用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理

第一章前言

众所周知, 极限的存在性问题是极限理论的首要问题. 一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关, 而且与数列所在的数集密切相关. 从运算的角度来说, 实数集关于极限的运算是封闭的, 它反映了实数集的完备性, 这是实数的优点. 因此, 将极限理论建立在实数集之上, 极限理论就有了坚实的基础.

我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性, 也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性, 所以这两个关系是等价的. 因此, 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性.

数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一,更是高等师范学校数学教育专业最主要的基础课程. 在数学分析教材中,实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理, 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性, 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础. 这六个基本定理是相互等价的, 也就是说可以相互循环论证. 在我们学过的刘玉琏等主编的数学分析讲义中, 实数完备性基本定理是从公理出发, 首先运用公理证明了闭区间套定理, 然后用前一个定理为条件, 证明了后一个定理的结论, 它们依次是: 确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性, 最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习题）. 而在本文中把有限覆盖定理作为出发点, 利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则.

下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的内容, 为后面的证明做铺垫.

定义1.2.1]2[设S为数轴上的点集, H为开区间的集合,（即H的每一个元α的开区间）, 若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内, 素都是形如)

,

(β

则称H为S的一个开覆盖, 或称H覆盖S. 若H中开区间的个数是无限（有限）的, 则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.

定理1.2.1]2[（有限覆盖定理）设H为闭区间]

[b

a的一个（无限）开覆盖, 则

,

从H中可选出有限个开区间来覆盖]

a.

,

[b

第二章 有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理

2.1 用有限覆盖定理证明确界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理, 首先给出确界的定义和定理如下:

定义2.1.1]2[ 有非空的数集E , 如果存在α, 有下列性质:

（1）对任意E x ∈, 有α≤x ;

（2）对任意0>ε, 总存在某个数E x ∈0, 有0x <-εα, 则称是数集E 的上确界, 认为:

E sup =α.

定义2.1.2]2[ 非空的数集E , 如果存在β, 有下列性质:

（1）对任意E x ∈, 有x ≤β;

（2）对任意0>ε, 总存在某个数E x ∈0, 有εβ+<0x , 则称β是数集E 的下确界, 认为:

E inf =β.

定理 2.1.1]2[（确界定理）任何非空集R E ⊂, 若它有上界, 则必有上确界R E ∈sup （等价地若有下界, 必有下确界）.

证明 设E x R E ∈∀⊂≠Φ,有M x ≤. 任取一点E x ∈0, 考虑闭区间],[0M x , 假若E 无上确界（最小上界）, 那么),[0M x x ∈∀:

i) 当x 为E 的上界时, 必有更小的上界x x <1, 因而x 有一开领域x ∆, 其中 皆为E 的上界;

ii) 当x 不是E 的上界时, 自然有E 中的点x x >2, 于是x 有开领域x ∆, 其 中每点皆不是E 的上界.

],[0M x 上每点都找出一个领域x ∆, 它要么属于第一类（每点为上界）, 要么属于第二类（每点皆不是上界）, 这些领域]},[:{0M x x x ∈∆, 组成闭区间],[0M x 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{,1∆…n ∆,}, 注意, M 所在

的开区间, 应为第一类的, 相邻接的开区间x ∆有公共点, 也应为第一类的, 经过有限次邻接. 可知0x 所在的开区间也是第一类, 这便得出矛盾. 从而得证非空集R E ⊂, 若它有上界, 则必有上确界.

同理可证非空集R E ⊂, 若它有下界, 则必有下确界.

2.2 用有限覆盖定理证明单调有界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理, 首先给出单调有界的定义和定理如下:

定义2.2.1]2[ 若数列}{n a 的各项满足关系式

1+≤n n a a )(1+≥n n a a ,

则称}{n a 为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列统称为单调数列.

定理2.2.1]2[（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.

证明 不妨设],[}{b a x n ⊂为单调有界数列, 若对],[b a x ∈∀, x 都不是}{n x 的极限, 则,00>∃ε 对,+∈∀N N 有,||0ε≥-x x n 则在)2

;(0

εx U 内仅含有}{n x 的有限项, 令]},[|)2;({b a x x U H ∈=ε, 则H 是闭区间],[b a 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在),2,(),2,(2211εεx U x U … )2,(,n n x U ε是它的一个子覆盖, 即],[)2;(1b a x U i i n i ⊃=ε , 而,2,1)(2,(=i x U i i ε…),n 只含有限个点, 从而它们的并也只含有限个点, 从而得出],[b a 也只含有限个点, 这与],[b a 是无限点集矛盾, 从而得证任何有界的单调数列一定有极限.

2.3 用有限覆盖定理证明区间套定理

本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理, 首先给出区间套的定义和定理如下:

定义2.3.1]2[ 若闭区间列]},{[n n b a 具有下列性质:

（1）],[],[11++⊃n n n n b a b a ,n=1,2,3…;

（2）0)(lim =-∞

→n n n a b 则称这个闭区间列]},{[n n b a 为闭区间套, 或称区间套.