第1章 传感器的一般特性-2

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（3） 传感器的时域动态性能指标 ：
①上升时间tr ②峰值时间tp ③调节时间ts ④超调量σ%
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tr-上升时间,系统输出响应从零开始第一次上升到稳态值时间。 tp-峰值时间，系统输出响应从零开始第一次到达峰值时间。 ts-调节时间，系统输出响应达到并保持在稳态值±5%(±2%)误差 33
yt y20 t
6
静态测量不确定度
又称静态误差，指传感器在其全量程内任 一点的输出值与其理论值的可能偏离程度。 常用标准差σ计算
1 n 2 (yi ) n 1 i 1
(2 ~ 3) 100% YFS
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例子：
• 测控技术与仪器专业——“量子”科技创 新团队研制了一台称重传感器的样机，对 该传感器进行校准实验后获得下表所列的 数据。 • 试根据表中的数据确定该传感器的线性度 、灵敏度、迟滞等静态特性参数指标。
Lmax L 100% YFS
2
• 线性度计算时拟合直线常用的拟合方法有：
– – – – –
y YF S
理论拟合 过零旋转拟合 端点连线拟合 端点平移拟合 最小二乘拟合
Lm ax
y y
y YF S
Lm ax
L1 ＝ Lm ax
YF S
YF S
L3 ＝ Lm ax
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(2） 二阶传感器的单位阶跃响应
二阶传感器的微分方程为
d 2 y (t ) dy(t ) 2 2 2 y ( t ) 0 0 0 kx(t ) 2 dt dt
设传感器的静态灵敏度k=1，其二阶传感器的传递函数为
2 0 H ( s) 2 2 s 20 s 0
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例子：热电偶测温
• 从温度t0℃环境中——温度t1℃的恒温水槽中 • 热电偶测量的介质温度（输入）从t0— t1 • 热电偶反映出来的温度（输出 ）从t0 — t1 需要经历一段时间，即有一段过渡过程 • 热电偶反映出来的温度与其介质温度的差 值就称为动态误差 t /℃
动态误差 t1
t0 o
0
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1） 阶跃响应特性
• 分析方法：时域分析法
– 从时域中对传感器的响应和过渡过程进行分析。
• 一阶传感器的单位阶跃响应 • 二阶传感器的单位阶跃响应
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(1) 一阶传感器的单位阶跃响应
一阶传感器的微分方程为

dy (t ) y (t ) kx (t ) dt
设传感器的静态灵敏度k=1， 写出它的传递函数为
H ( s) Y ( s) 1 X ( s ) s 1
对初始状态为零的传 ) 1
t≤0 t>0
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输入信号x(t)的拉氏变换为
1 X ( s) s
一阶传感器的单位阶跃响应拉氏变换式为
1 1 Y ( s) H ( s) X ( s) s 1 s
对上式进行拉氏反变换， 可得一阶传感器的单位阶跃响应信号为
y (t ) 1 e

t

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x(t)
y(t) x(t) y(t)
1
0

0.632
2
0.865
3
0.950
4
0.982
5
0.993
t
一阶传感器单位阶跃响应
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• 传感器存在惯性， 其输出不能立即复现输入信号， 而是从零开始，按指数规律上升， 最终达到稳态 值。 • 理论上传感器的响应只在 t 趋于无穷大时才达到 稳态值，但通常认为t=（3～4）τ时，如当t=4τ时 其输出就可达到稳态值的98.2%，可以认为已达 到稳态。 • 一阶传感器的时间常数τ越小，响应越快，响应曲 线越接近于输入阶跃曲线，即动态误差小。 • 因此，τ值是一阶传感器重要的性能参数。
m
S—拉普拉斯算子
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• 传递函数是描述传感器特性的函数，只与传感 器的结构参数有关 • 若传感器由多个环节组成，则传感器的传递函 数可用各单个环节的传递函数之乘积表示：
W (s) W1 (s) W2 (s) Wn (s）
• 传递函数是拉氏算子的有理分式
– 分子的阶数m不能大于分母的阶数n
上式通常改写成为
dy (t ) y (t ) kx (t ) dt
式中：τ—传感器的时间常数，τ=a1/a0 k—传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b0/a0
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• 时间常数τ具有时间的量纲，反映传感器惯 性的大小。 • 静态灵敏度说明其静态特性。 • 一阶系统又称为惯性系统。 • 不带套管热电偶传感器、玻璃液体温度计、 由弹簧和阻尼组成的机械系统等均可看作 为一阶系统。
输入量x/ N 正行程输出 0 y1/ mV
0
1
2.03
2
4.12
3
6.24
4
8.09
5
6
7
8
10.20 12.22
14.30 16.25
反行程输出 0.01
y2/ mV
1.99
4.06
6.17
8.04
10.15 12.18
14.27 16.25
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1.2 传感器的动态特性 • 定义：指输入量随时间变化时传感器的响 应特性。 • 一个动态特性好的传感器，其输出将再现 输入量的变化规律，即具有相同的时间函 数。 • 动态误差：实际的传感器，输出信号将不 会与输入信号具有相同的时间函数, 这种输 出与输入间的差异就是动态误差。 • 原因：传感器的惯性和滞后。
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线性定常系统具有两个重要特性： 叠加性和频率保持性 • 叠加性：当一个系统有n个输入同时作用时， 它的响应等于这n个输入单独作用之和，即 各个输入量引起的输出是独立的。
• 频率保持性：当线性系统的输入为某一频 率时，则系统的稳态响应也为同一频率的 信号。
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传递函数：
设 x 、 y 的初始条件为零，对上式进行拉氏变换，可得
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an s nY ( s) a2 s 2Y ( s) a1sY ( s) a0Y ( s)
3） 二阶系统
bm s X ( s) b1sX ( s) b0 X ( s)
m
二阶系统的微分方程为
d 2 y (t ) dy(t ) a2 a1 a0 y (t ) b0 x(t ) 2 dt dt
• 分母的阶次n用来代表传感器的特征
– n=0 零阶， n=1 一阶， n=2 二阶
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an s Y ( s ) a1sY ( s) a0Y ( s )
n
bm s m X ( s ) b1sX ( s) b0 X ( s )
1） 零阶系统
在方程式中的系数除了 a0、b0之外，其它的系数均 为零，微分方程变成简单的代数方程， 即 a0y(t)=b0x(t)
衰减快慢不同
3)ξ=1 ， 临 界 阻 尼 ，
单调上升，由不振荡
到振荡的临界过程
0
0 nt
4)ξ>1 ， 过 阻 尼 ， 单
调上升
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• 阻尼比ξ直接影响二阶系统阶跃响应特性。 • 为了获得满意的响应特性，对于二阶传感器 取ξ=0.6～0.7之间，最大超调量不超过10%， 过渡过程时间也较短。 • 固有频率ω0也即等幅振荡的频率，ω0越大， 传感器的响应也越快。
二阶系统的微分方程通常改写为
d 2 y(t ) dy(t ) 2 2 2 y ( t ) 0 0 0 kx(t ) 2 dt dt
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d 2 y(t ) dy(t ) 2 2 2 y ( t ) 0 0 0 kx(t ) 2 dt dt
式中： • k——传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b0/a0 • ξ——传感器的阻尼系数 • ω0——传感器的固有频率
传感器输出的拉氏变换为
2 0 Y ( s) H ( s) X ( s) 2 s(s 2 20 s 0 )
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二阶传感器单位阶跃响应
y(t) 2
1)ξ=0 ， 零 阻 尼 ， 等
幅振荡
2)0<ξ<1 ， 欠 阻 尼 ，
1
0.7 1 2
＝0 0.1 0.3 0.5
振荡衰减， ξ 值不同，
通常将该代数方程写成
y(t)=kx(t) 式中，k=b0/a0为传感器的静态灵敏度或放大系数。
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• 零阶系统具有理想的动态特性 • 无论被测量x(t)如何随时间变化，零阶系统 的输出都不会失真，其输出在时间上无任 何滞后 • 零阶系统又称为比例系统。 • 在工程应用中，电位器式的电阻传感器、 变面积式的电容传感器等均可看作零阶系 统。
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an s nY ( s) a1sY ( s) a0Y ( s)
2） 一阶系统
bm s X ( s) b1sX ( s) b0 X ( s)
m
若在方程式中的系数除了 a0 、 a1 与 b0 之外，其它
的系数均为零，则微分方程为
dy (t ) a1 a0 y (t ) b0 x (t ) dt
an s nY ( s ) a1sY ( s) a0Y ( s ) bm s X ( s ) b1sX ( s) b0 X ( s )
m
Y ( s) 与 X ( s ) 的比值定义为传感器的传递函数 W ( s )
Y ( s) bm s b1s b0 W ( s) n X ( s) an s a1s a0
作为二阶系统。
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2. 传感器的动态响应特性
• 传感器的动态特性不仅与传感器的“固有特性” 有关，还与传感器输入信号有关。 • 输入信号一般是有规律的周期信号或非周期信号 • 最简单的周期信号是正弦输入信号，复杂的周期 信号可以分解成各种谐波信号 • 非周期性代表信号是阶跃输入信号，其他瞬变输 入可以看作若干阶跃输入的叠加 • 研究动态响应主要考虑正弦输入信号和阶跃输入 信号
dny d n 1 y dy a n n a n 1 n 1 a1 a0 y dt dt dt d mx d m 1 x dx bm m bm 1 m 1 b1 b0 x dt dt dt
式中，a0、a1、…, an, b0、b1、…., bm是与传感器的结构 特性有关的常系数。
L2
o (a )
x
o (b )
x
o (c)
L1
x
o (d )
L2
L3
x
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• 迟滞误差 – 迟滞现象：传感器在正行程（输入量增大）反行 程（输入量减小）中输出输入特性曲线不重合的 现象 – 迟滞误差：传感器在全量程范围内最大的迟滞差 值ΔHmax与满量程输出值YFS之比
1 H max H 100% 2 YFS
/s 10
产生动态误差的原因：
• 温度传感器有热惯性（由传感器的比热容 和质量大小决定）和传热热阻。带有套管 的热电偶其热惯性要比裸热电偶大得多。
• 热惯性是热电偶固有的，因此传感器的动 态特性与传感器的 “固有特性” 有关，其 表现形式和作用程度有所不同。
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1. 数学模型与传递函数
数学模型：用线性微分方程来描述传感器动态特性
第1章 传感器的一般特性
• 传感器的特性主要是指输出与输入之间的关系
• 静态特性：当被测量(输入量)为常量，或变化 极慢时，其输出与输入的关系
• 动态特性：当被测量(输入量)随时间较快地变 化时，其输出与输入的关系 • 静态特性是动态特性的一个特例
1
静特性主要技术指标
• 线性度（非线性误差）
– 指在全量程范围内实际特性曲线与拟合直线之间 的最大偏差值ΔLmax与满量程输出值YFS之比。
• 重复性 – 指传感器在输入量按同一方向作全量程连续多次 变化时，所得特性曲线不一致的程度
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• 灵敏度
– 输出量增量Δy与引起输出量增量Δy的相应输入 量增量Δx之比。
y S x
• 分辨力
– 指传感器能检测到的最小输入增量。
• 阈值
– 指传感器在输入零点附近的分辨力。
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• 漂移
– 在输入量不变的情况下，传感器输出量随着时 间变化。 – 温度漂移(ξ)常用传感器工作环境温度偏离标准 环境温度（一般为20℃）时输出值的变化量与 温度变化量之比来表示。
a1 /(2 a0 a2 )
0 a0 / a2
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根据二阶微分方程特征方程根的性质不同， 二阶 系统又可分为： ① 二阶惯性系统：其特点是特征方程的根为两个 负实根， 它相当于两个一阶系统串联。 ② 二阶振荡系统：其特点是特征方程的根为一对
带负实部的共轭复根。
带有套管的热电偶、磁电式振动传感器等均可看