是一种纯数学的方法，它不能充分反映地质特征【2】。而人工拟合中，则是通过对实验变异函数散点图的观察来确定各参数的，过程耗时，费力，结果因人而异，主观性强，缺乏统一、客观的标准【3】。

地质统计学有个基本工具就是变差图r(h),在二阶平稳或本征（内蕴）假设下，其定义为：

（1）其中h为沿一定方向的间隔(或称基本滞后),x 为空间点。由于变差图的性状能够同时反映区域化变量的结构特征和随机特性, 在计算估计方差、离散方差、正则化变量的变差函数和克立格方程组中的系数时都是以变差函数的计算为基础的。因此, 变差图确定得好坏就成为应用地质统计学方法能否取得成效的关键之一。

球状模型（spherical model）由地统计学理论奠基者——法国学者G.Matheron提出，也称马特隆模型。实践证明，实际工作中95%以上的实验变异函数散点图都可以用该模型拟合。其一般公式为：

其中c0为块金常数,a为变程,c为拱高,c0+c为基台值。要拟合出一条最优的球状模型变差函数曲线, 就是要确定最优的球状模型中的三个参数c0,a和c。

用加权多项式回归拟合球状模型变差图。设通过（1）式已算出n个实验变差函数值r*(hi)(i=1,2,…，n)，它是用Ni对数据对计算出来的，则球状模型可写成：

(2)

要用（2）式对实验变差函数值点进行最小二乘意义下的最优拟合，可用加权多项式回归。

令

（3）

则（2）式化为

（4）

于是，拟合就化为加权二元回归了。由于点对数越多（这些点往往是变异函数的头几个点），根据它们算出的变异函数值代表性就越强，故以数据点对数目为权进行加权二元线性回归。

根据加权二元线性回归理论可得（4）式在最小二乘意义下的三个参数b0,b1,b2如下:

其中：

但在最终拟合结果中，当b0<0时，人为规定b0=0，再进行重新拟合。此处理论模型参数的正负号问题没有解决,这是该方法的薄弱处。

对于加权多项式回归拟合方法，在许多论文中都提及，是使用较为普遍，运用较为广泛的，在科学出版社2012年出版的《地统计学概论》（刘爱利，王培法，丁园圆）一书中，介绍的变异函数理论模型的最优拟合就是主要介绍了这种方法，可见其是比较成熟的。但对于上述问题，也有人提出过其它方法来进行拟合，如长春地质学院的矫希国和刘超提出用线性规划拟合理论模型的参数,由线性方程组非负解理论解决了理论模型参数的正负号问题。

二、球状模型的最优参数估计【4】

查恩斯与库伯于1961 年提出了目标规划问题。目标规划通过引入偏差变量、绝对约束、相对约束、优先因子( 优先等级) 与权系数等概念, 结合线性规划, 使得求解最优化问题更加灵活。

偏差变量

设原问题第i个约束条件为

（5）

以变量作为该约束条件的正偏差，表示决策值超过目标值的部分；以变量作为该约束条件的负偏差, 表示决策值未达到目标值的部分。

绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的约束, 如线性规划问题的所有约束条件, 不能满足这些条件的解为非可行解, 所以他们是硬约束。目标约束是目标规划特有的, 可把约束右端项看作要追求的目标值。在得到此目标值时允许发生正或负偏差。因此, 在这些约束中加入正、负偏差变量, 它们是软约束。原问题的绝对约束变为下式:

（6）

优先因子( 优先等级)与权系数

凡要求第一位达到的目标赋予优先因子P 1, 次位的目标赋予优先因子P 2, ⋯, P k, 并规定：Pk> > Pk+ 1 ( k= 1, 2, ⋯, K ) , 表示Pk 比Pk+ 1有更大的优先权。即首先满足目标Pk , 不考虑其它目标, 然后在满足目标P k 的基础上考虑目标P k+ 1, 依次类推。

目标规划的目标函数

目标规划中的目标函数是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构成的。当某一目标确定后，决策者的要求是尽可能小的偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是

（7）

对于有n 个决策变量、m 个目标约束、目标函数中有K 个优先级的目标规划问题，其一般数学模型为:

其中：

在进行变差函数理论模型的拟合时, 可以根据经验知识、实验变差函数值点的可靠程度确定目标值、优先等级、权系数等, 建立相应的线性目标规划数学模型, 以得到最满意的变差函数参数值。目标规划模型中的变量都必须满足非负约束, 不可能计算出负的参数值, 不存在理论模型参数正负号问题。目标规划法的约束条件是软约束, 不管约束条件之间和约束条件与目标函数的关系如何, 都能求出满意解, 不会出现线性规划中无可行解的情况。

目标规划法拟合实验变差函数

同样地，将球状模型变化为（4）式的线性形式，令实验变差函数值为vi( i= 1, 2, …, m) , 根据目标规划原理列出约束条件为:

（8）

根据专家经验可列出具有不同层次和权重的目标函数, 其一般形式为:

（9）

在实际操作中，根据理论变差函数拟合的目标规划一般数学模型, 建立实例的数学模型，用