2017-2018年中国科学院自动化研究所考博试题 数学

中国科学院自动化研究所

2017年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷

科目名称：数学

考生须知：

1.本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。

注：后面五个试题可能用到以下常数：

19192020(0.95) 1.729,(0.975) 2.093,(0.95) 1.725,(0.975) 2.086t t t t ====

0.0250.050.100.201.96, 1.64, 1.280.84u u u u ====，

其中，()n t α表示自由度为n 的t 分布的上α分位数；u α表示标准正态分布的上α分

位数。

一、（18分）已知矩阵011110101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，试求矩阵A 的分解式A QDT =，其中Q 是

正交矩阵，D 是对角矩阵，而T 是主对角线上元素全为1的上三角矩阵。

二、（15分）设12121,,,,,,,n n a a a b b b - 都是非零的实数，n 阶矩阵

111211n n n a b b a A b b a --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1. 证明：矩阵A 的秩大于等于 1n - ；

2. 证明：矩阵A 有n 个不同的实特征值。

三、（17分）已知矩阵200011101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，试求矩阵函数sin ,tA A e ，其中，t 是实数。

科目名称：数学

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四、（每小题5分共10分）某品牌跑车共有四种颜色：白、蓝、黑、红。换挡则

分为手动与自动。下表是各种类型的车所占比例：

令A=｛跑车为自动档｝，B=｛跑车为黑色｝，C=｛跑车为白色｝，计算：

1. ()P B A ；

2. ()C P A C ，其中C C 表示C 的补集。 五、（10分）设中国科学院自动化所共有学生1200名，假定一名学生连续一小时

不间断用水，需水0.5吨，高峰时期每名学生用水的概率为0.05。问每天用水

高峰时期，每小时供应多少吨水才有95%的把握保证学生用水？

六、（每小题5分共10分）设随机变量(,)X Y 的概率密度为

1(,)0k y x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩当其它。 1. 求k ； 2. 计算条件分布()0.5X Y f x y =。

七、（每小题5分共10分）假设1,,n X X 是来自[0,]θ上的均匀分布的一个随机样

本。考虑如下两个关于θ的点估计：

111ˆmax(,)n n X X n θ+=， 21

1ˆ2(=)n i i X X X n θ==∑其中 1. 试证1ˆθ、2

ˆθ均为无偏估计； 2. 当n>1时，哪个估计更好一些，为什么？

八、（10分）某工厂生产电灯泡的使用小时数~(,)N ξμσ ，其中σμ,都是未知参

数。现在观察n=20个电灯泡，测得20个使用小时数201,,x x ，由此算得平均

数，标准差分别为1832,497X S == ，取检验显著性水平05.0=α，试问该厂

电灯泡的平均使用小时数为2000()h μ≥的结论是否成立?

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中国科学院自动化研究所

2018年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷

科目名称：数学

考生须知：

1.本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。 注：可能会用到一些常数及符号：

0.0250.050.100.200.0250.050.050.02522220.050.0250.050.0251.96 1.64 1.280.84(3) 3.182(3) 2.353(8) 1.860(8) 2.306(3)=7.815(3)=9.348(4)=9.448(4)=11.143u u u u t t t t χχχχ========，，，；

，，，；，，，；

u α表示标准正态分布；()t n α表示student-t 分布；2()n αχ表示卡方分布的上α

分位数。

一、（10分）某人从外地到北京来参加一个会议，他乘普通火车的概率为110

；乘 高铁的概率为12； 乘飞机的概率为 52 。如果乘普通火车来，迟到的概率为 12

； 乘高铁来，迟到的概率为 110；乘飞机来，迟到的概率为 15

。 问：如果他迟到 了，那么他是乘飞机来的概率为多大？

二、（10分）设随机向量(,)X Y 的联合密度函数

(,)24(1),p x y y x y =-- ,01x y x y >+<且，

（1）试求X 的边际分布；

（2）试求给定=1/2Y 条件下X 的条件密度函数。

科目名称：数学

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三、（20分）设总体X 的分布函数为

()00()0,1k x x F x x x θθθ

≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩ 其中0k >为已知常数，0θ>为未知参数。12,,

,n X X X 为独立同分布样本。 （1）求θ的矩估计1θ∧和极大似然估计2θ∧

；

（2）求常数(1,2)i c i =使得i i c θ∧为无偏估计。

四、（10分）某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为

12690C 12710C 12630C 12650C

设数据服从正态分布),(2σμN ，以0.05α= 的水平作如下检验：

（1）这些结果是否符合于公布的数字12600C ？

（2）测定值的标准差是否不超过20C ？

五、（18分）已知矩阵200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，试求矩阵函数tA e ，其中t ∈

。

六、 （17分）已知矩阵12-102111-1-2110112A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，试求矩阵A 的QR 分解式，即求正交矩阵Q 和主对角线上元素均为正数的上三角矩阵R ，使得A QR =。

七、 （15分）假定矩阵()i j n n A a ⨯=是实对称矩阵，它的Rayleigh 商()R x 定义为：

(),0T n T x Ax R x x x x

=≠∈ 证明： min max 00min (),max ()x x R x R x λλ≠≠==。其中，min max ,λλ分别是矩阵A 的最

小和最大特征值。

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