公开课、竞赛课课件 等腰三角形的性质

求证：BD＝CD，∠1＝∠2． 证明：在Rt△ABD 和Rt△ACD中
AB＝AC AD＝AD ∴Rt△ABD ≌Rt△ACD（HL）
∴BD＝CD，∠1＝∠2
归纳总结 等腰三角形的性质2：
简称为“三线合一”
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相
互重D＝CD，∠1＝∠2．
证明
（1）如图，∠1＝∠2，AB＝AC
．
证求明证：：在A△DA⊥BBDC和，△BADC＝DC中D
．
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
∴△ABD ≌△ACD（SAS）
∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD
又∵∠ADB＋∠ADC＝180° ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC
如何证明两个角相等呢？ 可以证明三角形全等
如何构造全等三角形呢？ AD是中线or高or角平分线？
证法一：作底边上的中线
已知：△ABC 中，AB=AC．求证：∠B=∠C．
证明：作底边的中线AD，则BD=CD
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )
BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD(SSS)
D
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等)
证法二：作顶角的平分线
已知：△ABC 中，AB=AC．求证：∠B=∠C． 证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ) ∠BAD=∠CAD ( 已作 ) AD=AD (公共边)
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系 一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房 梁是水平的，你知道为什么吗？
知识回顾
顶角
腰
腰
底角
底边 有两边相等的三角形是等腰三角形 相等的两边叫做腰，另一边叫做底边
两腰的夹角叫做顶角 腰与底边的的夹角叫做底角
知识回顾 1．等腰三角形一腰为3cm，底为4cm，则它的周长是1_0_c_m____；
注意事项 作出等腰三角形腰上的中线，角平分线，高
它们重合吗？ 显然不重合
三线合一指的是底边上 的三线合一腰的三线不一定合一
书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合．
“三线合一”有三种解读方式 等腰三角形的顶角平分线， 既是底边上的中线，又是底边上的高． 应用的时候怎么写过程呢？
∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形
思考 把三角形沿着折痕折叠，你能找到重合的线段和角吗？
重合的线段 重合的角
AB=AC
∠B=∠C
BD=CD ∠ADB=∠ADC
AD=AD ∠BAD=∠CAD
猜一猜，除了两腰相等，等腰三角形还有什么性质呢？
猜想与证明 怎么证明呢？
等腰三角形的两个底角相等
先变成符号形式 已知：△ABC 中，AB=AC． 求证：∠B=∠C．
∴ △BAD ≌ △CAD(SAS) D
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等)
证法三：作底边的高线
已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C． 证明：作底边的高线AD，则∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△BAD和Rt△CAD中 AB=AC ( 已知 )
AD=AD (公共边)
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD(HL)
证明
（2）如图，BD＝CD，AB＝AC． 求证：AD⊥BC，∠1＝∠2． 证明：在△ABD 和△ACD 中 AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∴△ABD ≌△ACD（SSS）
∴∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2 又∵∠ADB＋∠ADC＝180° ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC
证明 （3）如图，AD⊥BC，AB＝AC．
∴ ∠ B= ∠C(全等三角形的对应角相等)
D
归纳总结 等腰三角形的性质1：
简称为“等边对等角”
等腰三角形的两个底角相等
这个性质在证明中怎么写过程呢？
在△ABC 中， ∵ AC =AB（ 已知） ∴ ∠B=∠C （等边对等角）
思考 通过刚才的证明，除了能得到∠B=∠C，你还能发现什么？
重合的线段 AB=AC BD=CD AD=AD
书写规范
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合．
“三线合一”有三种解读方式 方式三： 等腰三角形的底边上的高， 既是顶角平分线，又是底边上的中线． 应用的时候怎么写过程呢？ ∵AB＝AC， AD⊥BC ∴∠1＝∠2，BD＝CD
例题 如图，△ABC 中, AB =AC，∠A =36°, 则∠B =________．
重合的角 ∠B=∠C ∠ADB=∠ADC ∠BAD=∠CAD
AD同时是底边BC上的中线，高和角平分线．
猜想
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合． 如何把这个命题转化为符号形式呢？ 得写三个
（1）如图，∠1＝∠2，AB＝AC ． （2）如求图证，：BADD＝⊥CBDC，，ABBD＝＝ACCD． ． 求证：AD⊥BC，∠1＝∠2． （3）如图，AD⊥BC，AB＝AC．
答案：72°．
例题 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD ，求△ABC各角的度数．
∵AB＝AC，∠1＝∠2 ∴BD＝CD， AD⊥BC
书写规范 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合．
“三线合一”有三种解读方式 方式二： 等腰三角形的底边上的中线， 既是顶角平分线，又是底边上的高． 应用的时候怎么写过程呢？ ∵AB＝AC， BD＝CD ∴∠1＝∠2， AD⊥BC
2．等腰三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长 是1_0_c_m__或___1_1_c_m____；
3．等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周 长是___1_9_c_m_________．
动手操作 把一张长方形的纸按图中虚线对折， 用剪刀剪下一角（如图 所示），再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
等腰三角形的性质
教学目标 探索并证明等腰三角形的两个性质． 能利用性质证明两个角相等或两条线段相等． 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研 究几何问题中的作用．
教学重点 探索并证明等腰三角形性质．
教学难点 等腰三角形性质的应用．
生活中的等腰三角形
生活中的等腰三角形
为什么是水平的