定积分是确定的和式的极限

第七章 重积分

∑⎰

=→=n

i i i b a

x f x x f 1

)(lim d )(∆ξλ

现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。 §1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1、

曲顶柱体的体积

设有一立体，它是以xOy 面上的闭区域D 为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行z 轴的柱面为侧面，以曲面),(y x f z =（0),(≥y x f ，)

,(y x f 连续）为顶，这种立体叫做曲顶柱体。 2、

平面薄片的质量

设有一平面薄片在xOy 面上的区域D ，D 上任一点),(y x 的面密度为

),(y x ρ，设),(y x ρ在D 上连续，求薄片的质量

二重积分的定义：∑⎰⎰=→=n

i i i i D

f y x f 1

),(lim d ),(σ∆ηξσλ 二重积分的存在性：

设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上的二重积分一定存在。 在⎰⎰D

y x f σd ),(中，σd 是i σ∆的象征，叫做区域D 的面积元素。在二重

积分存在时对区域的分划是任意的，为了方便起见，采用平行于坐标的直线段分划D ，这样除了靠近边界外，各个消区域都为小矩形，

i i i y x ∆∆σ∆=，于是y x d d d =σ，所以在直角坐标系下，二重积分的表达

式为(,)D

f x y d σ⎰⎰=y x y x f D

d d ),(⎰⎰。

二、二重积分的性质

二重积分概念是定积分概念的推广，故有类似的性质。 性质1：线性性质

⎰⎰⎰⎰=D

D

y x f k y x kf σσd ),(d ),(

⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±D

D

D

y x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d )],(),([

性质2：对区域可加性

设21D D D +=，1D 与2D 只有公共边界， 则y x y x f y x y x f y x y x f D D D

d d ),(d d ),(d d ),(2

1

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=

性质3：规范性

若1),(=y x f ，D y x ∈),(，则σσ=⎰⎰D

y x f d ),(（D 的面积）

性质4：单调性

设),(),(y x g y x f ≤，D y x ∈),(，则⎰⎰D

y x f σd ),(⎰⎰≤D

y x g σd ),(

特别地，由|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤

-

则有|d ),(|⎰⎰D

y x f σ⎰⎰≤D

y x f σd |),(|

性质5：估值定理

设M 、m 分别是),(y x f 在D 上的最大和最小值，σ为D 的面积，则有

σσσM y x f m D

≤≤⎰⎰d ),(

性质6：二重积分中值定理

设),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点D

∈),(ηξ

σηξσ),(d ),(f y x f D

=⎰⎰

例1、比较⎰⎰+D

y x σd )ln(与⎰⎰+D

y x σd )][ln(2的大小。

其中（1）D 以)0,2(),1,1(),0,1(为顶点的三角形 （2）D 为矩形域53≤≤x ，10≤≤y

例2、估计二重积分y x xy D

d d ⎰⎰的值，其中D 为122≤+y x .

§2二重积分计算法

首先假设),(y x f 在D 上连续，二重积分y x y x f D

d d ),(⎰⎰存在且为一确定

的常数，这个数值与),(y x f 的结构、D 的几何形状有关，就区域而论是多种多样的，但根据区域为可加性，只要解决两类标准区域上的二重积分的计算问题。

二重积分计算的基本途径是在一定条件下化为二次积分。

一、二重积分在直角坐标系下的计算法 1、x －型区域

若区域D 可表示为：}),()(|),{(b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ψϕ 其中],[)()(b a C x x ∈ψϕ、，则D 称为x －型区域。

x －型区域的特点：D 夹在直线a x =和b x =之间，且a x =、b x =与D

的边界之交点把D 的边界分为下边界)(x y ϕ=和上边界)(x y ψ=，垂直于x 轴且穿过D 内部的任一直线与D 的边界至多相交两点。 定理：设),(y x f 在闭区域D 上连续，且D 为x －型区域，则有：

⎰⎰D

y x y x f d d ),(⎰⎰= )

( )

( d ]d ),([b a

x x x y y x f ψϕ

⎰⎰

= )

( )

( d ),(d b a

x x y y x f x ψϕ

上式右端是一个先对y 后对x 的二次积分：先把),(y x f 看作y 的函数，计算在区间)](),([x x ψϕ上的定积分（这时x 看作常数），把得到的结果（是x 的函数）在],[b a 上对x 计算定积分即为二重积分。

例1、计算二重积分y x xy D

d d ⎰⎰，其中D 由x y =，1=x 及x 轴所围成。

2、y －型区域

若区域D 可表示为：}),()(|),{(d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψϕ 其中],[)()(d c C y y ∈ψϕ、，则D 称为y －型区域。

y －型区域的特点：D 夹在直线c y =和d y =之间，且c y =、d y =与D

的边界之交点把D 的边界分为左边界)(y x ϕ=和右边界)(y x ψ=，垂直于y 轴且穿过D 内部的任一直线与D