9.6静电场之均匀带电球面球体和球壳的电场

在球的外表面， 场强大小为
kQ E0 = 2 R
可见：球面内外 的场强发生跃变。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
Q kQ = = E (r > R) E = 0 (r < R) 2 2 4πε 0 r r 取无穷远处的电势为零，取一条从P1开始 的电场线作为积分路径，则P1的电势为 ∞ ∞ ∞ ∞ kQ kQ = kQ U =E ⋅ ds =Edr = 2 dr = − ∫ ∫ ∫r r r r r r r 当r = R时，球壳 U = kQ (r > R) 0 R 外表面的电势为
(r < R)
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场 rC 3 2 2 ρR C ρ (3R − r ) U= (r < R) (r > R) U = 6ε 0 3ε 0 r
如图所示，A、B、C三点代表三个区域。 3Q 均匀带电球壳的 ρ Q = = 3 V 4π(R 3 − R0 ) 电荷体密度为 B rB A O R0 rA R
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
对于均匀带电球体，球体外 的电场强度和电势与均匀带 电球面的公式是相同的。 球体的全部体积为VR=4πR3/3， 电荷的体密度为ρ = Q/VR， 高斯面内的体积为Vr = 4πr3/3， 在球体内取一个高斯面， 高斯面内有电荷，并且电 荷的体密度处处相等。 取一条从P2开始的电场线作 为积分路径，则P2的电势为
r R O Q S2 P2 E S1 P1 E r
球面所有电荷到 球心的距离都是 R，球面的电势 可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全 就是所有电荷在 部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同。球心产生的电势。 取一条从P2开始的电场线作为积分路径，则P2的电势为 ∞ R ∞ ∞ ∞ kQ kQ U = ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds =∫ Edr =2 = = U 0 (r < R) 0+ ∫ r dr R r r R R R 球面内任何一点的电势都与表面的 电势相同，球内空腔是一个等势体。
可见：C点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
3kQ ( R + R0 ) UA = EA = 0 (r ≤ R0) 2 2( R 2 + RR0 + R0 ) 3 2 R0 kQ UB (3R 2 − r 2 − ) 3 3 r 2( R − R0 ) 3 R0 kQ (R0 ≤ r ≤ R) EB (r − 2 ) 3 3 r ( R − R0 )
2 2
U B−
−ρ R = 3ε 0 r
3 0
3 2 R0 kQ 2 2 = (3R − r − ) 3 3 r 2( R − R0 ) 当r = R0时，B 3kQ 2 = UB ( R 2 − R0 ) 3 点的电势为 2( R 3 − R0 )
3 B点的 2 R0 ρ 2 2 U B U B + += = U B− (3R − r − ) 电势为 6ε 0 r
(r ≤ R0)
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场 rC 3 2 2 ρR C ρ (3R − r ) U= (r < R) (r > R) U = 6ε 0 3ε 0 r
B点在正电荷球体之内，负电荷球体 之外，正负电荷球产生的电势为 B rB A O R0 rA R
U B+
ρ (3R − r ) = , 6ε 0
kQ
球面内部的场强为零，球面外 部场强随距离的增加而减小。 在球面的内外表面， 电场强度不连续。
均匀带电球面内外的电势是连续 的，球面内电势是一个常量，球 面外电势随距离的增加而减小。
球体内场强与距离成正比，球体 外的电场强度与球面外电场强度 的变化规律是相同的；在球的内 外表面，电场强度是连续的。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(1)一均匀带电球面，半径为R，带电量为Q，求电荷产生的电场强 度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电 场强度和电势。(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径 分别为R0和R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于 不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ [解析](1)如图所示，不论球面还是球体，由 于电荷分布具有球对称性，所激发的电场 也是球对称的，用高斯定理求解比较简单。 r 设Q > 0，不论场点在球内还是 在球外，由于对称的缘故，电场 线都沿着球心到场点的连线。 对于球外的点P1，以O为球心，过 P1点作一个半径r的高斯球面S1。 在P1点取一个面积元dS，其法线方向与场强方 向一致，通过该面积元的电通量为dΦE = E·dS。 R O
C点在正负电荷球体之外， 正负电荷球产生的电势为 3 ρ R3 − ρ R0 UC+ = , UC− = 3ε 0 r 3ε 0 r B rB A O R0 rA R
3 kQ C点的 ρ ( R 3 − R0 ) = UC UC+ + UC− = = 电势为 3ε 0 r r
(R ≤ r)
dU C kQ − C点的场强大小为 EC = = r2 dr
在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为 ρ和-ρ的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和R0， 电荷体密度分别为ρ和-ρ的均匀带电体球产生的。
2 2 ρ (3R 2 − r 2 ) U = − ρ (3R0 − r ) A点在两个球体之内，正 , U A+ = A− 6ε 0 负电荷球产生的电势为 6ε 0
∞
U=
∫ E ⋅ ds = ∫ Edr + ∫ Edr
r r R
R
∞
kQ 高斯面内的电量为q = ρVr = QVr/VR = Qr3/R3， kQ 2 2 = (R − r ) + 3 2R R 根据高斯定理得方程ΦE = E4πr2 = q/ε0，
Qr 球体内 E = kQr = U (3R 2 − r 2 ) = (r < R) 2 R3 4πε 0 R 3 R3 场强为 球心处的场强为零，球内场强与半径成正比。 均匀带电球体不 在r = R处，E kQ E 场强在球面上的 是等势体，球心 = = 0 R2 场强有 变化是连续的。 处的电势最高。
均匀带电球体中心的电势最高， 球体内的电势随距离的增加而加 速减小，球体外电势与球面外电 势的变化规律是相同的。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为R0和 R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的 球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ 根据高斯定理可先求 电场强度，再求电势。 反过来，利用均匀带电球体的电 势先求球壳的电势，再求电场。 均匀带电球体的电量与 = ρV 4 πR 3 ρ Q = 电荷体密度的关系为 3 ρ R3 球体外部的电势用= kQ 4 πR 3 k ρ = U = (r > R) 电荷密度表示为 3ε 0 r r 3 r 球体内部的电势用电荷密度表示为 kQ 2 ρ (3R 2 − r 2 ) 2 2 2 2 (3R − r ) ) k ρ R − r = π(3 U = = 3 6ε 0 2R 3 其中ε0 = 1/4πk，称为真空介电常数。
C
rC
B rB A
O R0 rA R
kQ (R ≤ r) [讨论] EC = 2 r ①当R0 = 0时，空腔缩为一点，球壳就变成球体。
kQ UC = r
3kQ A点(球心) UA = (r = 0) 当r = 0时，UB = UA，EB = EA = 0。 的电势为 2R kQ B点的场强 EB = kQ r (0 ≤ r ≤ R) 2 2 B点的 U = (3R − r ) B 3 R3 2R 大小为 电势为 ②当R0→R时，球 A点的 U = kQ B点的电势U →U 。 B A A R 壳就变成球面。 电势为
Q
Sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P1 E r
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
dΦE = E·dS。 通过高斯面的电通量为
ΦE =
蜒 ⋅ dS = ∫ ∫E
S
S
EdS = E ÑdS = ∫S
r R O
Q S2 P2 E
E4πr2
S1 P1 E r
高斯面所包围的电量为Q， 根据高斯定理ΦE = Q/ε0， Q 可得场 E = kQ (r > R) = 强大小 4πε 0 r 2 r 2 当Q > 0时，场强的方向沿着径向向外； 当Q < 0时，场强的方向沿着径向向内。 对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯 面内Q = 0，根据高斯定理得E = 0 (r < R) 可见：在均匀带电球面内，场强为零；在 均匀带电球面外，各点的场强与电荷全部 集中在球心处的点电荷所激发的场强相同。
(R0 ≤ r ≤ R) 这正好是空 腔中的电势。
B点的场强大小为
3 R0 dU B kQ EB = = 3 (r − 2 ). − dr ( R 3 − R0 ) r
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场 rC 3 2 2 ρR C ρ (3R − r ) U= (r < R) (r > R) U = 6ε 0 3ε 0 r
不妨取球壳内半径与外半径之比为0.5。 在球壳的内 空腔内的场强为零，球壳内的 外表面，电 场强随距离增加而增强，球壳 场强度是连 外的场强随距离的增加而减小。 续的。
空腔内的电势是常数，球壳中的电 势随距离的增加而加速减小，球壳 外电势随距离的增加而减速减小。
A点的 U = U + U A A+ A− 电势为 空腔内的电势为常量。 A点的场强大小为
3kQ ( R + R0 ) ρ ( R 2 − R02 ) 3kQ( R 2 − R02 ) = = = 3 2 2( R 3 − R0 ) 2( R 2 + RR0 + R0 ) 2ε 0
dU A EA = = − 0. dr