不动点定理

不动点定理在经济学中的应用

数本1301 王敏

摘要

不动点定理是拓扑学中很著名的定理，从一维到多维空间都保持这一性质。其次，在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用，比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。

关键词：不动点、博弈论、纳什均衡

一、不动点定理

定义1：设X 是一个拓扑空间。如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B ，使得B A X ⋃=，则称X 是一个不连通空间；否则，称X 是一个连通空间。]1[ 引理1：设X 是一个连通空间，R X →:f 是一个连续映射，则)(f X 是R 中的一个区间。]1[

引理2:（介值定理）设R b a f →],[：是闭区间],[b a 到实数空间R 的一个连续映射，则对于)(f a 和)(f b 之间的任何一个实数r ，存在],[z b a ∈使得z z =)(f 。]1[ 定理：（不动点定理）设]1,0[]1,0[:f →是一个连续映射，则存在]1,0[z ∈使得z =）（z f 。]1[

证明：如果0)0(f =或者1)1(f =，则定理显然成立。下设0)0(f >，1)1(f <。定义映射R →]1,0[:f 使得对于任何]1,0[x ∈有)()(x f x x F -=。容易验证f 是一个连续映射，并且这时又0)0(F 。因此根据介值定理可得存在]1,0[z ∈,使得0)z (=F ,即z z =)(f 。

布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f ，存在一个点0x ，使得00)(f x x =。这个定理表明：在高维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的，即

映射:f n E E →n 是一个连续映射，其中n E 是n 维闭球体，则存在z n E ∈，

使得z z =)(f 。

二、博弈论和纳什均衡 博弈论又被称为对策论，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

一般认为，博弈主要可以分为合作博弈和非合作博弈。经济学家们所谈的博弈论一般是指非合作博弈，由于合作博弈论比非合作博弈论复杂，在理论上的成熟度远远不如非合作博弈论。非合作博弈又分为：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。与上述四种博弈相对应的均衡概念为：纳什均衡，子博弈精炼纳什均衡，贝叶斯纳什均衡，精炼贝叶斯纳什均衡。

纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。在经济学中这样定义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡；在数学中这样定义：在博弈{}n u u S S G ,...,:,...,1n 1=中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合()

**

1,...,n s s 中任一博弈方i 的策略*s i 是对其余博弈方策略的组合()**1*1*1...,,...,s n i i s s s ，，+-的最佳对策，也即()),...,,,...,(,...,,s ,...,u **1**1*1**1*1-i *1n i ij i i n i i s s s s s u s s s +-+≥，

对任意i S ∈ij s 都成立，则称()

**1,...,n s s 为G 的一个纳什均衡。

三、不动点理论在经济均衡理论中的应用

下面，我们通过不动点定理来证明纳什均衡的存在性，该方法是由Myerson 在1991年给出的。]2[

定理：任何一个战略式表述的有限博弈都至少存在一个混合博弈纳什均衡。 证明：令G 是任—战略式表述有限博弈，即

显然，∑∑== n

i 1i 是一个有限维向量空间的一个非空有界闭凸子集

(G 是有限博弈，局中人数和每个i S 中的元素个数是有限数)。 任给∑∈σ和任一局中人i ,令i

i i i i V R ∑∈--=σσσσ),(max arg )(i i

即)(i i R -σ是局中人i 在i ∑中对其余局中人独立混合战略组合i -σ的最

优反应混合战略。

)(i i R -σ是i S 上所有的概率分布i σ组成的集，且使得对每一个满

足),(argmax V i s i i i i S s S i

-∈∉σ的i S 有0s i =）

（i σ。 ()∑--=k

i ik i ik i i s V V ),(,i σσσσ，

任给],1,0[),(),('i ∈∈--λσσσσi i i i i R R 令

''')1(i i σλλσσ++=，

显然i ∑∈''σ，

)

(),,()

,()1(),()

,()1(),()

,(),(~

~~~'''''i i i i i i i i i i i i i k i ik i ik k i ik i ik k

i ik i ik i i R V V V S V S V S V V --------∈∀=-+≥-+==∑∑∑σσσσσσλσσλσσλσσλσσσσ

故)(''i i R -∈σσ，所以)(i i R -σ是凸的。

根据()∑--=k i ik i ik i i s V V ),(,i σσσσ，因为i S 是有限集，故存在某个k 使

)],([max ),(i i i il l

i ik s V s V --=σσ 即),(argm ax V i i i s -σ是非空的。令k l il ≠==,0,1ik σσ，则

),(max ),(i i i i i i V V i

i -∑∈-=σσσσσ 即)(i i i R -∈σσ，

故)(i i R -σ非空。

下面构造对应R ，它将∑中的点映射于∑中的子集，满足：

∑∈=-=σσσ),(1i i n

i R R ）

（ 由于对每一个n ,....,2,1i =，)(i i R -σ都是非空凸集，显然）（σR 也是非空 凸集。下面我们来证明R 是上半连续的。

假设{}{}∞=∞

=1k 1k ,k k τσ都是收敛序列