第五章 大数定律和中心极限定理

X
i 1 n
n
i
np
np (1 p)
3 np } np (1 p)
5 5 i 1 P{ } 25 0.995 25 0.995 25 0.995 (1) ( 1) 2 (1) 1 0.6826
i
X
25
求:平均误差落在区间 [ 3 , 3 ] 20 20 上的概率
≈0.0866
解: n=100,设Xi是第i次运算的误差.
∵误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分布 ∴ E(Xi)=(-0.5+0.5)/2=0 Var(Xi)=[0.5-(-0.5)]2/12=1/12 i=1,2, ,100. ∴平均误差为 1 n
ε> 0，
或
Sn lim P{| p | } 1 n n Sn lim P{| p | } 0 n n
Sn p | } 0 任给ε>0， lim P{| n n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小. 请看演示 贝努里大数定律 贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
请看演示 中心极限定理的直观演示
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f h
1 2 3 x
g
0
例:20个0-1分布的和的分布
几个(0,1)上均匀分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
X1 +X2+X3~ h(x)
下面我们举例说明中心极限定理的应用
设一批产品的强度服从期望为14,方差 为4的分布.每箱中装有这种产品100件. 求:(1).每箱产品的平均强度超过14.5的 概率是多少. (2).每箱产品的平均强度超过期望14 的概率是多少. 解: n=100,设Xi是第i件产品的强度. E(Xi)=14,Var(Xi)=4 i=1,2, ,100. 每箱产品的平均强度为
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
几个常见的大数定律
P{每部电话需要使用外线时可以打通} =P{使用外线的电话数目≤k} =P{X1+X2++X200 ≤k}
P{0
X
i 1
200
i
k}
0 np P{ np (1 p)
X
i 1 i
n
i
np
np (1 p) 10
k np } np (1 p)
1 n X i 记做 X. n i 1
例1
根据定理5.2.1
X 即 X 14 即 X 14 近似∼N(0,1) 2 于是 0.2 100 n X 14 14.5 14 (1). P{X 14.5} P{ } 0.2 0.2 X 14 X 14 P{ 2.5} 1 P{ 2.5} 0.2 0.2 1 (2.5) 1 0.9930 0.0062
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第五章第二节
中心极限定理
中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差，
空气阻力所产生的误差，
炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
第五章 大数定律和
中心极限定理
湖南商学院信息系 数学教研室
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节
第二节
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大数定律
中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
解:
1 第i个被保险人发生重大事故. 令 Xi 0 第i个被保险人未发生重大事故. i 1,2,,5000
∴ Xi ∼ b(1,p). P=0.005 X1,X2 , ,X200相互独立.则: P{20万元≤总收益≤ 40万元} =P{20万元≤0.016万元保险费参保人数-2万 元赔金一年内发生重大人身事故的人数≤40 万元} =P{20≤0.01650002(X1+X2++X5000)≤40}
10 k 10 i 1 P{ } 9. 5 9.5 9.5 k 10 10 ( ) ( ) 9 .5 9 .5
X
n
求最小的k,使 P{每部电话需要使用外线时可以打通}≥90% 求最小的k,使P{X1+X2++X200 ≤k}≥90% 求最小的k,使 k 10 10 ( ) ( ) 0.9 9.5 9.5 10 k 10 ( ) 0 求解 ( ) 0.9 9.5 9.5 k 10 查附表二 1.282 k 13.95 9.5 ∴该单位总机至少需要安装14条外线.
P{20 80 2 X i 40} P{60 2 X i 40}
i 1 i 1 5000 5000
P{20 X i 30}
i 1
5000
∵ np=25
np(1-p)=250.995
5000 i 1
P{20
X
i
30}
20 np P{ np (1 p)
1， 如第i次试验A发生 引入 X i 否则 0，
贝努里
i=1,2,…,n
则
Sn X i
i 1 n
n
Sn 1 X i 是事件A发生的频率 n n i 1
于是有下面的定理：
贝努里
定理3（贝努里大数定律） 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= Var(Xi)= 2 ， i=1,2,…，则
X
lim P{
n i 1
n
i
n x}
n

x
-
1 -t 2 2 e dt 2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
Var ( X k )
k 1
的分布函数的极限.
考虑 Z n
X
k 1
n
k
E ( X k )
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，Var(Xi)= 2 i=1,2,…, ， 则对任给 >0,
1 lim P{| X i | } 1 n n i 1
n
下面给出的贝努里大数定律， 是定理2的一种特例. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发 生的次数，p是事件A发生的概率，
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在. 定理3（辛钦大数定律） 设随机变量序列X1,X2, …独立同 分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
辛钦
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
请看演示 辛钦大数定律
定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1, X2, …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差有共同的上界，即 Var(Xi) ≤K，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
1 n 1 n lim P{| X i E ( X i ) | } 1 n n i 1 n i 1
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
Yn np lim P{ x} n np(1 p)

x

1 e 2
t2 2
dt
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
5%的时间要使用外线通话.设每部电话是否使 用外线通话是相互独立的. 求:该单位总机至少需要安装多少条外线 才能以90%以上的概率保证每部电话需要使用 外线时可以打通?
解:
1 第i部电话使用外线通话. 令 Xi 0 第i部电话未使用外线通话.
设该单位总机安装k条外线,则:
∴ Xi ∼ b(1,p).X1,X2 , ,X200相互独立.
k 1 n
n
Var ( X k )
k 1
的分布函数的极限.
可以证明，满足一定的条件，上述极 限分布是标准正态分布. 这就是下面要介 绍的 中心极限定理
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
我们只讨论几种简单情形.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 ， 则对于任给 >0,
2
P{| X E ( X ) | } 1 2
2
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. 定理2（独立同分布下的大数定律）
X 14 14 14 (2). P{X 14} P{ } 0.2 0.2 X 14 1 P{ 0} 1 (0) 1 0.5 0.5 0.2
例2 计算机在进行数字计算时遵从四舍五入
原则. 为使我们此题简单考虑,我们假定对小数 点后面的第一位进行四舍五入运算. 则误差X这个随机变量可以认为服从 [-0.5,0.5]上的均匀分布. 现若在一项计算中一共进行了100次数字 计算.
例4
某市保险公司开办一年人身保险业务. 被保险人每年需交付保险费160元. 若一年内 发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔 金. 己知该市人员一年内发生重大人身事故的 概率为0.005.现有5000人参加此项保险. 求:保险公司一年内从此项业务所得到的 总收益在20万元到40万元之间的概率.
切比雪夫大数定律表明，独立随机变 量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1 n 1 X i 与其数学期望 n E ( X i )偏差很小的 n i 1 i 1
n
概率接近于1.
1 n 即当n充分大时， X i 差不多不再是 n i 1 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1.
X n
i 1
i
记做 X.
根据中心极限定理
X 即 n X 1 12 100
即
20 3 X
近似∼N(0,1) 于是
3 3 P{ X } 20 20 3 3 P{ 20 3 20 3 X 20 3} 20 20 (3) (3) 0.9973
例3 某单位有200部电话分机,每部电话约有