二次函数单元复习课件(张)
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左右平移
y=
ax2
（上加下减，左加右减）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
二次函数与一次函数的结合
1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴 交于A，B两点，且点A坐标为(－3，0)，抛 物线顶点P的纵坐标为－4，经过点B的一次 函数y＝x－1的图象交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)求当二次函数值小于一次函数值时，x的 取值范围；
(3)求△BPD的面积．
1 解： (1)∵抛物线 y＝－ x2＋ mx＋ n 经过 A(－ 1， 0)， 2 C(0， 2)． 3 m＝ ， 2 解得： 2＝ 2， 1 2 3 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋ x＋ 2； . 2 2 1 2 3 1 3 2 25 (2)∵ y＝－ x ＋ x＋ 2，＝－ (x－ ) ＋ ， 2 2 2 2 8 3 ∴抛物线的对称轴是 x＝ . 2
3 ∴ OD＝ . 2 ∵ C(0， 2)，∴ OC＝ 2. 5 在 Rt△ OCD 中，由勾股定理，得 CD＝ . 2 ∵△ CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形， ∴ CP1＝ CP2＝ CP3＝ CD. 过点 C 作 CH⊥ x 轴于点 H， ∴ HP1＝ HD＝ 2， ∴ DP1＝ 4. 3 3 5 3 5 ∴ P1( ， 4)， P2( ， )， P3( ，－ )． 2 2 2 2 2
y y y y
O
x O x O
x O x
A
B C D
知识要点（二）
求抛物线解析式的三种方法：
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 2+k(a≠0) y=a(x-h) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________ y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
2
)
A. y x2 3x 4 B. y x2 3x 5
C. y x2 4x 4 D. y x2 4x 5
提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？
√
解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴 OA=4， OB=1，∴点A（4，0）， 点B（-1，0） B O 又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA· OB=4 C ∴OC=2，点C（0，-2） ∵抛物线与x轴交点坐标是（4，0）（-1，0） ∴可设这个二次函数解析式为y=a(x-4)(x+1) 又∵图像经过点C（0，-2） 1 ∴ a(0-4)(0+1) = -2 ，a=
由h和k的符号确定
位置
开口方向 增减性 最值
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
Leabharlann Baidu
已知二次函数的图象与 轴的交点坐标 是（-1,0），（5,0），且函数的最值 是3.求出该二次函数的关系式.
解法1： 解法2：
知识回顾
左 右 平 移
各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象 （平移）关系 y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
3 小结：
抛物线 y=ax 2 y=ax 2 +k y=a(x- h)
2 2 开口方向
对称轴
a>0
开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
( 0,0 ) 开 y轴(x=0) ( 0,k ) 口
向 下
y=a (x-h)+k
x=h
( h,0 ) ( h,k )
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列 各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
y
C
O
A
B
x
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
2 2 y x 变式 2 ：若抛物线y ax2 的图象如图，则 4 3x x 3 a 1的图象如图， 变式 1 ：若抛物线 △ ABC的面积是 。 则 a= .
1 ∴ y= (x-4)(x+1) 2
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴 分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。 若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线 解析式。 y
A x
2
参考答案
①求k的值
y
解：由图像可知，抛物 线过点(0,1.6) 即当x=0时，y=1.6 2 1.6=-0.1k+2.5 K=±3 O Bx 又因为对称轴是在y轴的 右侧， 即x=k>0 ③当x=6时， 2 所以，k=3 y=-0.1(6-3)+2.5 2 =1.6 >1.5 ②-0.1(x-3)+2.5=0 所以，这个小朋友不 解之得，x 1 =8,x 2 =-2 会受到伤害。 所以，OB=8 故铅球的落点与丁丁的距离 是8米。
位置
开口方向 增减性 最值
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
学以致用
(连云港) 丁丁推铅球的出手高度为 1.6 m ,在如图 所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物 线 y 0.1( x k )2 2.5
①求k的值 ②求铅球的落点与丁丁 的距离 ③一个1.5m的小朋友跑到 离原点6米的地方(如图)， 他会受到伤害吗？
y
(0,1.6)
O
x
2、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线 y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求二次函数 的解析式。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
.
y 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 1 2 3 4 x
a.若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是 （3,0），（-1,0），则对称轴是 ；
b. 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是 （-3,0），（1,0），则对称轴是 ；
C.若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是 （-3,0），（-1,0），则对称轴 是 .
1 4 如图，抛物线 y＝－ x2＋mx＋n 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交 2 于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A(－1，0)，C(0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的 等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在， 请说明理由．
求下列条件下的二次函数的解析式:
1.已知一个二次函数的图象经过点
（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且 过点(1,-2),求该抛物线的解析式.
例1.已知二次函数的图象与 轴的交点坐标 是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式.
二次函数复习(1)
知识要点(一）
ax bx c 。 1 二次函数的概念, y=___________ ≠0 (a, b, c 是_______, ),那么 常 数 a ________ y叫做x 的二次函数。 2 抛物线y=ax2 + bx + c 的对称轴是
2
2 b b 4ac b x , __________, 顶点坐标是 ( ) 2a 2a 4a
2．如图，一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根x1，x2(x1＜x2)是抛物
线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线 过点A(3，6)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，求点 P，G的坐标； (3)在x轴上有一动点M，当MG＋MA取得最小值时，求点M的 坐标．
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)
2、当m取何值时，函数是y= (m+2)x
分别 是一次函数？ 反比例函数？
二次函数？
求抛物线解析式常用的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________
一般式
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设 2+k(a≠0) y=a(x-m) 抛物线解析式为 _______________
顶点式
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x (x2,0),通常设解析式为 _____________ 1)(x-x2) (a≠0)
交点式或两根式
y 0.1( x k )2 2.5
回顾反思之反思提高
1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己
还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意
哪些问题？
欢迎指导!
拓展训练
1.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
y ax bx c 的解析式是(
下列各图中可能是函数 y ax c a 与 y (a 0, c 0 )的图象的是( ) x
2
拓展思维
A
B
C
√
D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个 图象
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次 函数y=ax2+c的图象大致为（ ） B
y=
ax2
（上加下减，左加右减）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
二次函数与一次函数的结合
1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴 交于A，B两点，且点A坐标为(－3，0)，抛 物线顶点P的纵坐标为－4，经过点B的一次 函数y＝x－1的图象交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)求当二次函数值小于一次函数值时，x的 取值范围；
(3)求△BPD的面积．
1 解： (1)∵抛物线 y＝－ x2＋ mx＋ n 经过 A(－ 1， 0)， 2 C(0， 2)． 3 m＝ ， 2 解得： 2＝ 2， 1 2 3 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋ x＋ 2； . 2 2 1 2 3 1 3 2 25 (2)∵ y＝－ x ＋ x＋ 2，＝－ (x－ ) ＋ ， 2 2 2 2 8 3 ∴抛物线的对称轴是 x＝ . 2
3 ∴ OD＝ . 2 ∵ C(0， 2)，∴ OC＝ 2. 5 在 Rt△ OCD 中，由勾股定理，得 CD＝ . 2 ∵△ CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形， ∴ CP1＝ CP2＝ CP3＝ CD. 过点 C 作 CH⊥ x 轴于点 H， ∴ HP1＝ HD＝ 2， ∴ DP1＝ 4. 3 3 5 3 5 ∴ P1( ， 4)， P2( ， )， P3( ，－ )． 2 2 2 2 2
y y y y
O
x O x O
x O x
A
B C D
知识要点（二）
求抛物线解析式的三种方法：
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 2+k(a≠0) y=a(x-h) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________ y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
2
)
A. y x2 3x 4 B. y x2 3x 5
C. y x2 4x 4 D. y x2 4x 5
提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？
√
解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴 OA=4， OB=1，∴点A（4，0）， 点B（-1，0） B O 又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA· OB=4 C ∴OC=2，点C（0，-2） ∵抛物线与x轴交点坐标是（4，0）（-1，0） ∴可设这个二次函数解析式为y=a(x-4)(x+1) 又∵图像经过点C（0，-2） 1 ∴ a(0-4)(0+1) = -2 ，a=
由h和k的符号确定
位置
开口方向 增减性 最值
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
Leabharlann Baidu
已知二次函数的图象与 轴的交点坐标 是（-1,0），（5,0），且函数的最值 是3.求出该二次函数的关系式.
解法1： 解法2：
知识回顾
左 右 平 移
各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象 （平移）关系 y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
3 小结：
抛物线 y=ax 2 y=ax 2 +k y=a(x- h)
2 2 开口方向
对称轴
a>0
开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
( 0,0 ) 开 y轴(x=0) ( 0,k ) 口
向 下
y=a (x-h)+k
x=h
( h,0 ) ( h,k )
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列 各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
y
C
O
A
B
x
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
2 2 y x 变式 2 ：若抛物线y ax2 的图象如图，则 4 3x x 3 a 1的图象如图， 变式 1 ：若抛物线 △ ABC的面积是 。 则 a= .
1 ∴ y= (x-4)(x+1) 2
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴 分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。 若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线 解析式。 y
A x
2
参考答案
①求k的值
y
解：由图像可知，抛物 线过点(0,1.6) 即当x=0时，y=1.6 2 1.6=-0.1k+2.5 K=±3 O Bx 又因为对称轴是在y轴的 右侧， 即x=k>0 ③当x=6时， 2 所以，k=3 y=-0.1(6-3)+2.5 2 =1.6 >1.5 ②-0.1(x-3)+2.5=0 所以，这个小朋友不 解之得，x 1 =8,x 2 =-2 会受到伤害。 所以，OB=8 故铅球的落点与丁丁的距离 是8米。
位置
开口方向 增减性 最值
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
学以致用
(连云港) 丁丁推铅球的出手高度为 1.6 m ,在如图 所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物 线 y 0.1( x k )2 2.5
①求k的值 ②求铅球的落点与丁丁 的距离 ③一个1.5m的小朋友跑到 离原点6米的地方(如图)， 他会受到伤害吗？
y
(0,1.6)
O
x
2、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线 y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求二次函数 的解析式。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
.
y 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 1 2 3 4 x
a.若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是 （3,0），（-1,0），则对称轴是 ；
b. 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是 （-3,0），（1,0），则对称轴是 ；
C.若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是 （-3,0），（-1,0），则对称轴 是 .
1 4 如图，抛物线 y＝－ x2＋mx＋n 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交 2 于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A(－1，0)，C(0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的 等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在， 请说明理由．
求下列条件下的二次函数的解析式:
1.已知一个二次函数的图象经过点
（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且 过点(1,-2),求该抛物线的解析式.
例1.已知二次函数的图象与 轴的交点坐标 是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式.
二次函数复习(1)
知识要点(一）
ax bx c 。 1 二次函数的概念, y=___________ ≠0 (a, b, c 是_______, ),那么 常 数 a ________ y叫做x 的二次函数。 2 抛物线y=ax2 + bx + c 的对称轴是
2
2 b b 4ac b x , __________, 顶点坐标是 ( ) 2a 2a 4a
2．如图，一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根x1，x2(x1＜x2)是抛物
线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线 过点A(3，6)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，求点 P，G的坐标； (3)在x轴上有一动点M，当MG＋MA取得最小值时，求点M的 坐标．
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)
2、当m取何值时，函数是y= (m+2)x
分别 是一次函数？ 反比例函数？
二次函数？
求抛物线解析式常用的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________
一般式
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设 2+k(a≠0) y=a(x-m) 抛物线解析式为 _______________
顶点式
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x (x2,0),通常设解析式为 _____________ 1)(x-x2) (a≠0)
交点式或两根式
y 0.1( x k )2 2.5
回顾反思之反思提高
1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己
还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意
哪些问题？
欢迎指导!
拓展训练
1.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
y ax bx c 的解析式是(
下列各图中可能是函数 y ax c a 与 y (a 0, c 0 )的图象的是( ) x
2
拓展思维
A
B
C
√
D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个 图象
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次 函数y=ax2+c的图象大致为（ ） B