流体力学(经典课件)

§3.3 流体运动的连续性方程
将
mx、my、mz 代入上式，化简得：
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
或
( u ) 0 t
上式即为流体运动的连续性微分方程的一般形式。
§3.3 流体运动的连续性方程
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念

均匀流与非均匀流、渐变流

均匀流：各流线为平行直线的流动；其迁移加速度等于零， 即
(u )u 0

非均匀流：各流线或为曲线、或为彼此不平行的直线；其迁 移加速度不等于零，即
(u )u 0
天然河流为典型的非均匀流动。 非均匀流动根据其流线弯曲程度又可分为渐变流和急变流。
程，整理得
F t V udV A udA
上式即为欧拉型积分形式的动量方程。
§3.6 动量方程
二、定常不可压缩总流的动量方程
t () 不可压缩 对于恒定 0
c 总流，欧拉型
积分形式的动量方程可简化为
F A uudA A u2u2dA2 u1u1dA1
du f p dt
上式也称为欧拉运动微分方程。
1
§3.5 能量（伯努利）方程
一、理想流体定常元流的伯努利方程
将
du f p dt 1
1
各项点乘单位线段 ds ,得
du f ds p ds ds dt
§3.5 能量（伯努利）方程
为积分上式,现附加限制条件:
2
§3.5 能量（伯努利）方程
代入
或沿同一流线
du f ds p ds ds dt p u2 z C g 2 g
1
整理积分得：
S
2
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 g 2 g g 2g
1
上式即为理想流体定常元流的伯努利方程。
§3.5 能量（伯努利）方程
积分方程可简化为：
A undA 0
§3.3 流体运动的连续性方程
取图示管状总流控制体，因其侧面上un=0（为什么？请思考），故有
u1dA1 u2dA2 0
A1 A2
§3.3 流体运动的连续性方程
式中第一项取负号是因为流速u1与dA2的外法线方向相反，应 用积分中值定理，可得
例题1
[例1] 已知平面流动的流速分布为 ux =kx uy =-ky 其中y≥0，k为常数。试求：①流线方程；②迹线方程。 [解]据y≥0知，流体流动仅限于xy半平面内，因运动要素与时间t无 关，故该流动为恒定二元流。

流线方程：
积分得：
dx dy kx ky xy c
该流线为一组等角双曲线。
§3.5 能量（伯努利）方程
z1 p1


1v12
2g
H z2
p2


2 2 v2
2g
hW
式中：H为单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量（取“+”）或流 进水轮机失去的能量（取“-”） ☈应用定常总流的伯努利方程解题时，应注意的问题： • 基准面、过流断面、计算点的选取； •压强p的计量标准。
例题2
§3.3 流体运动的连续性方程
二、连续性积分方程
取图示总流控制体，将连续性微分方程对总流控制体积分：
V t dV V ( u)dV 0
§3.3 流体运动的连续性方程
☈ 因控制体不随时间变化，故式中第一项 V t dV t V dV ☈ 据数学分析中的高斯定理，式中第二项
v1 A1 v2 A2 Q
上式即为恒定不可压缩总流的连续性方程。
说明：流体运动的连续性方程是不涉及任何作用力的运动
学方程，因此对实际流体和理想流体均适用。 例题3
§3.4 理想流体运动微分方程
将欧拉平衡微分方程
F 0 F ma ,得
f p 0
1

推广到理想运动流体
§3.6 动量方程
• t时刻系统的动量

t t
V
udV

t
• t+Δt时刻系统的动量

V
udV



V
udV

t A1 uudA t A2 uudA t A uudA
t t
A A1 A2
§3.6 动量方程
☈ 将t时刻和t+Δt时刻系统的动量代入拉格朗日型动量方
第3章 流体动力学 理论基础
第3章 流体动力学理论基础

运动流体
第3章 流体动力学理论基础
第3章 流体动力学理论基础
第3章 流体动力学理论基础
★研究思路：理想流体（μ=0）→实际流体（μ≠0）
★研究内容：p=p(x,y,z,t),u=u(x,y,z,t) ★基本理论：质量守恒定律、牛顿第二定律 ★重点掌握：恒定总流的三大基本方程
☈应用时应注意的问题 动量方程为矢量方程，应用时必须按矢量规则进行计算。
例题7
伯努利简介
丹· 伯努利（Daniel Bernoull，1700—1782）：瑞士科 学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力学、气体动 力学、微分方程和概率论等方面都有重大贡献，是理论流体 力学的创始人。 伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世，书中 提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不可压缩、不 计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定理和相应的公式称 为伯努利定理和伯努利公式。 他的固体力学论著也很多。他对好友 欧拉提出建议，使 欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹性曲线的精确结 果。1733—1734年他和欧拉在研究上端悬挂重链的振动问题 中用了贝塞尔函数，并在由若干个重质点串联成离散模型的 相应振动问题中引用了拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂 梁振动方程；1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体 的振动试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃 动方程等。
( ) •定常流 ( 0) : t
p ds dp
p •不可压缩流体( c ) : p ds dp d 1 1
•质量力只有重力 :f· ds = -gdz •沿流线积分 :
u du ds ds du u du d dt dt 2
dx dy dz dt ux uy uz
交点
s1 s2
折点
s
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念


流线充满整个流场。 定常流动时，流线的形状、位置不随时间变化，且与迹线 重合。 流线越密，流速越大。
例题1
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念

流管、元流、总流、过流断面
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念
V ( u)dV A undA
§3.3 流体运动的连续性方程
故得连续性积分方程的一般形式为
dV undA 0 A t V
§3.3 流体运动的连续性方程
三、定常不可压缩总流的连续性方程
对于定常 (
t
V dV 0) 不可压缩 （ρ＝常数）总流 ，连续性

恒定流动与非恒定流动 一元流动、二元流动、三元流动 流线与来自百度文库线

定义
u6 u1 1 2 u2 3 u3 5
6 u5
u4
4
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念

基本方程
迹线：
流线

性质 一般情况，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线。
dx dy dz u ds 0或 ux u y uz
★连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的数学表达式。
一、连续性微分方程
取如图所示微小六面体为控制体，分析在dt时间内流进、流出 控制体的质量差：
§3.3 流体运动的连续性方程
x方向:
1 1 u x mx ( dx)(u x dx)dydz 2 x 2 x 1 1 u x ( dx)(u x dx)dydz 2 x 2 x ( u x ) dxdydz x
§3.3 流体运动的连续性方程
( u y ) m y dxdydz y Z方向： ( u z ) mz dxdydz z 据质量守恒定律：单位时间内流进、流出控制体的流体质量
Y方向：
差等于控制体内流体面密度发生变化所引起的质量增量。
即：
mx m y mz dxdydz t
☈伯努利方程的物理意义 ☈伯努利方程的几何意义
§3.5 能量（伯努利）方程
二、实际流体定常元流的伯努利方程 实际流体由于粘性的存在，在运动过程中，存在能量耗散，机 械能沿流线不守恒。 设 hW 为单位重量流体沿线的机械能损失，亦称水头损失， 则据能量恒定律，可得实际流体定常元流的伯努利方程
2 u12 p2 u2 z1 z2 hW 2g 2g
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念

渐变流：流线近似为平行直线的流动；或流线的曲率半径R足 够大而流线之间的夹角β足够小的流动。
β
R
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念
渐变流过流断面的两个重要性质

渐变流过流断面近似为平面； 渐变流过流断面上的动压近似按静压分布，即
z

p
C
§3.3 流体运动的连续性方程
例题4
§3.5 能量（伯努利）方程
三、实际流体定常总流的伯努利方程
实际工程中往往要解决的是总流问题，现将实际流体定常 元流的伯努利方程推广到总流：
z1 p1


1v12
2g
z2
p2


2 2 v2
2g
hW
☈适用条件 流体是不可压缩的，流动为定常的； 质量力只有重力； 过流断面为渐变流断面； 两过流断面间没有能量的输入或输出，否则应进行修正：

流量、断面平均流速

流量：单位时间通过的流体量。
Q A udA
常用单位：m3/s或 L/s
换算关系：1m3=1000L
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念

断面平均流速
过流断面上实际流速分布都是非均匀的。
u
v

在流体力学中，为方便应用，常引入断面平均流速概念。
Q A udA v A A
例题1

迹线方程：
dx dy dt kx ky
积分得： x
c1ekt , y c2ekt
kt kt
xy c1c2e e
'
p1
§3.5 能量（伯努利）方程
☈为了形象地了解流体运动时能量沿示的变化情况定义：
测压管线坡度
p d z Jp dl
2 p u d z 总水头线坡度 2g J dl ☈实际流体 J 0 ；理想流体J 0 ；均匀流体 J p J
0) ☈定常流 ( t ( u x ) ( u y ) ( u z )
x y z
☈不可压缩流体
对于恒定不可压缩流体，连续性方程可进行简化：
0
或
( u ) 0
( 常数) u x u y u z 0 x y z
或
u 0
2
式中：

A
uudA vQ
§3.6 动量方程
故
F Q v
2 2
1v1
上式即为恒定总流的动量方程，其中


u dA A v A
2
称为动量修正系数，一般流动β=1.02~1.05,工程中常见流动通常 取β=1.0
§3.6 动量方程
☈适用条件

不可压缩流体； 定常流动。
例题5
例题6
§3.6 动量方程
一、欧拉型积分形式的动量方程
据理论力学知，质点系的动量定理为
d F dt mu
上式是针对系统而言的，通常称为拉格朗日型动量方程.现 应用控制体概念，将其转换成欧拉型动量方程。
§3.6 动量方程
如图所示，设t时刻系统与控制体（虚线）重合，控制体内任意点 的密度为ρ、流速为 u
§3.1 描述流体运动的方法

拉格朗日法
研究对象——流体质点或质点系 ☆固体运动常采用拉格朗日法研究，但流体运动一般较固体运动复杂， 通常采用欧拉法研究。

§3.1 描述流体运动的方法

欧拉法 研究对象——流场 当地加速度（时变加速度） 迁移加速度（位变加速度）
§3.2 研究流体运动的 若干基本概念