近世代数课件(全)--3-4 理想与商环

例5 设 Z [ i ] 为高斯整环,试确定 Z [ i ] / (1 i ). 解： (1 i ) { x yi | x y 为偶数 } 从而,对任意的 x yi Z [ i ] 如果 x y 为偶数,则
( x yi ) I I
如果 x y 为奇数,则
（2） r , s I I , r , s I , r , s I , 1 2 1 2
r s I 1 , 且 r s I 2 , r s I 1 I 2
x R , xr , rx I 1 , 且 xr , rx I 2 , xr , rx I 1 I 2
定理 4 整数环 Z 的每个理想都是主理想.
2012-9-19
定义 5 设 R 为环, a 1 , a 2 , , a n R ,则 ( a 1 ) ( a 2 ) ( a n ) 为 R 的理想,称为 由 a 1 , a 2 , , a n 生成的理想, 记作
( a1 , a 2 , , a n ) ( a1 ) ( a 2 ) ( a n )
定理 3 设 R 为有单位元的交换环, a R ,则
( a ) a R { a r | r R }.
证明 a R ( a ), 而 a R 是 R 的 理 想 ,
a ( a ), r R , a r ( a ),
a a 1 R aR , ( a ) aR . 于 是 (a ) aR .
1R / I 1R I
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例4 设 m 为大于1的正整数,则
(m ) mZ
为 Z 的理想,从而有商环
Z /( m ) { a ( m ) | a 0 , 1, 2, , m 1} Z m
即商环 Z /( m ) 就是模 m 的剩余类环.
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a I b I a b I （3） R / I { a I | a R }
（4） R / I 的加法与乘法:
(a I ) (b I ) (a b) I ( a I )( b I ) a b I
则 R / I 关于如上所定义的运算构成环. 零元： I ，负元： ( a I ) ( a ) I
dZ , d Z , d 0
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二、理想的运算 定义 2 设 R 为环, I 1 , I 2 为 R 的理想. 集合
I 1 I 2 { a 1 a 2 | a 1 I 1 , a 2 I 2 }, I 1 I 2 { a | a I1且 a I 2 }
吸收律
●由定义可知, 理想一定是子环. ●{ 0 } 与 R 本身都是 R 的理想.这两个 理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.
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● 除环只有零理想与单位理想. 1 I { 0 }, a 0 I , a a 1 I ,
b R , b 1b I , I R
I1 I 2
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是 R 的理想.
定理 2 环 R 的任意有限多个理想的和 还是理想. 环 R 的任意多个理想的交还是理想. 设 R 为环, a R .令∑是 R 的所有包含 的理想所组成的集合
aຫໍສະໝຸດ (因为a R, R
).
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定义 4 设 R 为环, a R , 称环 R 中所有 包含 a 的理想的交为由 a 生成的主理想,
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定义6
称环 R / I 为商环，也称为环 R 的模理想 I 的剩余类环.
(a I ) (b I ) (a b) I
( a I )( b I ) a b I
如R 为交换环,则 R / I 也是交换环. 如R 有单位元,则 R / I 也有单位元,且
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a d a 1 ( d ), b d b1 ( d )
例3 在高斯整环 Z [ i ] 中,理想 I (1 i ) 由哪些元素组成? 解 I (1 i ) (1 i ) Z [ i ] 2 (1 i )(1 i ) (1 i ),
近世代数
第三章 环与域
§4 理想、商环
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一、理想的定义与判别 定义1 设 R 为环, I 为 R 的非空子集. 子群 如果 I 满足: (1) a , b I , 有 a b I
( 2 ) a I , x R , 有 a x , x a I
则称 I 为 R 的一个理想.
z Z , 2z I .
x y 为偶数，x yi ( x y ) y (1 i ) I ,
(1 i )( x yi ) 1 在 Z 中无解， 1 I . x y 为奇数，x yi 1 ( x 1) yi I
记作 ( a ) ,即
(a)

I
I.

( a ) 是 R 中包含 a 的最小理想.
x ia yi x a a y m a | ( a ) i1 x i , yi , x , y R , n Z , m Z
n
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由 此 知 ： i ) { x yi | x , y同 奇 或 同 偶 }. (1
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练习 证明：Z[x]中(2,x)不是主理想; Q[x]中(2,x)是主理想.
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三、商环 设 R 为环，I 为 R 的理想.则 （1） I 是 R 的加群意义下的不变子群: （2）a I 为 I 在 R 中的一个陪集: ① r I ，则 r I I 0 I ② a a I a a I
分别称为理想
I1 , I 2
的和与交.
定理 1 环 R 的两个理想 I 1 , I 2 的和 I 1 I 2 与交 I 1 I 2 都是 R 的理想.
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证明 (1) r a 1 a 2 , s b1 b 2 I 1 I 2 ,
a 1 , b1 I 1 , a 2 , b 2 I 2，
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例2 在 Z 中,如果 a , b Z ,则 ( a , b ) 是怎样 的主理想? 解 (1) 如果 a , b 都是零,则
(a, b ) (0) {0}
(2) 如果 a , b 不全为零.设 d 为 a , b 的最大公因数,则存在 s , t Z,使得 a s b t d ,从而 ( d ) ( a ) ( b ) ( a , b ) 又因 a , b 都是 d 的倍数,即 ,所以 ( a , b ) ( a ) ( b ) ( d ) 从而 ( a , b ) ( d )
( x yi ) I [1 ( x 1) yi ] I 1 I
所以
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Z [i] / 1 i { I , 1 I }
，这是一个仅有两个元素的域.
● R 的不等于它自身的理想(如果有的话) 称为 R 的真理想.
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例1 试求 Z 的所有理想. 解 Z 的全部子群为： dZ , d Z , d 0
da dZ , z Z , 有
da z z da d (az ) dZ
d Z 为 Z 的理想. 由此知, Z 的全部理想为
r s ( a 1 b1 ) ( a 2 b 2 ) I 1 I 2
x R,
I 1 I 2 是 R 的理想.
xr x ( a 1 a 2 ) xa 1 xa 2 I 1 I 2 rx ( a 1 a 2 ) x a 1 x a 2 x I 1 I 2