关于道路减速带问题

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

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日期： 09年 9 月日
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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
道路减速带
摘要
我们根据题意建立模型，模型一得出了临界速度公式 22
48l H r H
+=；
V =过的速度12
7.03()V R =；22
48l H R H +=，极为相近。

然后在分析了车辆在经过减速带前后的速度、位移、加速度等的变化。

模型二我们考虑了减速带间距离与车辆行驶速度的关系，建立了两者的函数关系，并设置了一个减速系数为η，且0
S S η=。

来衡量减速效果。

最终通过作图可得出最优解。

模型三，我们考虑对时间的优化，建立了减速带间距离与车辆经过减速区域时间的函数关系，并继续用减速系数为η来衡量减速效果。

最终通过作图可得出最优解。

关键字： 圆弧型 临界速度 减速系数 时间优化 道路减速带
一、问题的提出
1.1问题背景
近年来，随着我国社会经济的发展，公路等级不断提升，城市私家车数量猛增，城市道路上的交通事故也日益突出。

在我国许多城市道路上，主要由于机动车、非机动车、行人混行严重，加之行人和驾驶员的安全意识较差，致使支路和社区、学校周边存在严重的交通安全隐患。

为了降低社区道路及其周边道路的机动车车速，我国越来越多的地方采用了类似西方国家的交通平静化措施。

减速带作为限制机动车垂直行驶速度的措施之一，对遏制交通事故的发生发挥了重要的作用，近年来在国内业内也取得了很大的认同。

但是由于减速带缺乏人性化设计与论证，在安全、舒适、方便等方面尚未达到较高水平。

与此同时，道路使用者对减速带的要求不再局限于“安全”这一最低层面上，而是越来越关注使用减速带的舒适性。

因此，如何在路面合理设置减速带，使之更具人性化是个急需研究解决的问题。

1.2问题重述
某单位的办公场所地处一主干道边上，主干道上车流量较大，车速达到平均每小时60公里，对人员的进出造成了一定的威胁。

交警部门打算在该路段路面设置减速带，达到使来往车辆减速的目的。

（1）建立道路减速带减速的数学模型；
（2）利用所建的数学模型分析在等距连续设置三道减速带的减速效果；
（3）利用所建的数学模型给出减速效果最优的三道减速带的设置方案；
（4）给交警部门写一封建议信。

二、模型假设
1、车俩车身、轮胎、减速带都是刚体，即车辆经过减速带是两者都不会发生弹性形变
2、假设车辆在经过减速带时速度不会变化。

3、假设减速带表面是一个圆弧型。

4、假设空气阻力，汽车内部摩擦等都为零，不影响车速。

三、符号说明及有关概念的定义
3.1 有关概念的定义
1．道路减速带的减速原理：道路减速带的减速是通过影响驾驶员的驾驶心理实现的。

当车辆以较高速度进入道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经车身及座椅传递给驾驶员,使驾驶员产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激)和心理刺激,从而促使驾驶员主动减速,使车辆以较低的速度通过道路减速带。

3.2符号说明
V -------------------------------------------车辆的行驶速度 H--------------------------------------------减速带的高度
l --------------------------------------------减速带的宽度
r--------------------------------------------圆弧形的半径
1m ------------------------------------------车辆车身的重量
2m ------------------------------------------车轮的重量
a--------------------------------------------汽车的加速度
f 向-------------------------------------------向心力
g -------------------------------------------重力加速度，取9.82/m s *V ------------------------------------------车在两减速带间的最大速度 1V ---------------------------------------车在第一二减速带间的最大速度 2V ---------------------------------------车在第二三减速带间的最大速度
四、问题分析
对于问题一，减速带减速的原理是使驶员在以较高速度经过时，感受到强烈的震动，使得驾驶员在心理上建立避免震动的反射弧。

还有驾驶员会担心车辆是不是经受得了这样大的冲击，不得不降低速度行驶。

但是我们又不能以很慢的速度经过减速带，所以必须找到一个临界速度，使得车辆经过减速带是，驾驶员的不适感较低，即车辆震动较小，也可看作车轮没有离开地面与减速带。

驾驶员在看到减速带时必定会减速，我们就应该得出一个驾驶员从减速到经过这个区域后，加速到原来水平的时间，速度，还有加速度的方程。

对于问题二，该问题主要考虑的是两条减速带之间的距离，那么这个距离有什么要求呢？首先，它不能太长。

因为，若它太长，车辆经过一条减速带后，又能加速到达原来的速度，这就失去了减速带的作用了。

其次，他又不能太短，因为太短，车辆在这一区间就不会加速，减速带也不能充分发挥出它的功能。

但是我们主要考虑它的最长距离，即车辆刚好能在俩减速带间加速到原来速度，又刚好开始刹车，减速到临界速度，通过第二条减速带。

对于问题三，在几条减速带控制的区域，既要要求车辆将速度降下来，又要让车辆尽快的通过这一区域。

因为在高速行驶的路段，突然出现一个低速路段，
很容易造成堵车。

所以我们应该控制减速带间的距离。

以优化通过时间。

五、模型的建立及求解
4.1.问题一：
模型一：当车辆经过减速带时，若轮胎不与减速带脱离就认为不会产生颠簸（或颠簸程度较小）。

而决定这一问题的是车辆的行驶速度V 。

我们可以认为减速带表面是一个圆弧型，且假设车辆、轮胎、减速带都是刚体。

减速带处的横截面图如图1：
图1
我们知道减速带的规格就会知道它的高H 和宽l ，然后可以求出r 。

根据勾股定理得：222()()2
l r r H =+- 化简得 22
48l H r H
+=
我们简化车辆的模型，如图2：
图2
把车轮近似看做一个质点，当然这个车轮不止是指一个轮子，而是前或后的整个车轮系统。

这就是一个质点在做匀速圆周运动的模型。

想要这个质点在最高点不脱离减速带表面，则向心力必须小于等于重力。

即：
2
V f m mg r
=≤向 但是，这里车轮这个质点不仅受到重力，还有车身对其的压力，且认为永远是前后两轮平分，在经过减速带时也不例外。

于是上式扩充为： 2
1222
m V f m m g g r =≤+向 由此可得车速： 122
22m m V gr m +=通常情况下，车身是车轮系统的8倍左右（满载）。

5V gr g 为重力加速度，若取9.82/m s 7V r =即我们的整个模型整体为 22
48l H r H
+= 7V r =美国交通稳静化研究委员会给出的经验公式计算车辆通过的速度为 12
7.03()V R =
22
48l H R H += 其中，R 为垂直曲线半径（m ）；V 为通过该段曲线的速度（km/h ）。

该曲线即减速带的表面曲线。

由此看出两式吻合的非常好，即我们的模型是比较精确的。

现我们假设汽车司机在距离减速带S 米时发现减速带，并踩下刹车，且减速度是一个恒定值，在到达减速带是汽车的速度已经等于临界速度V 。

速度与时间的关系如下图3：
t 22t t t V V V V V V S T a
++-==• a 为汽车的减速度，t V V T a -=
亦可求得a ，即22
2t V V a S
-= a 又是由车轮与路面的摩擦力决定的。

摩擦力 21(3)m N f f m m g μμ==+
所以212m f a g m m μ=
=+，但这是最大的静摩擦力，我们在开车是应该尽量避免这种程度的刹车。

通常a g μ≤
且轮胎与路面的静摩擦力系数μ的值一般为0.8，大雨天可降到0.2。

由此可
得27.84/g m s μ=
现假设一车以60km/h （16.67m/s ）的速度由远方驶来，又减速带的规格为（H,l ）（30mm ，500mm ）。

即可计算出 1.057r m =，
临界速度7.196V ==。

由此我们可以求得距离减速带最小的减速距离。

此时a g μ=达到最大，于是我们可得：14.413S m ≥
我们查阅资料知道驾驶员在接近减速带30米左右时，开始疲劳、不舒适。

若驾驶员在距离减速带30米时开始匀减速，我们可以求得减速度：23.77/a m s =
4.2.问题二：
模型二：
若只有一条减速带，汽车过后会以一定的加速度加速到原来的速度t V 。

设其加速度为b ，其速度与时间的关系如图4。

1t 时驾驶员踩下刹车；2t 时速度达到最小，此时正好经过减速带；3t 时又达到原来的速度。

1t 到2t 的加速度为a ，2t 到3t 的加速度为b 。

则1t 到3t 的距离S 为：
2222
22t t V V V V S a b --=+
t V
V
V
化简为22
2t V V a b S a
ab -+⎛⎫=
• ⎪⎝⎭
若没有减速带，1t 到3t 汽车驶过的距离为031()()()t t t V V a b S V t t V ab -+⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭。

现假设一减速系数为η，且0
S
S η=。

由此可知η越小减速效果越好！ 在等距连续设置三道减速带时，将该模型扩展，且假设减速度a 与加速度b 都不变。

其速度与时间的关系如图5：
汽车在两条减速带间达到原来速度的临界情况
若是这样，汽车在减速后还能有时间恢复到原来的速度，每一条减速带都是在独立作用，就失去了我们设立三条减速带的作用。

所以我们应该缩短减速带之间的距离。

缩短距离后的情况见图6：
图6
t
V V
V
t
V V
V
设在两条减速带之间汽车能开到的最大速度为*
V 。

若没有减速带，1t 到7t 汽车驶过的距离为
()071**
**t t t t S V t t V V V V V V V V
V V V V
V a b a
b a b =-⎡⎤⎛⎫⎛⎫------⎛⎫=+
++++⎢⎥
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
化简为：
*0(23)t t a b
S V V V V ab
+=•+-
现在，1t 到7t 汽车驶过的距离为几个路段的和
2222*22*2222222t t V V V V V V V V S a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫----=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
化简为：
2*22232t V V V a b S ab ⎛⎫
+-+= ⎪⎝⎭
减速效果2*22*0232(23)t t t V V V S S V V V V η⎛⎫+-== ⎪+-⎝⎭
此时两条减速带之间的距离为*2
2()a b S V V ab
+∆=
- 由此我们可知减速效果η为两减速带间距S ∆的函数。

22
4t ab S
V V η∆+
-=………………222t V V a b S S ab -+⎛⎫∆≤= ⎪⎝⎭
4.3问题三： 模型三：
若三条减速带不是等距设置，则汽车经过减速带的速度-时间关系就如下图7所示：
我们由模型一可知，汽车在经过减速带是的速度是比较小的，大概为7m/s 。

在一个平均速度为60km/h(16.67m/s) 的路段，若出现一个这样的速度，虽然对人员的进出不再造成威胁。

但是，却有可能造成交通堵塞。

所以司机们的心思应该是尽快的通过这一区域，即我们要对时间经行优化。

司机通过这一区域的时间是：（从开始减速到恢复到原来速度）
()221171213t t t V V V V
V V V V
V V V V
t t t a b a b a b a b V V V V ab
------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=+
++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭+=++-
第一条减速带到第二条减速带之间的距离为：
()22222
211121222V V V V a b S V V a b ab
--+=+=- 同理，第二条减速带到第三条减速带之间的距离为：
()22222222232222V V V V a b S V V a b ab
--+=+=- 那么，时间t 成为了12S 与23S 的函数：
(3)t a b
t V V ab +=
+ min 1223(,)t S S ……1223max 0,S S S ≤≤
利用MATLAB 即可作出图，找出最小点。

关于1223max 0,S S S ≤≤这个条件我们提出质疑，两条减速带不能相隔的太近。

如果
太近司机不会加速，只是匀速的从第一个开到下一个，丧失了两条的作用。

所以也存在一个min S 。

根据下表1：
减速区域内驾驶员的感受 %
程度
减速区域/m
50~40 40~30 30~20 20~10 10~0
不明显 100 82 33 14 0 明显 0 12 25 35 14 严重 0 6 42 51 86
表1
由上表可以看出驾驶员在接近驼峰式减速带30 m 左右的距离时,开始造成疲劳、不舒适,尤其在最后通过的10 m 内最为明显。

所以可取min S 为10m 。

所以模型改变为min 1223(,)t S S ……min 1223max ,S S S S ≤≤ 4.4问题四
建议信
尊敬的交通警察：
你们好！
在xx 单位的办公场所地处一主干道边上，主干道上车流量较大，车速较高达到平均每小时60公里，对人员的进出造成了一定的威胁。

希望你们在该路段路面设置几条减速带，使来往车辆减速，以保障人们的生命安全。

减速带的规格有：
由于车速平均每小时60公里，考虑到车上人员的乘车舒适性及安全性，对于车速小于60 km/ h 大于40 km/ h 的道路,道路减速带的设计宽度建议采用500～600 mm ,高度采用30～40 mm ,才能取得良好的控制车速效果。

（参考于“道路减速带对车辆平顺性和安全性的影响”张 韡,魏 朗,余 强）建议使用5，6两种规格的减速带。

中型车通过宽度为500 mm ,高度分别为30、40mm 的不同道路减速带时,身加速度和车轴加速度随车速的变化曲线如图所示：
减速带高度不同时车身减速带高度不同时车轴
加速度随车速的变化加速度随车速的变化这两次实验使用的都是500～600 mm ,高度采用30～40 mm规格的减速带。

根据我们的计算（用规格为500mm，30mm的减速带进行的计算），建议在该区域每隔xx米铺设一条减速带，以达到降低车速的目的。

六、模型的推广及评价
推广：模型一：
由于我们忽略了许多的条件，所以该模型需要改进。

我们将轮胎看做一个质点，但事实是轮胎它也有大小，有半径。

我们将这个半径
加入，则原模型为：
22
4
8
l H
r r
H
+
=+
7
V r
=
其中
r为轮胎的半径。

模型二：
查阅资料可知，汽车在经过减速带后，速度降为原来的80%。

该点我们未考虑，可以改进。

评价：
七、参考文献
[1]王超，史扬，陈永胜，公路设置驼峰式减速带的实际效用研究[J],山西建筑，第35卷第一期：2009年1月。

[2]韩艳，山程明，减速带减速原理及其应用[J],道路交通与安全，第9卷第6期：2009年12月。

[3]王超，孙小瑞，史扬，振动减速带的速度控制效果研究[J]，西部交通科技，第一期：2009年。

[4]黎熊，刘彩，邱望标，道路减速带形状对车辆平顺性影响的研究[J]，轮胎工业，第30卷：2010年。

[5]张韡，魏朗，余强，减速带对大客车安全性及平顺性的影响[J],中国客车学术年会论文集，2008年。