证券组合投资的最小收益最大化模型
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证券 S 的最大资金量。
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N ×N
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该模型是计算使得预期收益率达到指定的预期收益率 R 时，风险即资产投资组合的方差为最小时各资产的投资比重。 Markowitz的均值—方差模型包含以下的假设： ⑴资产的收益率 ri 服从均值为 R ，方差为 σ 的正态分布； ⑵投资者是厌恶风险的； ⑶衡量收益率和风险的指标为期望收益率和方差。 实际资产收益未必会服从正态分布的假设条件；并且在均 值——方差模型中是允许卖空的，这与我国的证券市场也不相 符。因此Markowitz的均值—方差模型存在着一定的局限性。 2.最大损失最小化（MM）模型 已知n种证券 S , S ,L, S 在 T 个时期的历史数据， µit 是证券 S (i = 1, 2,L , n) 在 t 时期的实际收益率； xi 是在证券 S (i = 1, 2,L , n) 上的投 资量； M 是投资总量； µ 是组合证券在 t (t = 1, 2,L , T ) 时期的收益 率，则：
观点•ViewPoint
证券组合投资的最小收益最大化模型
沈忠环 （三峡大学理学院，湖北 宜昌 443002）
1.引言 1952年，现代资产选择理论的奠基者Markowitz首先开创 性地提出了现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）。 Markowitz的资产组合投资模型为：假设选定N种风险资产进行 组合投资， ri 为第i种风险资产持有期的收益率，是一个随机变 量， R 是第i种资产的期望收益率， R = ( R , R ,......R ) 为该投资组合的 期望收益率向量，投资者投资此N种风险的投资比重向量记为 X = ( x , x ,......x ) ，两资产收益率的协方差记为 σ ij ，其对应的协方差 矩阵记为 Ω = (σ ) 。若用 R 表示该资产投资组合的预期收益率， σ 表 示 该 资 产 投 资 组 合 的 风 险 ， 特 别 地 记 向 量 F = (1,1,......1) ， 则 Markowitz模型可以表示为下面的规划问题：
∞
i
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公式（1）可以近似为： （2） 其中， ρ是投资者能够接受的最小收益率； ui 是能够投向 中国证券期货•9 2010
35
观点•ViewPoint
基于修正KMV模型的创业板公司信用风险研究
潘淑婷 （浙江工商大学统计学院，浙江 杭州 310018）
【摘要】本文介绍了KMV模型的原理以及用GARCH模型修正历史波动 率的计算方式，并用修正以后的KMV模型分别计算了创业板公司和中 小板上市公司的违约距离；通过对其违约距离的比较以及影响因素的分 析，给出对于创业板发展的相关政策建议。 【关键词】KMV模型；违约距离；GARCH模型
t
函数，利用损失和绝对离差作为风险来约束，通过联合这两个 量，能使收益风险得到比较稳定控制。
参考文献 [1]陈共,周升业,吴晓求.证券投资分析[M].人民大学出版社,1997,2. [2]李辉华,苏慧文.金融风险识别与对策[M].北京:北京经济学院出版社,1996. [3]叶中行,林建忠.数理金融[M].北京:科学出版社,2000,7. [4]刘志新,牟旭涛.投资组合最大损失最小化模型研究[J].系统工程理论与实 践,2000(12):23-25. [5]王辉.证券组合投资决策模型及实证研究[D].河北工业大学硕士学位论 文. [6]姚海祥.均值—方差模型下证券投资选择的进一步研究[D].华南师范大 学硕士学位论文. 作者简介：沈忠环（1973—），女，河南商丘人，硕士，副教授，研究 方向：组合投资理论。
中小企业作为国民经济中最具活力的一部分，由于长期存在 着资金不足的情况，使它们的发展受到很大的限制。在解决中小 企业贷款难的过程中，怎么衡量中小企业的信用风险成为一大难 题。随着我国中小企业板块的迅速壮大以及创业板的推出，中小 上市公司的数量会越来越多，在我国资本市场的影响力会越来越 大，对其研究日趋重要。我国中小企业的资产规模小，创建和发 展时间较短，所有者素质不高等因素导致了公司有较高的不稳定 性和不连续性，并且过多依赖债权融资的高成长性中小企业，其 信用风险由于“成长幻象”不易被察觉，使得我国中小上市公司 的信用风险尤其值得关注，对其信用风险的监督也越来越重要。 本文试图通过修正后的KMV模型对创业板和中小板企业的违约风 险进行衡量比较，从而给投资者提供决策参考；从分析比较的过 程中，分析创业板企业存在的问题并提出政策建议。 一、信用风险度量模型比较 信用风险度量方法分为传统和现代两类。在主要的传统信 用风险度量模型中，专家方法(SC法)和评级方法具有较强的主 观性；Logistic回归分析模型、邻近法、多元判别分析模型和 Altman的z计分模很难反映企业未来的发展情况；神经网络对 样本数据过分依赖。在主要的4类现代信用风险度量模型中， J.P.Morgan公司发展的CreditMetries模型和Mekinsey公司的 Credit portfolio View模型建立都直接依赖与信用评级机 制，由于我国信用评级滞后，在短期内运用不太现实；credit Suisse Financial products开发的CreditRisk+模型的风险驱 动因素是债务人的违约率，该参数的估计在我国目前比较困 难，且该模型还要求债务之间是相互独立的；KMV公司开发的 KMV模型是基于现代公司理财和期权理论的结构性模型，基本 思路清晰，方法框架使用方便，且我国企业尤其是中小企业的 财务以及其他信用相关的资料取得和真实性难以得到保证，而 股票价格的波动蕴含着关于可信度的信息、宏观的经济状况、 行业和公司的信用风险，是一种动态的具有前瞻性(Forwardlooking)的方法。国内也有诸多文献证实了KMV模型在我国证 券市场的适用性，因此本文优先选用KMV模型。
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1
− r (T − t )Fra Baidu bibliotek
2
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s
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dVt = µVt dt + σ Vt dZ t
对（3）式两端求全微分，由ITO公式得： ∂S ∂S 1 2 2 ∂ 2 S ∂S dSt = ( + µVt + σ Vt 2 )dt + σ Vt dZ t
∂t ∂Vt 2 ∂ Vt ∂Vt
1 2 n
i
1
2
n
i
i
0
pt
µ pt = ∑ xi µit
i =1
n
i
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0
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那么，损失的数学表达式为：
T 个时期中的最大损失为：
µ pt = ∑ xi µit
i =1
n
模型的数学表达式为：
MM模型是用线性规划方法求解的一种证券投资组合模型， 可以描述为：在满足证券组合收益率不小于某个值的约束条件 下，使最大损失最小。其原理类似于决策中常用的一种方法 “悲观决策法”，投资者不愿冒风险，认为未来会出现最不利 的情况，决策就是在最不利中取最优。 MM模型的数学表达式为： （1）
ˆ 是证券 S (i = 1, 2,L , n) 的平均收益率： 设µ
i
i
ˆ i = 1 T ∑ µit µ
t =1
T
故 ∑ x µ 的期望值可以用平均数来代替，即。
i =1 i it
n
其中： ρ 表示投资者所能接受的最大损失率， ρ表示投资 ˆ i 是证券 S (i = 1, 2,L , n) 的平均收益率， 者所能接受的最小收益率， µ ui 是能够投向证券 S 的最大资金量。
（4）
比较(2)和(4)式两端，有
dZ t' = dZ t
这说明衍生证券(公司股票)的价格的不确定性来源与基础 资产价格(公司价值)的不确定性来源是相同的。此外还有 ∂S σ s S t = σ Vt ∂Vt （5） 把（1）和（5）联立起来，股价市值和股价的波动率是可 以从市场上观察到的，采用适当的数值方法可以求出公司资产 价值 V 及其波动率 σ的估计值，这种方法被称为受限波动率法 (volatility restriction method)。 第二步：根据公司的现值确定出公司的预期价值，根据 负债计算出公司的违约触发点DPT及违约距离(Distance to Default)。上市公司的投资者持有资产就是为了获得资产收
0
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（3） 3.最小收益最大化模型 鉴于前面的成果主要是以风险最小化为目标函数，通过改 进风险的度量方法以及对收益的约束条件来建立证券组合投资模 型。本文将在此基础上，试图从另一个角度（改变目标函数） 去建立组合证券投资模型。首先，引用绝对离差风险作为风险测 度，以最小收益最大化为目标函数，将风险控制在一个投资者可 以接受的范围内，并且利用绝对离差函数的线性性质，将风险作 为约束条件来建立在此风险测度下的组合证券投资模型。 已知n种证券 S , S ,L, S 在 T 个时期的历史数据， µit 是证券 S (i = 1, 2,L , n) 在 t 时期的实际收益率； x 是在证券 S (i = 1, 2,L , n) 上的投 资量； M 是投资总量； µ 是组合证券P在 t (t = 1, 2,L, T ) 时期的收益 率，则：
4.结论 考虑到理性的投资者总是希望在既定的风险水平下，获得 最大期望收益；或者在已知期望收益的条件下，使投资风险达 到最小。本模型试图在各个时期收益具有最大期望的前提下， 进而追求组合投资收益最大化。模型将收益最大化作为目标
36 2010 9•中国证券期货
二、KMV原理介绍 KMV公司以默顿模型为基础，吸收了结构棋型发展的新 成果，开发出了一套计量信用风险的方法，即KMV模型。在 信用风险度量方面，KMV模型采用“预期违约率”(Expected Default Frequency)，这是一种经验的违约率；而不像默顿模 型那样采用理论概率。KMV模型的基本假设是：当公司的资产 价值低于一定水平时，公司就会违约，这个临界水平相当于结 构模型中的违约边界，可以由公司的债务水平来确定，它所对 应的点被称为违约触发点DPT(Default Point)。 计算上市公司预期违约率的步骤如下： 第一步：从公司股票的市场价值和股价的波动性及负债的 账面价值中，估计公司资产价值v及其波动性 σ。KMV模型假设 资产收益的波动性保持相对稳定，此外，为使模型易于实施， KMV公司假定资本结构由股本、等同于现金的短期负债、被视 为永续年金的长期负债以及可转换优先股组成。在此假设下， 根据默顿模型的结果得到股价 S 与公司价值 V 之间的关系： S = V * N (d ) − X * e * N (d ) （1） 假定股价变化服从如下的随机过程： dS = µ S dt + σ S dZ （2） 其中： S = S (V , t ) （3） 其中公司价值 V ，服从Ito过程：
证券 S 的最大资金量。
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该模型是计算使得预期收益率达到指定的预期收益率 R 时，风险即资产投资组合的方差为最小时各资产的投资比重。 Markowitz的均值—方差模型包含以下的假设： ⑴资产的收益率 ri 服从均值为 R ，方差为 σ 的正态分布； ⑵投资者是厌恶风险的； ⑶衡量收益率和风险的指标为期望收益率和方差。 实际资产收益未必会服从正态分布的假设条件；并且在均 值——方差模型中是允许卖空的，这与我国的证券市场也不相 符。因此Markowitz的均值—方差模型存在着一定的局限性。 2.最大损失最小化（MM）模型 已知n种证券 S , S ,L, S 在 T 个时期的历史数据， µit 是证券 S (i = 1, 2,L , n) 在 t 时期的实际收益率； xi 是在证券 S (i = 1, 2,L , n) 上的投 资量； M 是投资总量； µ 是组合证券在 t (t = 1, 2,L , T ) 时期的收益 率，则：
观点•ViewPoint
证券组合投资的最小收益最大化模型
沈忠环 （三峡大学理学院，湖北 宜昌 443002）
1.引言 1952年，现代资产选择理论的奠基者Markowitz首先开创 性地提出了现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）。 Markowitz的资产组合投资模型为：假设选定N种风险资产进行 组合投资， ri 为第i种风险资产持有期的收益率，是一个随机变 量， R 是第i种资产的期望收益率， R = ( R , R ,......R ) 为该投资组合的 期望收益率向量，投资者投资此N种风险的投资比重向量记为 X = ( x , x ,......x ) ，两资产收益率的协方差记为 σ ij ，其对应的协方差 矩阵记为 Ω = (σ ) 。若用 R 表示该资产投资组合的预期收益率， σ 表 示 该 资 产 投 资 组 合 的 风 险 ， 特 别 地 记 向 量 F = (1,1,......1) ， 则 Markowitz模型可以表示为下面的规划问题：
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公式（1）可以近似为： （2） 其中， ρ是投资者能够接受的最小收益率； ui 是能够投向 中国证券期货•9 2010
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观点•ViewPoint
基于修正KMV模型的创业板公司信用风险研究
潘淑婷 （浙江工商大学统计学院，浙江 杭州 310018）
【摘要】本文介绍了KMV模型的原理以及用GARCH模型修正历史波动 率的计算方式，并用修正以后的KMV模型分别计算了创业板公司和中 小板上市公司的违约距离；通过对其违约距离的比较以及影响因素的分 析，给出对于创业板发展的相关政策建议。 【关键词】KMV模型；违约距离；GARCH模型
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函数，利用损失和绝对离差作为风险来约束，通过联合这两个 量，能使收益风险得到比较稳定控制。
参考文献 [1]陈共,周升业,吴晓求.证券投资分析[M].人民大学出版社,1997,2. [2]李辉华,苏慧文.金融风险识别与对策[M].北京:北京经济学院出版社,1996. [3]叶中行,林建忠.数理金融[M].北京:科学出版社,2000,7. [4]刘志新,牟旭涛.投资组合最大损失最小化模型研究[J].系统工程理论与实 践,2000(12):23-25. [5]王辉.证券组合投资决策模型及实证研究[D].河北工业大学硕士学位论 文. [6]姚海祥.均值—方差模型下证券投资选择的进一步研究[D].华南师范大 学硕士学位论文. 作者简介：沈忠环（1973—），女，河南商丘人，硕士，副教授，研究 方向：组合投资理论。
中小企业作为国民经济中最具活力的一部分，由于长期存在 着资金不足的情况，使它们的发展受到很大的限制。在解决中小 企业贷款难的过程中，怎么衡量中小企业的信用风险成为一大难 题。随着我国中小企业板块的迅速壮大以及创业板的推出，中小 上市公司的数量会越来越多，在我国资本市场的影响力会越来越 大，对其研究日趋重要。我国中小企业的资产规模小，创建和发 展时间较短，所有者素质不高等因素导致了公司有较高的不稳定 性和不连续性，并且过多依赖债权融资的高成长性中小企业，其 信用风险由于“成长幻象”不易被察觉，使得我国中小上市公司 的信用风险尤其值得关注，对其信用风险的监督也越来越重要。 本文试图通过修正后的KMV模型对创业板和中小板企业的违约风 险进行衡量比较，从而给投资者提供决策参考；从分析比较的过 程中，分析创业板企业存在的问题并提出政策建议。 一、信用风险度量模型比较 信用风险度量方法分为传统和现代两类。在主要的传统信 用风险度量模型中，专家方法(SC法)和评级方法具有较强的主 观性；Logistic回归分析模型、邻近法、多元判别分析模型和 Altman的z计分模很难反映企业未来的发展情况；神经网络对 样本数据过分依赖。在主要的4类现代信用风险度量模型中， J.P.Morgan公司发展的CreditMetries模型和Mekinsey公司的 Credit portfolio View模型建立都直接依赖与信用评级机 制，由于我国信用评级滞后，在短期内运用不太现实；credit Suisse Financial products开发的CreditRisk+模型的风险驱 动因素是债务人的违约率，该参数的估计在我国目前比较困 难，且该模型还要求债务之间是相互独立的；KMV公司开发的 KMV模型是基于现代公司理财和期权理论的结构性模型，基本 思路清晰，方法框架使用方便，且我国企业尤其是中小企业的 财务以及其他信用相关的资料取得和真实性难以得到保证，而 股票价格的波动蕴含着关于可信度的信息、宏观的经济状况、 行业和公司的信用风险，是一种动态的具有前瞻性(Forwardlooking)的方法。国内也有诸多文献证实了KMV模型在我国证 券市场的适用性，因此本文优先选用KMV模型。
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dVt = µVt dt + σ Vt dZ t
对（3）式两端求全微分，由ITO公式得： ∂S ∂S 1 2 2 ∂ 2 S ∂S dSt = ( + µVt + σ Vt 2 )dt + σ Vt dZ t
∂t ∂Vt 2 ∂ Vt ∂Vt
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µ pt = ∑ xi µit
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那么，损失的数学表达式为：
T 个时期中的最大损失为：
µ pt = ∑ xi µit
i =1
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模型的数学表达式为：
MM模型是用线性规划方法求解的一种证券投资组合模型， 可以描述为：在满足证券组合收益率不小于某个值的约束条件 下，使最大损失最小。其原理类似于决策中常用的一种方法 “悲观决策法”，投资者不愿冒风险，认为未来会出现最不利 的情况，决策就是在最不利中取最优。 MM模型的数学表达式为： （1）
ˆ 是证券 S (i = 1, 2,L , n) 的平均收益率： 设µ
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ˆ i = 1 T ∑ µit µ
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故 ∑ x µ 的期望值可以用平均数来代替，即。
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其中： ρ 表示投资者所能接受的最大损失率， ρ表示投资 ˆ i 是证券 S (i = 1, 2,L , n) 的平均收益率， 者所能接受的最小收益率， µ ui 是能够投向证券 S 的最大资金量。
（4）
比较(2)和(4)式两端，有
dZ t' = dZ t
这说明衍生证券(公司股票)的价格的不确定性来源与基础 资产价格(公司价值)的不确定性来源是相同的。此外还有 ∂S σ s S t = σ Vt ∂Vt （5） 把（1）和（5）联立起来，股价市值和股价的波动率是可 以从市场上观察到的，采用适当的数值方法可以求出公司资产 价值 V 及其波动率 σ的估计值，这种方法被称为受限波动率法 (volatility restriction method)。 第二步：根据公司的现值确定出公司的预期价值，根据 负债计算出公司的违约触发点DPT及违约距离(Distance to Default)。上市公司的投资者持有资产就是为了获得资产收
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4.结论 考虑到理性的投资者总是希望在既定的风险水平下，获得 最大期望收益；或者在已知期望收益的条件下，使投资风险达 到最小。本模型试图在各个时期收益具有最大期望的前提下， 进而追求组合投资收益最大化。模型将收益最大化作为目标
36 2010 9•中国证券期货
二、KMV原理介绍 KMV公司以默顿模型为基础，吸收了结构棋型发展的新 成果，开发出了一套计量信用风险的方法，即KMV模型。在 信用风险度量方面，KMV模型采用“预期违约率”(Expected Default Frequency)，这是一种经验的违约率；而不像默顿模 型那样采用理论概率。KMV模型的基本假设是：当公司的资产 价值低于一定水平时，公司就会违约，这个临界水平相当于结 构模型中的违约边界，可以由公司的债务水平来确定，它所对 应的点被称为违约触发点DPT(Default Point)。 计算上市公司预期违约率的步骤如下： 第一步：从公司股票的市场价值和股价的波动性及负债的 账面价值中，估计公司资产价值v及其波动性 σ。KMV模型假设 资产收益的波动性保持相对稳定，此外，为使模型易于实施， KMV公司假定资本结构由股本、等同于现金的短期负债、被视 为永续年金的长期负债以及可转换优先股组成。在此假设下， 根据默顿模型的结果得到股价 S 与公司价值 V 之间的关系： S = V * N (d ) − X * e * N (d ) （1） 假定股价变化服从如下的随机过程： dS = µ S dt + σ S dZ （2） 其中： S = S (V , t ) （3） 其中公司价值 V ，服从Ito过程：