(完整版)二项式定理(PPT课件)

)5
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6 6
(
1 )6 x
2.先化简后展开
(2
x
1 x
)6
2x (
x
1)6
1 x3
(2x
1)6
=
64x3 -
192x2 + 240x -
160 +
60 x
12 x2
+
1 x3
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解:
(2
x
1 x
)6
(
2x
x
1)6
1 x3
(2x
1)6
思考1：展开式的第３项 的系数是多少？
(2)二项展开式的通项： Tk1 Cnkankbk
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式. (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业：
课本36页 习题1.3 A组 1、2、3
2、思维拓展型作业：
探究二项式系数
C
n0，C
1，
n
C
2 n
，
，C
n n
物理是我 的强项
二项式定理，又称牛顿二项式 定理，由艾萨克·牛顿于1664、 1665年间提出．
二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
数学上我同样有建树
二项式定理研究的是 (a b)n的展开式.
(a b)2 a?2 2ab b2 (a b)3 ?(a b)2(a b) (a b)4 (?a b)3(a b)
③二项式系数: Cnk (k {0,1,2, , n})
C a b T ④二项展开式的通项:
k1
杨数nk辉学，家n南和k 宋数k时学期教杰育出家的
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
(a
b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C61(2x)5
C62(2x)4
C
3 6
(2x)3
C64
(2
x)2
C65
(2x)
C66
]
64 x 3
192x2
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnka b nk k Cnnbn(n N * )
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2, , n)
有何性质.
杨辉，南宋时期杰出的 数学家和数学教育家
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解: 1.直接展开
(2
x
1 x
)6
C60 (2
x
)6
C
1 6
(2
x )5(
1 x
)
C
2 6
(2
x )4(
1 )2 x
C
3 6
(2
x )3(
1 x
)3
C
4 6
(2
x )2(
1 x
)4
C
5 6
(2
x )(
1 x
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
C
k n
a
nk
(b)k
C
n n
(b)n
(1
x)n
C?n0
C
1 n
x
C
k n
x
n
C
n n
x
n
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 直接展开
(2
x
1 x
)6
C60 (2
x )6 C61(2
x )5(
1) x
C62(2
x )4( 2 1x )2 C63(2
1
3
(a b)(a b)(a b)
③
展开式：(a
b)3
C30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C 33 b 3
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的4 展开式.
(a b)2
C 20a 2
C2
1ab
2
C
22b
2
(a
b)3
C
0a
3
3
C 31a 2b
C
2 3
ab2
C
3 3
b3
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
(a b)n ?
探究3：请分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L ankbk L bn
②系数：C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a n k bk
n个(a b)相乘
k个(a b)中选b
C
k n
n k个(a b)中选a
x
解:
(2
x
1 x
)6
(
2x
x
1)6
1 x3
(2x
1)6
思考1：展开式的第３项
的系数是多少？
思考2：展开式的第３项
T21
C
2 6
(2
x )4(
1 )2 x
的二项式系数是多少？
240x
思考3：你能否直接求出
展开式的第３项？
③展开式：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
①项数： 共有n＋1项
②次数： 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
思考2：展开式的第３项
1 x3
[
2x6
C16
2x5C62
2x 4
C63 2x3C46 2x2C56 2x C66 ]
的二项式系数是多少？ 64x3 192x2 240x 160
思考3：你能否直接求出 展开式的第３项？
60 12 1 x x2 x3 .
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x )3( 1 )3 2x
C64(2
x )2(
1 x
)4
C
5 6
(
2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64 x 3
192x2
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 先化简后展开
(2
x
1 x
)6
(2x 1)6 x
1 x3
(2x
1)6
1 x3
[(2 x )6
探究1 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
① 项： a 3 a 2b ab2 b3
②
系数：C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
a3kbk
k 0,1,2,3
C
k 3
分析a2b (a b)(a b)(a b)
C (a b)(a b)(a b)