导数在三次函数研究中的应用

导数在三次函数中的应用

泉州现代中学 陈永生

【摘 要】导数是一个特殊函数，导数的概念、意义与运算；利用导数研究初等函数——图象特征（单调性、最值、函数零点、凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系），导数是分析和解决问题的有效工具。

【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值和最值。 通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。特别地，当()f x 为三次函数时，通过求导得到的()f x 为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点00(,)P x y 处的切线的斜率0()k f x '=，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。根据这些特点，一般三次函数问题，往

往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

一、用导数求函数某点处的切线与过某点的切线

例1、（I ）求曲线32x x y -=在点)1,1(A 处的切线方程。 （II ）求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程。

分析：（I ）由32x x y -=得232x y -='，1|1-='=x y ，所以曲线在点)1,1(A 处的切线方程为)1(1--=-x y ，即02=-+y x 。

（II ）设切点为)2,(3000x x x P -，又232x y -='，所以切线斜率为2

032|0

x y x x -='=，

则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(02

0300x x x x x y --=--．又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(102

03

00x x x x --=--，即01322

03

0=+-x x ， 解得10=x 或2

10-

=x ；

当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ； 当2

10-

=x 时，切点就是)8

7,2

1(-

-

P ，切线斜率为4

5|

2

1=

'-

=x y ，

切线为0145=--y x ．

评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一。

二、用导数判断函数的单调性

一般地，若已知三次函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++>在(,)m -∞上是增函数，在

(,)m n 上是减函数，在(,)n +∞上是增函数,则二次方程()f x =0即2

320ax bx c ++=的两

个根为m ，n ；且当(,)(,)x m n ∈-∞+∞和时()0f x '>，当(,)x m n ∈时()0f x '<，反之亦然。

例1、求函数32()31f x x x =--的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x 的取值范围即可。 解： 236y x x '=-由y′>0得2360y x x '=->，解得x ﹤0或x ﹥2。 由y′<0 得2360y x x '=-<，解得0﹤x ＜2。

故 所求单调增区间为(,0))-∞∞和(2,+，单调减区间为(0,2)。 例2、已知32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解：函数f （x ）的导数：22()361f x ax x '=+-。 当f'（x ）＜0（x ∈R ）时，由f （x ）是R 上减函数得，

2

3610ax x +-<（x ∈R ）⇔a ＜0且△=36+12a ＜0，⇔a ＜-3．

所以，当a ＜-3时，由f'（x ）＜0，知f （x ）（x ∈R ）是减函数； 例3、已知3()f x ax x =+恰有三个单调区间,求a 的范围。 解： 2

()31f x ax '=+，∵3

()f x ax x =+恰有三个单调区间, ∴方程()0f x '=必有两个不等根，

∴∆＞0， 0120a ->∴a ＜0。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数()f x '；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<；（4）确定f(x)的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。 三、用导数求函数的最值

例1、已知函数3

2

()39f x x x x a =-+++，若()f x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

解： 2

()369f x x x '=-++，令()0f x '<解得x<－1或x>3 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1）和（3，＋∞）。 2123-<-<<

}{min max ()(1)5,()max (2),(2)f x f a f x f f =-=-+=-

)

2()2(,

22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f

于是有2220a +=，解得2a =-．

故32()392f x x x x =-++-，因此f (－1)＝－7， 即函数f (x)在区间[－2，2]上的最小值为－7。 四、用导数求函数的相异实根的个数

例1、设a R ∈，讨论关于x 的方程3230x x a +-=的相异实根的个数。

,2063)()(212

=-==+='x x x x x f x f 的两根为导函数函数 ，

()(2)4,()(0)f x f a f x f a ∴-=-=函数的极大值是的极小值是，

令32

1()3f x x x =+，2()f x a =

（1）当04a a <>或时，函数()f x 与()g x 只有一个交点，即方程只有一个根． （2）当04a a ==或时，函数()f x 与()g x 只有两个交点，即方程只有两个根． （3）当04a <<时，函数()f x 与()g x 有三个交点，方程有三个根． 例2、若方程330x x m --=有一个二重根，求m 的值。

解：令，3

12,3y x y x m ==+则问题转化为已知直线3

1y x =与曲线23y x m =+相切，求m 的值。

令切点为（x 0,y 0），则⎪⎩⎪⎨⎧==3

02

03

3x y x ，解之⎩⎨⎧==1100y x 或⎩⎨⎧-=-=1100y x ，

∴m=2或－2。

评注：研究方程注意与函数之间的关系。 五、利用导数解决实际生活中的优化问题

在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。

例1：某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销。经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约2

5t t -+ (百万元)(0≤t ≤3)。现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造。经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增

加的销售额约32

133

x x x -++ (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共

同产生的收益最大。(结果保留整数)

思路点拨： 两种销售额去掉总投入，列出函数关系式，再求最值。

解：设用于技术改造的资金为x(0≤x≤3)(百万元)，则用于广告的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为